線性代數(shù)與空間解析幾何哈工大演示文稿

線性代數(shù)與空間解析幾何哈工大演示文稿當(dāng)前第1頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)（優(yōu)選）線性代數(shù)與空間解析幾何哈工大當(dāng)前第2頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2．矩陣形式：

則二次型的矩陣形式為

為二次型的矩陣,為二次型的秩．

3．二次型對(duì)稱(chēng)陣注：討論二次型問(wèn)題，首要的問(wèn)題是給定二次型能準(zhǔn)確地寫(xiě)出二次型的矩陣，反之，給定一個(gè)對(duì)稱(chēng)陣，會(huì)寫(xiě)出以它為矩陣的二次型.這里的關(guān)鍵概念是二次型的矩陣是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣.當(dāng)前第3頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例1設(shè)二次型試寫(xiě)出二次型的矩陣.（為三元二次型）

解：將交叉項(xiàng)的系數(shù)即平均分配給及的二次型的系數(shù)矩陣為.當(dāng)前第4頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例２將二次型寫(xiě)成矩陣形式.

解：是一個(gè)四元二次型，先寫(xiě)出二次型的矩陣

當(dāng)前第5頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例３設(shè)，試寫(xiě)出以為矩陣的二次型.

分析：是一個(gè)3階對(duì)稱(chēng)陣，對(duì)應(yīng)的三元二次型，把與合并后寫(xiě)出二次型.

解：設(shè)

當(dāng)前第6頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)8.1.2合同矩陣1．定義8.2（合同）二個(gè)階方陣和，可逆陣，使，則稱(chēng)與合同（Congruent）記成.矩陣合同的定義與矩陣相似的定義很相似，也是階方陣之間的一種等價(jià)關(guān)系.即2．合同等價(jià)，合同等秩，反之都不成立．但不等秩，則一定不合同.3．合同關(guān)系具有以下性質(zhì)：（1）自反性：.（2）對(duì)稱(chēng)性：則.（3）傳遞性：，則.（4）與合同，則.可逆，.當(dāng)前第7頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)4．（二次型的變換）合同二次型設(shè)二次型，經(jīng)可逆線性變換（可逆）

其中，即與合同，仍是對(duì)稱(chēng)陣.所以經(jīng)可逆線性變換后，二次型的對(duì)應(yīng)矩陣是合同的.也可以說(shuō)：合同的矩陣是同一二次型關(guān)于不同變量的矩陣[我們教材是將變量看成個(gè)基下的坐標(biāo)，是一個(gè)基到另一個(gè)基的過(guò)渡矩陣，合同陣是不同基下的矩陣].5．實(shí)對(duì)稱(chēng)陣（不但和對(duì)角陣相似，也與對(duì)角陣合同）.由于實(shí)對(duì)稱(chēng)可正交相似對(duì)角化.所以存在正交陣，使所以實(shí)對(duì)稱(chēng)陣都與對(duì)角陣合同.換句話說(shuō)，就是任意實(shí)二次型都可通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換化成只有平方項(xiàng)而沒(méi)有混合項(xiàng).這就引出了二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念.當(dāng)前第8頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例4.與矩陣既相似又合同的矩陣是（）

（A）.（B）.（C）.（D）.

分析：是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以正交陣，使它和一個(gè)對(duì)角陣既相似又合同，對(duì)角陣的對(duì)角元恰是的特征值.當(dāng)前第9頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

解：的特征值是，與既相似又合同的矩陣是，所以應(yīng)選（D）.當(dāng)前第10頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)8.2化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)1．標(biāo)準(zhǔn)二次型：只含有平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為元二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型.不惟一.線性變換為

設(shè)（1）

令（1）可變?yōu)?但不惟一.（2）當(dāng)是可逆陣時(shí).（1）式是可逆線性變換.

當(dāng)前第11頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)注1o的秩的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù).2o任一個(gè)實(shí)二次型都可通過(guò)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一，有三種方法化標(biāo)準(zhǔn)形.8.2.1用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于實(shí)二次型，最實(shí)用的方法是正交變換法，即所作的可逆線性變換中可逆矩陣不只是可逆，還是正交矩陣.這個(gè)正交陣的存在是由實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)決定的，值得注意的是這種方法僅限于實(shí)二次型.

定理8.1對(duì)元實(shí)二次型，正交線性變換：（不惟一），使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.是的個(gè)特征值.當(dāng)前第12頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例5

用正交線性變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.化成標(biāo)準(zhǔn)形.

解：（1）二次型的矩陣為（2）由，得的特征值為.（3）對(duì)時(shí)，解.即當(dāng)前第13頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)所以得同解方程組為

得基礎(chǔ)解系為.正交化：

∥當(dāng)前第14頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)單位化：

當(dāng)時(shí)，由方程組當(dāng)前第15頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)即

得基礎(chǔ)解系為，單位化為.當(dāng)前第16頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)得正交陣.則

注：正交變換不惟一，但正交變換得到的標(biāo)準(zhǔn)形是惟一的.（不考慮對(duì)角元的次序時(shí)）當(dāng)前第17頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)8.2.2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形如果不考慮正交變換，可以用可逆線性變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，得到標(biāo)準(zhǔn)形不是惟一的.

例6

用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

分析：這是只有交叉項(xiàng)沒(méi)有平方項(xiàng)的二次型，先對(duì)用平方差公式.

解：令（1）則

當(dāng)前第18頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

再令（2）

則

所作可逆線性變換為（2）代入（1）得當(dāng)前第19頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

可逆.為可逆線性變換.8.2.3用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的初等變換法是對(duì)二次型矩陣，構(gòu)造一個(gè)的矩陣，對(duì)交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換，對(duì)作列變換時(shí)，同時(shí)對(duì)作相同的列變換，當(dāng)化作標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，就化作了.這就是作可逆線性變換那個(gè)可逆矩陣.

對(duì)角陣.當(dāng)前第20頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例7用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆線性變換

分析：由于左上角的元素為0，而主對(duì)角線上第二個(gè)元素不為0，將第一列和第二列變換，同時(shí)將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0.解：當(dāng)前第21頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)由此得標(biāo)準(zhǔn)形所用的可逆線性變換為所以8.3正定實(shí)二次型8.3.1實(shí)二次型的慣性定律我們知道元二次型都可以通過(guò)一個(gè)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，因?yàn)橛貌煌目赡婢€性變換把同一個(gè)實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，這些標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)一般說(shuō)是不同的.但在實(shí)可逆線性變換下，同一個(gè)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中的正系數(shù)、負(fù)系數(shù)及零系數(shù)的個(gè)數(shù)是不變的，（實(shí)可逆線性變換可以不同），這就是實(shí)二次型的慣性定律.當(dāng)前第22頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

定理8.2設(shè)元實(shí)二次型經(jīng)實(shí)可逆線性變換分別化成標(biāo)準(zhǔn)形

及則中正數(shù)的個(gè)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)及0的個(gè)數(shù)都與中正數(shù)的個(gè)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)及0的個(gè)數(shù)相同，正數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的正慣性指數(shù)，記為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的負(fù)慣性指數(shù)，記為.8.3.2正定二次型對(duì)于實(shí)二次型有一個(gè)特別重要的性質(zhì)——正定性.1．定義8.3設(shè)有元實(shí)二次型，如果對(duì)且，都有，則稱(chēng)為正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定）二次型.的矩陣稱(chēng)為正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定）矩陣.當(dāng)前第23頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2．正定陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，但反之不一定.3．二次型正定的充要條件：

定理8.3實(shí)二次型正定正慣性指數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)形中個(gè)系數(shù)全為正）.

證：設(shè)，經(jīng)實(shí)可逆性變換化為.反證：若某個(gè)取，而而當(dāng)前第24頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)與正定矛盾，正慣性指數(shù).維實(shí)向量，由可逆知

故為正定二次型.當(dāng)前第25頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

推論8.1實(shí)二次型正定的矩陣的特征值全大于.

證

是實(shí)二次型，由定理8.1知正交變換，使

由定理8.3知，正定

其中.

推論8.2實(shí)二次型正定實(shí)可逆陣使，.

證維實(shí)向量可逆，.

所以是正定二次型.

已知是正定二次型，由推論8.1知，正交陣，使

，

當(dāng)前第26頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

令，則所以由可逆及可逆，知可逆.當(dāng)前第27頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)定理8.4實(shí)對(duì)稱(chēng)陣為正定的的各階順序主子式都大于零.即總結(jié)：二次型正定的充要條件實(shí)二次型正定的正慣性指數(shù).的特征值全大于實(shí)可逆陣，使.的各階順序主子式全

與合同

注：當(dāng)正定時(shí)，可證，正定.負(fù)定正定.的奇數(shù)階主子式，偶數(shù)階主子式.當(dāng)前第28頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)：在實(shí)二次型（或?qū)崒?duì)稱(chēng)陣）中，合同是一種分類(lèi)的辦法，正定性是另一種分類(lèi)的方法，重點(diǎn)是正定二次型（或正定矩陣）.注：說(shuō)或是正定的，已經(jīng)包涵了實(shí)對(duì)稱(chēng)，，可逆，及.利用的正定性，來(lái)證明其他的問(wèn)題，則是一個(gè)難點(diǎn)，要具體問(wèn)題具體分析.1．正定陣（正定二次型的判斷）

例8判別二次型的正定性.

解

二次型的對(duì)應(yīng)矩陣為當(dāng)前第29頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)，和具有相同的正定性，故判定的正定性即可（將分?jǐn)?shù)運(yùn)算化成參數(shù)運(yùn)算）當(dāng)前第30頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

的全部順序主子式都大于0.正定，正定.當(dāng)前第31頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例9判斷階矩陣是否正定陣..

解法1

順序主子式：，

正定.當(dāng)前第32頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

解法2

求的特征值.

得的特征值為全.故正定.2．矩陣（二次型）正定性的證明當(dāng)前第33頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例10

設(shè)是階正定陣，證明也正定.證因?yàn)檎?所以是實(shí)對(duì)稱(chēng)，即，可逆，也是實(shí)對(duì)稱(chēng).證1用正定陣全部特征值.已知正定，的個(gè)特征值都.又的特征值為都,正定.

證2

正定實(shí)可逆陣使.求逆令為實(shí)可逆陣，所以正定.當(dāng)前第34頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例11設(shè)是階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，其中正定,試證當(dāng)實(shí)數(shù)充分大時(shí)，也正定.

證由正定，可逆陣，使，即，令.

仍是對(duì)稱(chēng)陣，故正交陣，

使，其中是的特征值.當(dāng)前第35頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

正定（由Th8.3）.當(dāng)時(shí)，全，.由Th8.3知正定，從而正定，（實(shí)對(duì)稱(chēng)顯然）.當(dāng)前第36頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例12設(shè)為實(shí)，證明是正定的.證是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣.若正定，則.又.設(shè)，則齊次方程組只有0解.對(duì)，有，設(shè).

由二次型定義知，正定.

當(dāng)前第37頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)8.4空間中的曲面與曲線

在3.3節(jié)已熟悉了平面和空間的直線與三元一次方程之間的關(guān)系，現(xiàn)在在前兩節(jié)研究二次型的基礎(chǔ)上，本節(jié)重點(diǎn)又從代數(shù)轉(zhuǎn)向幾何，主要是討論二次曲面.與平面、直線一樣，曲面和曲線也可以看成是滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合.在坐標(biāo)系下，這個(gè)條件表現(xiàn)為方程.當(dāng)前第38頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系下，若曲面和三元方程有下述關(guān)系：曲面上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程；坐標(biāo)滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在曲面上，則稱(chēng)方程為曲面的方程，也稱(chēng)為方程的圖形.下面對(duì)幾何特征很明顯的幾種常見(jiàn)的曲面和曲線建立它們的方程.當(dāng)前第39頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)已知球心在點(diǎn)，半徑為，求該球面的方程.

在球面上，有，

該球面方程為（*）

如果球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，球面方程為將（*）展開(kāi)，得

這個(gè)方程的特點(diǎn)是：（1）是三元二次方程（2）二次項(xiàng)的系數(shù)相同（3）沒(méi)有交叉項(xiàng).8.4.1球面當(dāng)前第40頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)滿(mǎn)足這三個(gè)條件的方程一般說(shuō)來(lái)圖形也是球面,可將其配方為

時(shí)，表示球心在,半徑為的球面；

時(shí)，球面收縮為一點(diǎn)（點(diǎn)球面）；

時(shí)，無(wú)圖形（虛球面）．例1.配方得表示球心為的球面.當(dāng)前第41頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線形成的軌跡叫做柱面，定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫做柱面的母線.設(shè)柱面的母線軸，準(zhǔn)線是平面上的曲線，則此柱面方程為.一般地，含有兩個(gè)變量的方程在平面上表示一條曲線，在空間里表示一個(gè)柱面,母線平行于不出現(xiàn)的那個(gè)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸，同理表示母線平行于軸的柱面，表示母線平行于軸的柱面.8.4.2柱面當(dāng)前第42頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

例2表示母線平行于軸的雙曲柱面.

例3表示母線平行軸的平面.平面曲線繞平面一直線旋轉(zhuǎn)一周，所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.曲線稱(chēng)為母線，稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸.設(shè)在面上，給定曲線：將其繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)曲面方程.8.4.3旋轉(zhuǎn)曲面當(dāng)前第43頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)設(shè)為曲面上任一點(diǎn)，位于曲線上點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)軌道（圓周）上，顯然，且.

又由到軸的距離相等，有

，

所以旋轉(zhuǎn)曲面方程為.

同理曲線繞軸轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面方程為：總之，在坐標(biāo)面上的曲線繞其上一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣寫(xiě)處：將曲線方程中與轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng)，而把另一個(gè)變量換為它自己的平方與方程未出現(xiàn)的變量的平方和的平方根即可.當(dāng)前第44頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例4直線繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)得到的曲面為

即，或.

圖稱(chēng)為圓錐面，其半頂角的正為.例5橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)橢球面：當(dāng)前第45頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例6雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面例7拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)拋物面

一般地說(shuō)：在一個(gè)方程中，若有兩個(gè)變量以平方和的形式出現(xiàn)，它就是旋轉(zhuǎn)曲面的方程.當(dāng)前第46頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)一、空間曲線的一般方程

空間曲線可以看作兩曲面，的交線

稱(chēng)為空間曲線的一般方程.

注：由于過(guò)曲線的曲面有無(wú)窮多，所以的方程不唯一.例如，以原點(diǎn)為球心，1為半徑的球面與面的交線，是平面上的以原點(diǎn)為圓心的單位圓，其方程為

8.5空間曲線及其方程當(dāng)前第47頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例8方程組表示怎樣的曲線.

解為平行于軸的圓柱面,為平行于軸的平面，方程組表示平面與圓柱面的交線.例9方程組表示怎樣的曲線.

解第一個(gè)方程表示以原點(diǎn)為球心，a為半徑的球的上半球面.第二個(gè)方程表示準(zhǔn)線為的面上的圓且母線平行于軸的圓柱面.方程組為上半球面與圓柱面的交線.也稱(chēng)為維維亞尼曲線.當(dāng)前第48頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例10曲面與坐標(biāo)面的交線是什么？

解

①與面的交線：即曲線是

橢圓；

②與面的交線：是雙曲線；

③與面的交線：是雙曲線.當(dāng)前第49頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)二、空間曲線的參數(shù)方程與平面曲線一樣，空間曲線也可由參數(shù)方程表示，上的動(dòng)點(diǎn)為參數(shù)的函數(shù)，給定得上的一點(diǎn)隨的變動(dòng)便得到的全部點(diǎn).

即為曲線的參數(shù)方程.當(dāng)前第50頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例11在圓柱面上有一動(dòng)點(diǎn)以角速度右旋繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)同時(shí)又以勻速沿母線上升，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程.

解取時(shí)間t為參數(shù)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于處，經(jīng)過(guò)時(shí)間，動(dòng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到，在面上的投影為.

角速度是，則參數(shù)方程變?yōu)?/p>

螺旋線在實(shí)踐中常用到，例平頭螺釘?shù)木壡€就是螺旋線，螺旋線上升的高度與速度成正比，當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，上升的高度在工程技術(shù)上稱(chēng)為螺距.當(dāng)前第51頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影以空間曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于軸（或軸、或軸）的柱面，這個(gè)柱面與坐標(biāo)面（或、）的交線稱(chēng)為曲線在坐標(biāo)面（或、）上的投影（曲線）.當(dāng)前第52頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)求空間曲線的投影是很重要的，若已知曲線的方程為

從這個(gè)方程組中，消去所得到的方程，就是以為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面方程，故在面上的投影為

同樣從的方程中消去或，可得到在和面上的投影.當(dāng)前第53頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例12已知兩球面的方程為①和

②求它們的交線在面上的投影方程

解先求母線平行軸過(guò)曲線的柱面方程，從①②中消去，①-②化簡(jiǎn)得再以代入①或②得柱面方程為

兩球面交線在面上的投影是當(dāng)前第54頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)8.6二次曲面在第五節(jié)我們講了空間曲面的概念，建立了球面方程和各種柱