甘肅省高三模擬考試(理)數(shù)學(xué)試卷(附答案解析)

第第頁甘肅省高三模擬考試(理)數(shù)學(xué)試卷(附答案解析)班級:___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（

）A．{0，1} B．{－1，1，3} C．{－1，0，1} D．{3，5}2．設(shè)是原點(diǎn)，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為和，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．3．內(nèi)角、B、的對邊分別是、b、，若、b、成等差數(shù)列，b=1，且，則（

）A． B． C． D．4．某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是（

）A．計算 B．計算C．計算 D．計算5．已知和，則（

）A． B． C． D．6．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（

）A． B．2C．7 D．87．在正四棱柱中是的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知正方體棱長為，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，且點(diǎn)到平面距離等于線段的長，則當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面運(yùn)動時，則的最小值是（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若方程有三個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．10．如圖，在中點(diǎn)C滿足，點(diǎn)P為OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交線段OA，OB于點(diǎn)M，N，若，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．611．已知圓：．設(shè)是直線：上的動點(diǎn)，是圓的切線，為切點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．512．已知奇函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，則有，則不等式的解集為()A． B． C． D．二、填空題13．已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為和，該圓臺的體積為，則該圓臺的高為______.14．將8個人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組方法種數(shù)為______.15．若函數(shù)為偶函數(shù)，則_____．16．若橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，離心率分別為，是兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足，則的值為________.三、解答題17．已知數(shù)列滿足且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和為.18．為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機(jī)抽取了一個容量為200的樣本，測量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)；（2）記產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為等品，每件可獲利6元；產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機(jī)器一個月共生產(chǎn)2000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達(dá)到9000元，則需要對該工廠設(shè)備實(shí)施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設(shè)備實(shí)施升級改造.19．如圖1所示，在平面多邊形中四邊形為長方形，為正三角形，且，沿將折起到的位置，使得平面平面（圖2）.(1)證明：；(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.20．已知拋物線：過其焦點(diǎn)作斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過原點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).21．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)與．(1)求a的值；(2)求函數(shù)在上的極值．22．在直角坐標(biāo)系中直線的參數(shù)方程為(是參數(shù))，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，且直線與交于兩點(diǎn)，求的值;23．設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時，則求不等式的解集；(2)已知不等式的解集為求的最小值.參考答案與解析1．D【分析】求出集合B，然后求出即可【詳解】因?yàn)樗运怨蔬x：D.2．B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由題意故選：B3．D【分析】根據(jù)條件可得，再結(jié)合余弦定理，即可求出【詳解】解：因?yàn)?、b、成等差數(shù)列，所以由余弦定理可得解得故選：D4．A【分析】按流程圖順序計算可得結(jié)果.此時，跳出循環(huán)，輸出.故選：A5．D【解析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解．【詳解】解：因?yàn)樗运裕蔬x：D．6．C【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點(diǎn)時，則取得最大值．【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部如下圖表示：由，得由此可知要取最大值，則直線在軸上的截距最大作直線，將此直線向上平移經(jīng)過點(diǎn)C時，則取得最大值由，得，即所以的最大值為故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識，屬于中檔題．7．A【分析】根據(jù)線面角定義，先證明為與平面所成的角，再根據(jù)題設(shè)條件求出利用正弦的定義即可求解.【詳解】依題意，可得如圖：設(shè)底面的中心為易得平面，平面，所以又且，平面所以平面取的中點(diǎn)，連接，則所以平面，連接則為與平面所成的角.因?yàn)樗?所以.故選：A.8．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)在內(nèi)可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作，連接，可得，作，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的范圍，即得最小值.【詳解】根據(jù)題意，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示作，交于M，連接，則作，交于N，則即為點(diǎn)P到平面距離.設(shè),則∵點(diǎn)到平面距離等于線段的長，∴由兩點(diǎn)間距離公式可得，化簡得，則，可得，即.在中，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算，將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過計算二次函數(shù)的最小值來突破難點(diǎn).9．B【分析】把方程有三個不同的實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有三個不同交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得，從而求得實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】解：，與，顯然不合題意，因此方程有三個不同的實(shí)根，即函數(shù)的圖象與有三個不同交點(diǎn).作出函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，得.∴實(shí)數(shù)的范圍是.故選：B.10．D【分析】先由向量的線性運(yùn)算得，再由得，由三點(diǎn)共線即可求解.【詳解】由題意得，，則又，則，則，又三點(diǎn)共線則，即.故選：D.11．D【分析】把化成，再利用切線長性質(zhì)轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)M到直線l距離即可作答.【詳解】如圖，連AM，圓M半徑為2，則圓心到直線l的距離，從而得于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”所以的最小值為5.故選：D12．A【分析】構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)條件可得是奇函數(shù)，且單調(diào)增，將所求不等式化為，即，解得，即【詳解】設(shè)因?yàn)闉樯掀婧瘮?shù)所以即為上奇函數(shù)對求導(dǎo)，得而當(dāng)時，則有故時，則，即單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增不等式即所以，解得故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)解解不等式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，題目較綜合，有一定的技巧性，屬于中檔題.13．3【分析】由圓臺的體積公式直接求得.【詳解】圓臺的體積，得.所以該圓臺的高為3.故答案為：3.14．280【分析】組合問題中既有均分又有非均分，先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，注意均分分組中的順序問題，剩余兩人為一組.【詳解】先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，剩余兩人為一組.滿足條件的分組方法種數(shù)為.故答案為：280.15．1【詳解】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，?。?6．【分析】根據(jù)橢圓及雙曲線的定義求得，結(jié)合，化簡得到，則【詳解】設(shè)橢圓，雙曲線，焦距為2c則則又，則由勾股定理知則則故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，問題等價于求與的關(guān)系，結(jié)合條件，利用橢圓和雙曲線的定義來求得.17．(1).(2).【分析】（1）利用等比數(shù)列定義判斷為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案.（2）由（1）可求得的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法即可求得答案.【詳解】（1）由題意知數(shù)列滿足且是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由，得所以則兩式相減得所以.18．（1）件；（2）需要對該工廠設(shè)備實(shí)施升級改造.【解析】（1）根據(jù)評論分布直方圖面積之和為1列等式計算得，用200乘以內(nèi)的頻率即可得出答案；（2）根據(jù)題意計算等品件，不合格品有件，進(jìn)而得合格品有件，根據(jù)題意計算其利潤與9000比較判定需要對該工廠設(shè)備實(shí)施升級改造.【詳解】解：（1）因?yàn)榻獾盟?00件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)為（件）.（2）由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有件這批產(chǎn)品中不合格品有件，

這批產(chǎn)品中合格品有件元.

所以該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品一個月所獲得的利潤為8960元因?yàn)樗孕枰獙υ摴S設(shè)備實(shí)施升級改造.【點(diǎn)睛】頻率分布直方圖中的常見結(jié)論（1）眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)；（2）平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；（3）中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而即得；（2）作，取的中點(diǎn)F，則平面，可得為與平面所成的角，進(jìn)而即得.（1）由四邊形為長方形，可知因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面所以平面，又平面所以；?）作，垂足為O，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面連接，取的中點(diǎn)F，連接，，則所以平面所以為與平面所成的角由平面，平面，可知同理可得，因?yàn)樗裕?，所以在直角中易求，又所以所以，又所以即與平面所成角的正弦值是.20．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為1，利用拋物線的方程，求解，即可得到拋物線的方程；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得與，再由得，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和則，兩式相減得.即又線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為1，∴∴.即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線：與拋物線：交于點(diǎn)則∴∴，由得，即直線為，∴過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線方程的求解，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中用直線的方程與拋物線線的方程聯(lián)立，合理利用根與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21．(1)(2)的極大值為，極小值為【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知條件即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間，從而即可求解函數(shù)的極值.(1)解：因?yàn)?，所以，解得?2)解：由(1)知，和令，得或，令，得所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以的極大值為，極小值為.22．(1)(2)【分析】（1）首先消去參數(shù)即可得到直線的普通方程，再根據(jù)，即可得到C的直角坐標(biāo)方程.（2）首先直線l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中再根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為（t是參數(shù)），消去參數(shù)t得即直線l的普通方程為．將，代入C的極坐標(biāo)方程，得即所以C的直角坐標(biāo)方程為．（2）因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，所以直