線性方程組解的結構

線性方程組解的結構當前第1頁\共有21頁\編于星期二\13點其通解的結構如何?如何寫出其向量形式的通解?齊次線性方程組解的結構本章以向量為工具討論線性方程組解的結構主要內容:非齊次線性方程組解的結構如果當齊次線性方程組有無窮多解時,問題:1.2.如果當非齊次線性方程組有無窮多解時,其通解的結構如何?如何寫出其向量形式的通解?當前第2頁\共有21頁\編于星期二\13點§4.1線性方程組解的存在性定理對于非齊次方程組非齊次方程組解的判別定理

齊次方程組解的判別定理對于齊次方程組當前第3頁\共有21頁\編于星期二\13點

第四章線性方程組解的結構§4.4線性方程組在幾何中的應用§4.2齊次線性方程組解的結構§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結構當前第4頁\共有21頁\編于星期二\13點記Ax=0的解集為:(1)1.解向量:的一個解向量.2.解向量的性質:(2)不妨設是N(A)的最大無關組(稱為基礎解系)則:由(1),(2)可知(取任意實數(shù))§4.2齊次線性方程組解的結構當前第5頁\共有21頁\編于星期二\13點通過下面的例子,來解決以上問題例1問題:對于給定的方程組如何求其基礎解系?解:當前第6頁\共有21頁\編于星期二\13點是解嗎?線性無關嗎?任一解都可由

表示嗎?基礎解系所含向量的個數(shù)=?是基礎解系嗎?令自由變量為任意實數(shù)

說明:1.基礎解系不惟一2.但所含向量的個數(shù)唯一且等于n-R(A)當前第7頁\共有21頁\編于星期二\13點齊次方程組解的結構定理齊次方程組的基礎解系所含向量個數(shù)為設一個基礎解系為:則通解為:例２．設ｎ階矩陣Ａ的秩為ｎ－１，Ａ的每行元素之和為零，寫出ＡＸ＝０的通解．解：的基礎解系所含向量個數(shù)為則通解為：當前第8頁\共有21頁\編于星期二\13點例2設,是的兩個不同的解向量,k取任意實數(shù),則Ax=0的通解是例3設,證明重要結論證記則由說明都是的解因此移項當前第9頁\共有21頁\編于星期二\13點例4.已知的列向量組是齊次線性方程組的基礎解系,B是m階可逆矩陣,試證:AB的列向量組也是齊次線性方程組的基礎解系.證明:則AB的列向量組是齊次線性方程組的解向量由條件可知A的列向量組線性無關且含m個向量所以AB的列向量組線性無關,即是方程組的基礎解系.當前第10頁\共有21頁\編于星期二\13點

第四章線性方程組解的結構§4.4線性方程組在幾何中的應用§4.2齊次線性方程組解的結構§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結構當前第11頁\共有21頁\編于星期二\13點(1)設都是(1)的解,則是(2)的解.(2)設是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設是(1)的一個解(固定),則對(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得由此得:1.解向量:2.性質:§4.3非齊次線性方程組解的結構當前第12頁\共有21頁\編于星期二\13點非齊次方程組解的結構定理的一特解解,則當非齊次線性方程組有無窮多解時其通解為:例5.的三個解向量解:的基礎解系含一個向量當前第13頁\共有21頁\編于星期二\13點例6解當前第14頁\共有21頁\編于星期二\13點例7設是非齊次Ax=b的兩個不同的解其對應的齊次方程組的基礎解系,則Ax=b的通解是(多選)當前第15頁\共有21頁\編于星期二\13點例8.已知方程組問:a為何值時,方程組有唯一解?無解?無窮多解?有無窮多解時求出通解.解:所以有無窮多解,當前第16頁\共有21頁\編于星期二\13點因為系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩,所以方程組無解.例9.的三個解向量,當前第17頁\共有21頁\編于星期二\13點例10設線性方程組的系數(shù)矩陣為A,存在解:則B的列向量組為AX=0的解向量例11齊次線性方程組,則下列結論正確的是當前第18頁\共有21頁\編于星期二\13點例１2已知方程組問ａ為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多個解？在方程組有無窮多個解時求出通解．（考試題）解：方程組有唯一解即當ａ＝０時．．．．．．．當ａ＝３時．．．．．．．當前第19頁\共有21頁\編于星