§8.3 直線、平面平行的判定與性質（講解部分）

專題八立體幾何§8.3直線、平面平行的判定與性質高考文數考點直線、平面平行的判定與性質考點清單考向基礎1.判定直線與直線平行的方法(1)平行公理:a∥b,b∥c?a∥c;(2)線面平行的性質定理:a∥β,a?α,α∩β=b?a∥b;(3)面面平行的性質定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b;(4)垂直于同一個平面的兩條直線平行;(5)如果一條直線與兩個相交平面都平行,那么這條直線必與它們的交線平

行.2.直線與平面平行的判定和性質3.平面與平面平行的判定和性質【知識拓展】與平面平行有關的幾個常用結論:(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等;(2)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行;(3)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例;(4)同一條直線與兩個平行平面所成角相等.考向突破考向一線面平行的判定與性質例1在三棱柱ABC-A1B1C1中,截面A1B1C與平面ABC交于直線a,則直線a與

直線A1B1的位置關系為

.解析在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,AB?平面ABC,A1B1?平面ABC,

∴A1B1∥平面ABC,又∵A1B1?平面A1B1C,平面A1B1C∩平面ABC=a,∴A1B1

∥a,故填平行.答案平行考向二面面平行的判定與性質例2

(2020屆豫北名校9月聯(lián)考,6)如圖所示,P是三角形ABC所在平面外一

點,平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于點A',B',C',若PA'∶AA'=2∶

3,則△A'B'C'與△ABC的面積比為

()

A.2∶5

B.3∶8

C.4∶9

D.4∶25解析∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',平面PAB∩平面ABC=

AB,∴A'B'∥AB,又知PA'∶AA'=2∶3,∴A'B'∶AB=PA'∶PA=2∶5,同理可得B'C'∶BC=A'C'∶AC=2∶5.∴△A'B'C'∽△ABC,且相似比為2∶5,∴

=

=

,故選D.答案

D方法1證明線面平行的方法1.利用線面平行的定義(此法一般伴隨反證法證明).2.利用線面平行的判定定理:關鍵是在平面內找出與已知直線平行的直線.3.利用面面平行的性質:當兩個平面平行時,其中一個平面內的任一直線都

平行于另一個平面.方法技巧例1如圖所示,正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB,在

AE、BD上各有一點P、Q,且AP=DQ.求證:PQ∥平面BCE.

證明證法一:如圖所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,連接

MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,∴AE=BD.又AP=DQ,∴PE=QB,又PM∥AB∥QN,∴

=

=

=

,∴

=

,又AB=DC,∴PM=QN,又PM∥QN,∴四邊形PMNQ為平行四邊形,∴PQ∥MN.又MN?平面BCE,PQ?平面BCE,∴PQ∥平面BCE.證法二:如圖,在平面ABEF內,過點P作PM∥BE交AB于點M,連接QM.

則PM∥平面BCE,∵PM∥BE,∴

=

,∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,∴AE=BD,又∵AP=DQ,∴PE=BQ,∴

=

,∴

=

,∴MQ∥AD,又AD∥BC,∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,∴平面PMQ∥平面BCE,又PQ?平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.方法2證明面面平行的方法1.利用面面平行的定義(此法一般伴隨反證法證明).2.利用面面平行的判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另

一個平面,那么這兩個平面平行.3.證明兩個平面都垂直于同一條直線.4.證明兩個平面同時平行于第三個平面.例2如圖,四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF

的中點.(1)求證:BE∥平面DMF;(2)求證:平面BDE∥平面MNG.

證明(1)設DF∩GN=O,連接AE,則AE必過點O,因為四邊形ADEF為平行

四邊形,所以O為AE的中點,連接MO,又M為AB的中點,所以MO為△ABE的

中位線,所以BE∥MO,又BE?平面DMF,MO?平面DMF,所以BE∥平面DMF.

(2)因為N,G分別為平行四邊形ADEF的對邊AD,EF的中點,所以DE∥GN,又DE?平面MNG,GN?平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點,N為AD