光線光學演示文稿

光線光學演示文稿當前第1頁\共有40頁\編于星期四\19點（優(yōu)選）第一講光線光學當前第2頁\共有40頁\編于星期四\19點1、反射定律根據(jù)這一原理，馬上可知在均勻媒質(zhì)中，光線是直線，即光的直線傳播定律。費馬原理是幾何光學的理論基礎(chǔ)，從它可以導出幾何光學的全部定律。例如：

作AC⊥M，AC＝CD，P是BD線與平面鏡面的交點。所以P點位于平面ACDB內(nèi)。根據(jù)費馬定理，APB＜AQB，實際光線APB是極小值，因此DPB是一條直線，AP＝PD。當前第3頁\共有40頁\編于星期四\19點2、折射定律（斯涅耳定律）這個定律是于1621年由W.Snell從實驗上發(fā)現(xiàn)的，又：故光程為極小值。當反射或折射面不是平面而是曲面時，反射定律和折射定律同樣成立。當前第4頁\共有40頁\編于星期四\19點3、物像之間的等光程性——光程取恒定值4、凹球面鏡反射——光程取極大值設(shè)A、B為橢球面的兩個焦點，球面在橢球面內(nèi)部，并相切于P點，光線為APB（滿足反射定律），易證APB＝ARB＞AQB，故光線比相鄰的路程要大，即光程取極大值。當前第5頁\共有40頁\編于星期四\19點費馬原理與哈密頓原理都是變分原理，形式上相似。本章將根據(jù)費馬原理推得描述光線傳播路徑的方程，并且把分析力學中的一套研究質(zhì)點運動軌跡的方法搬到光學中來，這種方法稱為哈密頓光學。哈密頓光學適用研究光在折射率分布（非均勻）的媒質(zhì)中的傳播。

經(jīng)典力學中的哈密頓原理為（參考《理論力學教程》周衍柏P.309）：其中L為拉格朗日函數(shù)，L＝T-V是力學體系的動能與勢能之差。從哈密頓原理可推出拉格朗日方程：§1-2哈密頓光學一、光線微分方程當前第6頁\共有40頁\編于星期四\19點其中——廣義坐標，其中——廣義坐標。由費馬原理：

光學拉格朗日函數(shù)定義為：

于是（）式可寫為：

稱為光學哈密頓原理。

當前第7頁\共有40頁\編于星期四\19點光學拉格朗日方程為：

把（）式代入，得：

同理：

光線方程當前第8頁\共有40頁\編于星期四\19點在近軸情況下：

，光線方程變?yōu)椋豪霉饩€方程可以求出各種介質(zhì)中光線的性質(zhì)。舉例如下：（近軸光線方程）此時n為常數(shù)，

，代入（1.2.10）式，得到：上式是直線方程，因此在均勻媒質(zhì)中，光線的形狀是直線。設(shè)折射率分布為，與z無關(guān)。利用近軸光線方程，有：1、均勻介質(zhì)2、自聚焦介質(zhì)當前第9頁\共有40頁\編于星期四\19點把折射率分布代入，有

，解之，得：類似地，有：系數(shù)

由初始條件（入射點和入射方向）決定。如入射點在，方向角為時，光線是周期為的子午光線，光線被限定在平面內(nèi)。入射點和方向角取適當值時，光線以螺旋形式傳播，它距軸為恒定距離。當前第10頁\共有40頁\編于星期四\19點∴光線方程可寫為：為光線切線方向的單位矢量。對具有徑向?qū)ΨQ的媒質(zhì)，沿著方向。于是：3、球面對稱介質(zhì)當前第11頁\共有40頁\編于星期四\19點這意味著所有光線都是平面曲線，所在平面皆通過原點O，并且沿每條光線也即nd=常數(shù)——布給（Bouguer）公式。它與質(zhì)點在中心力場中運動時角動量守恒形式類似。由幾何關(guān)系有（見《光學原理》上冊P.167）：代入（）式，有：當前第12頁\共有40頁\編于星期四\19點4、麥克斯韋魚眼把n(r)代入(1.2.20)式中，并令:其中是常數(shù)，折射率只是徑向坐標r的函數(shù)。從某一物點發(fā)出的所有光線匯交在同一象點上。證明如下：其中c為（）式中的常數(shù)，可得：積分得：當前第13頁\共有40頁\編于星期四\19點其中a為積分常數(shù)，即：上式為麥克斯韋魚眼中的光線方程。通過的曲線簇為:從上式可以看出，這些曲線都通過點，其中，所以來自一個任意點的所有光線，均相交于點到O連線上的點：和分別在O的兩邊，并且。當前第14頁\共有40頁\編于星期四\19點因此，魚眼是一種理想成像，也稱絕對儀器。又和兩點是滿足光線方程（1.2.24）的，因此每一條光線與固定圓相交于一直徑的兩端A，B（對不同的光線A，B點不同）。把極坐標變換到笛卡爾坐標中：（）式可化為：式是：（）式表示魚眼中每一條光線都是一個圓。從魚眼中的光線可以看出，光線彎向折射率高的一邊，對一般情況也可證明（《光學原理》P.168）當前第15頁\共有40頁\編于星期四\19點在分析力學中，除了用拉格朗日方程來描述力學系統(tǒng)的運動規(guī)律外，還有哈密頓正則方程。其形式簡單而對稱，更加抽象、概括，而且易于向量子力學過渡。類似地光線光學中除了光學拉格朗日方程外，也可推得光學哈密頓正則方程，形式簡單而對稱，更加抽象概括，易于向波動光學過渡。

二、哈密頓正則方程當前第16頁\共有40頁\編于星期四\19點其中拉氏函數(shù)定義光學廣義動量:其中是光線在點沿方向的方向余弦，稱為光方向余弦。當前第17頁\共有40頁\編于星期四\19點定義光學哈密頓函數(shù):根據(jù)拉氏方程，及廣義動量的定義有：作變量代換，光學拉格朗日函數(shù)的微分為：當前第18頁\共有40頁\編于星期四\19點對比（）和（）有：∴H為的函數(shù):（）式稱為哈密頓正則方程。給定哈密頓函數(shù)H，便可計算光路。為了便于寫出H，一般用折射率及光學方向余弦（廣義動量）來表示。當前第19頁\共有40頁\編于星期四\19點這就是相對論光學哈密頓函數(shù)的表達式。在力學中對穩(wěn)定約束系統(tǒng)H等于力學體系的總動量。三、哈密頓正則方程在近軸光學中的應(yīng)用對于旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)，設(shè)：則：把H作泰勒展開，得：當前第20頁\共有40頁\編于星期四\19點在近軸近似下，H取到u,v的一次方項（高階項對應(yīng)于象差），由哈密頓正則方程，有：其中：其中：當前第21頁\共有40頁\編于星期四\19點例1：單折射球面球面方程：當前第22頁\共有40頁\編于星期四\19點例2：薄透鏡四、程函方程對于薄透鏡可得：程函（eikonal）是一個十分重要的物理量。標量波動方程為：其中表示電場的某一分量，。設(shè)（）的解為：其中是x,y,z的緩變實函數(shù)，把（）式代入（）式，得：從實部得：當前第23頁\共有40頁\編于星期四\19點在的條件下（或是x,y,z的緩變函數(shù)，），有：(1.2.46)式稱為程函方程，它是幾何光學的基本方程。其中L為程函，表示波前（波陣面），即等位相曲面。例：從程函方程導出光線方程定義：光線——幾何波陣面L＝常數(shù)的正交軌線。由程函方程：當前第24頁\共有40頁\編于星期四\19點在上面的推導中用到了程函方程和微分關(guān)系：當前第25頁\共有40頁\編于星期四\19點波動光學的基本方程

其中：n——介質(zhì)的折射率，c——真空中的光速

——光波的電場分量§1-3幾何光學與波動光學的過渡一、波動光學過渡到幾何光學設(shè)上述波動方程解的形式為：其中：——振幅，——程函，當前第26頁\共有40頁\編于星期四\19點代入波動方程得：如果波長很小，則在波長的數(shù)量級內(nèi)，折射率平緩變化，因而振幅因子中的也平緩變化。所以當時，（1.6.7）化為:當前第27頁\共有40頁\編于星期四\19點

S=常數(shù)的曲面叫做波面，其正交曲線就是幾何光學中的“光線”，光線的方向余弦應(yīng)為，即。在均勻媒質(zhì)內(nèi)，n為常數(shù)，，意指波面的形狀不變，光線沿直線傳播。當前第28頁\共有40頁\編于星期四\19點在非均勻媒質(zhì)內(nèi)，與位置有關(guān)，波面形狀要發(fā)生變化，而光線沿波面法向傳播，光線必然彎曲。由程函方程可推得光線方程：由波動光學的波動方程出發(fā)，在的近似條件下可得到幾何光學的程函方程，進而可推得光線方程，可見幾何光學是波動光學在的極限情形。二、幾何光學到波動光學波動光學幾何光學波動力學（量子力學）經(jīng)典光學當前第29頁\共有40頁\編于星期四\19點經(jīng)典力學中的力學量量子力學中要用算符表示動量算符哈密頓算符薛定諤方程即：是波函數(shù)，德布羅意波波長當前第30頁\共有40頁\編于星期四\19點幾何光學中，與經(jīng)典力學中動量對應(yīng)的是廣義動量，或稱光方向余弦。類比于量子力學的動量算符表示，把光方向余弦用算符表示：取光線傳輸方向z為“時間”參量，有：光學哈密頓函數(shù)算符化：當前第31頁\共有40頁\編于星期四\19點由對應(yīng)關(guān)系，可以直接寫出類似的光學薛定諤方程：由此式出發(fā)可推出波動光學的基本方程——波動方程。用光學哈密頓算符作用于上式，得：即：把代入上式，得：當前第32頁\共有40頁\編于星期四\19點三、光線量子力學理論1、光場流線結(jié)構(gòu)模型不含時間的波動方程：對比以上二式，可見：可見g的作用的確類似于量子力學中的。當波動光學的，也即時，就過渡到幾何光學。光纖通訊、集成光學—→光線量子化理論，適用于限制在有限厚介質(zhì)薄膜中定向運動的光場量子化。當前第33頁\共有40頁\編于星期四\19點在介質(zhì)薄層內(nèi)傳輸?shù)墓鈭鍪怯梢皇貍鬏敺较虻臒o窮多幾何流線構(gòu)成。這束光流線具有波線雙重屬性。（1）在光傳輸方向上的橫截面上，流線的密度由光場強度確定；（2）光流線的線跡遵守幾何光學的費馬原理；（3）光流線的結(jié)構(gòu)模型既不否定光的波動性，也不否定光的粒子性，而且具有雙重性的本質(zhì)。用光流線模型研究光在致密介質(zhì)中的傳輸特性可以不必過分地追究細微的光子量子，也不必過分地追究分解元波，只用二個獨立的空間位移坐標（x,y）和三個角度參量（流線與傳輸方向夾角）來描述流線運動。當前第34頁\共有40頁\編于星期四\19點2、光線力學的原理從幾何光學的基本原理出發(fā)，對光場作出力學理論的描述稱為光線力學，實際上為哈密頓光學。費馬原理：拉氏函數(shù)廣義動量光線哈密頓函數(shù)取傍軸近似，在近軸情況光學哈密頓將向非相對論的情況過渡，對（1.6.25）式作級數(shù)展開，取一級近似，可得：當前第35頁\共有40頁\編于星期四\19點對比經(jīng)典力學其中是常數(shù)，它與n的關(guān)系為：傍軸光線近似非相對論力學非傍軸光線力學相對論經(jīng)典力學折射率n相當于勢阱“光線折射率勢阱”當前第36頁\共有40頁\編于星期四\19點3、光線量子力學的基本原理在光線力學的基礎(chǔ)上，接量子力學的一般原則，對力學量量子化，可以得到光線量子力學的基本問題。引進光線量子常數(shù)取光線傳輸方向Z為“時間”參量，對力學量算符簡化，有：（1）坐標（2）動量（3）哈密頓量（4）非相對論哈密頓算符當前第37頁\共有40頁\編于星期四\19點由算符的等價性，得：即：光線相對論量子力學方程，也稱K-G方程。標量波動方程光線量子力學中的光線流：具有波粒二象性的流線。表示在ds面元上光線流的幾率密度。當前第38頁\共有40頁\編于星期四\19點近軸光線量子力學方程——非相對論量子力學方程取平面波為試探光流線分布函數(shù)相對論量子力學