東師《高等數(shù)學(二)》練習題二

《高等數(shù)學(二)》練習題二一、是非題.若點X0是f(x)的駐點，則X0為f(x)的極值點。(X).若(a,f(a))是函數(shù)f(x)的拐點，則f//(a)=0。 (×.曲線y=χ3在χ=0處不存在極值。(√ ).積分J1sin(lnX)dx不存在。(X)x.y'=X2y是可分離變量的微分方程。(√6．設f(x)是連續(xù)函數(shù)，則(Jf(x)dx)'=f(x)+C。(X)7.y=私是微分方程y'+y=0的解。(X二、單項選擇題.函數(shù)y=X3在(—∞,+∞)上(A)。A.單調(diào)增加B.不可導C.不單調(diào)D.不連續(xù)。.極值反映的是函數(shù)的(B)性質(zhì)。A.整體B.局部C.單調(diào)增加D.單調(diào)減少。.若函數(shù)y=f(X)在X=X處取得極值，則有(D)。0f(x)>00f(x)<00f,(x0)=0D.以上都不對.設a<x<b,f'(x)>0,f"(x)<0，則曲線f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沿X軸正向(D)。A.下降且為凹B.下降且為凸C.上升且為凹D.上升且為凸。.下列積分中，屬于線性微分方程的是(D)。A.町sin(沖)dx+ydy=0B.y'=ln(X+y)dyC.——=xSmydxD.y'+—=eχx6.設a<x<b,f(x)<0,f'(x)<0,則曲線f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沿X軸正向(B)。A.下降且為凹B.下降且為凸C.上升且為凹D.上升且為凸7.微分方程Xy'—ylny=0的滿足y(1)=e的特解為：(By=exy=exy=Xe2X-1y=elnx三、填空題.微分方程y'--=0的通解為y=Cx。xJXSin13dt ι.limτ= 一 。x→0Jx2tdt 20.函數(shù)y=x3-3x+1的極小值為y(1)=-1。.函數(shù)f(X)=3x的全體原函數(shù)是 ,3x+C In3.函數(shù)y=(X+1)3的單調(diào)區(qū)間為-∞,+∞。.設f(X)=J-^dX，則f'(0) 11-x7.微分方程t(X')2—21?X'+1=0的自變量是t,未知函數(shù)是X四、解答題.利用洛必達法則求：limX2(1—cosX-8所給極限呈0?∞類型，于是有1)1X,2limX2(1-CoS?)=IimX X-∞1—cos1—~—=lim X-∞X211一一sin_—x2---x-=lim2 -X-81sin—X"?X→∞X3x12.求函數(shù)y=2x3—3X2位于區(qū)間［—1,2］上的最大、最小值。由于函數(shù)處處可導，故由y'=6X2—6X=0nX=0,1為兩個駐點。計算y(—1)=—5, y(0)=0,y(1)=—1,y(2)=4，故函數(shù)位于區(qū)間［—1,2］上的最大、最小值依次為y(2)=4,y(—1)=—53、用兩種方法求積分JX2(X3—2)dX。第一種方法：利用換元積分法，有J—2(—3—2)dx=IJ(—3—2)d(—3—2)=(—3_—+C=———X3+C3 6 63第一種方法：打開被積函數(shù)，有JX2(X3—2)dX=J(X5—2X2)dx=^6—2X3+C63C IX2, 0≤X≤1,4、設函數(shù)f(X)=L1C試求Jf(X)dX。12X,1≤X≤2, 0這是分段函數(shù)的積分，利用區(qū)間可加性質(zhì)即可得到J2f(X)dX=J1f(X)dX+J2f(X)dX=J1 2 1 10X2dX+J2XdX=—+3=—33001015、求微分方程盯'+>=X2+31+2的通解。變形得X3 3(Xyy=χ2+3x+2=(―+—%2+2x+C)r,故所求的通解為Y33 X23 「xy--+—%2+2x+C,或j=—+—x+2+一o32 3 2 X6、?∕(x)=x+y∕x(%>0),求? ?由/(x)=x+√7(X>0),有 ∕r(x)=l+—=(x>0)n∕'(42)=l+=，2√x 2x于是有=x+-↑nX+Co27、已知曲線y=∕(x)在點X處的切線斜率為2