高考數(shù)學(xué)文科21題評(píng)析嘉興秀州中學(xué)屠新躍郵編314033

2007年高考數(shù)學(xué)文科(21)題評(píng)析嘉興市秀州中學(xué)屠新躍郵編314033手機(jī)013586318910B兩點(diǎn)，記AAOB的面積為S.(21)如圖，直線y=kx+b與橢圓—+y2B兩點(diǎn)，記AAOB的面積為S.(I)求在k=0,0<b<1的條件下，S的最大值；(II)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí)，求直線AB的方程.一、試題點(diǎn)評(píng)與2005年、2006年高考文科試卷相似，2007年文科數(shù)學(xué)的解析幾何大題也安排在倒數(shù)第二大題——第21題(與理科第20題內(nèi)容相同).本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，體現(xiàn)了試卷“以能力立意”的命題思想．從最后結(jié)果來看，本題的難度為0.32(理科為0.56)，起到了文科(準(zhǔn))“壓軸題”的作用，使試卷的區(qū)分度更加明顯，可是相對(duì)06年文科解幾大題0.51的難度，差距比較大．本題I、II兩小題的關(guān)系是并列的，但都涉及三角形面積，而三角形面積公式的記憶錯(cuò)誤恰好是較多學(xué)生失分的原因之一.第I題中求三角形面積最大值對(duì)文科學(xué)生來講起點(diǎn)較高、難度較大，這也影響了第！題的解答.第I題的運(yùn)算量較大，要求對(duì)解幾的基本方法能熟練準(zhǔn)確運(yùn)用，但題目的“面孔”還是熟悉的；由于第I題需要綜合解幾及函數(shù)或不等式的知識(shí)，似乎容易給學(xué)生造成一種兩小題倒置的“錯(cuò)覺”，這從最后的得分情況可以反映出來．二、另解欣賞DODOD■題：口三角形面積最大值方法豐富多樣，與參考答案不同的有六種之多.利用基本不等式：設(shè)A(x,b)(x>0),則B(-x,b)11b=11-x1—,S=AB-b=—?2x?.1-x1—=—?x,-.4-x2TOC\o"1-5"\h\z4 2 2 1\ 4 2 1\ 1r -一, 2 22當(dāng)x1=-V4-x12，x1="2，b=\：1-4:工時(shí)，Smax=1.x2 x 1 x2()*/1=—i—+b2>2?一?b=xb,S=?2x?b=xb<1,當(dāng)-^-=b2,4 2 1 2 1 1 42b2=, 當(dāng)b=^^時(shí)，S=1.2 max.利用二次函數(shù)：???x=211-b2S=2b、、1-b2=2、:b2-b4=2■'-(b2-1"+1<2 =11 2 4 、■4.利用導(dǎo)數(shù)：

TOC\o"1-5"\h\z2 支設(shè)f(b)=b2-b4,f/(b)=2b-4b3，令f/(b)=0得b=0,± ，當(dāng)0<b<——,22f/(b)>0，當(dāng)。<b<1,f/(b)<0,f(b)在(0,二)上遞增，在(二,1)上遞減，.??22 1f(b)在b==-取極大值，此時(shí)就是最大值f(k)=，,S=2 =1.2 2 4maxT4.利用三角換元：S=2b、1-b2，0<b<1，令b=sina， v1-b2=cosa，S=2sinacosa?CT 兀，.兀<2 c -=sin2a<1,當(dāng)a=—,b=sin= 時(shí)，S =1.4 4 2 max.利用橢圓參數(shù)方程：A、B兩點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)y=be(0,1),設(shè)42cosa,sina)、B(-2cosa,sina),兀 1,ae（0,一）,S="4cosa-sina=sin2a<1.2 2（二）第（11）題：與參考答案不同的只是把消去y,換成消去了來解，還有兩種其它做法..消去了來解：設(shè)A(1,y)、B(x,y),Vk豐0，由直線方程得了=-1(y-b)代入了2+4y2=411 22 k得至ij：(1+4k2)y2-2by+b2-4k2=0，其中A=16k2(4k2-b2+1),①則1ABi=41ABi=4十-Iy1-y2I=?*416k2(4k2-b2+1)1+4k2設(shè)O到設(shè)O到AB的距離為d，則d=2S

ABb1,又因?yàn)閐= 11 ，所以b2=k2+1,<1+k2把b把b2=k2+1代入②式，解得k2=1， 3 ，八b2=-.代入①式檢驗(yàn)，此時(shí)A>0.故直線AB的方程是:j/6yj/6y=-21+ ，或y=-21-f、 <2痣、 <2 <6或y=-f了+f，或y=-f了--y.設(shè)了軸的截距式消元：n設(shè)直線AB的方程是x=my+n，則1=d=,一n2=m2+1①，x=my+n1+m2S=1-ly1-yJ1nl=l所以2 1 2代入x2+4y2=4得(S=1-ly1-yJ1nl=l所以2 1 216(m2—n2+4)4=J—J2?n2= ?n2，把①代入，可求得m2=2,n2=3，檢驗(yàn)得，1 2 (m2+4)2此時(shí)②式的A>0,??.直線AB的方程是：%+v2j+v3=0，或%+%立j—v3=0，或%—『2j+<3=0，或%-、”j—33=0.□□□□□□1DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD(1)三角形面積:s=|AB卜b,|%—%卜b.|0A|-pB|sinZAOB,^OA卜|OB|cos/AOB、i2 21|AB|-d、還有S=1(OA+OB+AB)、S=4兀R2.^2b k—1+b(2)點(diǎn)到直線的距離：d=J、d===1\，1—k2 V1+k28kb 8kb% —8kb%(3)韋達(dá)定理:%+(3)韋達(dá)定理:1 21+4k2 1+4k2 1+4k2(4)弦長(zhǎng)公式:(4)弦長(zhǎng)公式:|、J1-k2%—%J、J1+k%—%J、\1—k2J1+k2j—j1 2I、*1+k2[(%+%)J1+k2j—j1 2TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 122DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD(1)已求得s=2bJ1—b2時(shí).???0<b<1?S=0； ???0<b<1?0<<1—b2<1?S=2；max max八，. ，1 ~ ~V30<b<1.,.當(dāng)b=時(shí)，S最大，S=——；2 max2?.丁丁c , 2丁一4當(dāng)2b=v1—b2時(shí)S最大，,b=—v5時(shí)，S=；5 max5S=2.'(1+b)(1—b)?b<[(1+b)+(1—b)]?b=2b,?S =2b；\o"CurrentDocument"“ max?S=

max4—3b?S=

max4—3b2S<(2、.1—b2)2+b2=4—3b2,二S=4—3b2；max2b+<1—b2:S<( )2.??S=(2 max2b+<1—b2)2；(2)S=2OA“OB|sina,:sina<1?OA±OB時(shí)，S最大;()設(shè)/AOB=a,S=b2tan-，?/0<b<1aa=900時(shí)，S=tan450=1；2 max(4)當(dāng)a=2,b=1時(shí)，S =1ab=1x2x1=1；(錯(cuò)認(rèn)為這里的b就是虛半軸)max2 2(5)第H題中，S=1AB|?b,???AB|=2ab=1ay=kx+1.3．計(jì)算不仔細(xì)：學(xué)生代數(shù)運(yùn)算能力過不了關(guān)，在解析幾何中得到了集中體現(xiàn)．I: - - - 1-b2x=±2丫,1+b2、土2X1一b、±v'4—b2、土、：1一4b2、士 ；2?一一一一一-1--——，—，由x2=4-4b2得x=2—2b,x=2+2b；S=?2V4—4b2?b=2%：2—2b2?b；1 2 ， 2(2)將y=kx+b代入x2+4y2=4,消去y的錯(cuò)誤：x2的系數(shù)為k2+4、1+k2、2+4k2、4k2-1；x的系數(shù)為2k、一8kb、8b、8k、4kb；常數(shù)項(xiàng)為4b、4b2、4b2-1、4k2-4、b4-4、b2-1、4；(3)|x-xI=.(xx+x)2-2xx.四、教學(xué)啟示1．落“實(shí)”基礎(chǔ)知識(shí)三角形面積公式主要是漏掉了前面的1造成的錯(cuò)誤，也有寫成S=4兀R2(盡管是個(gè)別)但這樣的錯(cuò)誤，不得不引起我們的警覺和對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的深刻反思.為什么一個(gè)小學(xué)生都知道的公式到了高三反而會(huì)有這么多人出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？大家知道，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查在歷年高考中占有重要的地位，在文科數(shù)學(xué)中的比重更為突出.由于文科學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，針對(duì)這種現(xiàn)狀，在高三復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)和及時(shí)檢查這些知識(shí)點(diǎn).在課堂教學(xué)中，碰到類似基本知識(shí)點(diǎn)時(shí)，不能為了復(fù)習(xí)的進(jìn)度，“匆匆而過，一句帶過”，這種走馬觀花的結(jié)果當(dāng)然是可想而知的，在這時(shí)應(yīng)該采用“停頓一下”、“空白一會(huì)”的教學(xué)手段，和學(xué)生一起靜心地回憶、再現(xiàn)這些重要知識(shí).因此，需要著力解決的是怎么樣才能讓學(xué)生記得牢，比如三角形面積公式，可以和平行四邊形面積公式并在一起來記憶等.因?yàn)槿绻R(shí)記都不準(zhǔn)確，何談理解和應(yīng)用！2．扎“實(shí)”基本技能知道用基本不等式，而求得的面積最大值卻是一個(gè)含有變量b的函數(shù)；能聯(lián)立、消元，很多學(xué)生就是算錯(cuò)、算不出k和b結(jié)果.這樣的“習(xí)慣性”錯(cuò)誤，在我們的教學(xué)中如何來有效地防范，是值得探討和深入思考的問題.“通性通法”是文科學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的主要手段，但是僅僅“曉得”方法顯然不夠，還要充分理解它的內(nèi)涵和應(yīng)用對(duì)象.譬如基本不等式的三步是環(huán)環(huán)緊扣、相互關(guān)聯(lián)，要認(rèn)識(shí)到每一步都是同等重要的；有的學(xué)生了應(yīng)