端點效應(共12張PPT)

解題技巧第三講

端點效應導數(shù)板塊若f(x)在區(qū)間[a,b]上，f(x)≥0恒成立，端點效應則f(a)≥0或f(b)≥0若x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0在a附近的極小區(qū)間中：x0≥a?

f(x0)≥

f(a)=0f(x)↑?f'(x)≥0f'(a)≥0端點效應例1

2021?模擬試題若sinx<ax對恒成立，則a的最小值為（）A．1 B．C．D．常規(guī)：ax-sinx>0恒成立?(ax-sinx)min>0，恒成立，分離參數(shù)：設，則g(x)<a恒成立?a>g(x)max，令F(x)=ax-sinx>0恒成立，F(xiàn)(0)=a×0-sin0=0?F'(x)=a-cosx?F'(0)≥0?F'(0)=a-1≥0?a≥1A若f(x)在區(qū)間[a,b]上，f(x)≥0恒成立，端點效應則f(a)≥0或f(b)≥0若x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且

f(a)=0在a附近的極小區(qū)間中：x0≥a?

f(x0)≥

f(a)=0f(x)↑?f'(x)≥0f'(a)≥0若?x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且

f(a)=0，

當f'(a)=0，則f''(a)≥0端點效應若x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且

f(a)=0f'(a)≥0?若?x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0，

當f'(a)=0，則f''(a)≥02020?全國Ⅰ卷?兩次求導2018?全國Ⅲ卷?端點效應三次求導(分離參數(shù))①端點效應求解：可能比真實范圍大【注意】②恒成立問題，且f(a)=0(用端點效應算的范圍比真實范圍大)例2

2021?模擬試題【理】已知不等式2xlnx<(1-k)(x2-1)對任意x>1恒成立，求k的取值范圍.

法一：當x>1時，x2-1>0恒成立?恒成立令?1-k>f(x)max三次求導(1-k)(x2-1)-2xlnx>0恒成立，x∈(1,+∞)令f(x)=(1-k)(x2-1)-2xlnx，f(1)=(1-1)(12-1)-2ln1=0?f'(1)≥0f'(1)=2(1-k)-2(ln1+1)=2-2k-2≥0?k≤0①ex：乘或除②lnx：加或減例2

2021?模擬試題【理】已知不等式2xlnx<(1-k)(x2-1)對任意x>1恒成立，求k的取值范圍.

x>1恒成立恒成立令?f(x)max<0f(1)=0k≤0當k≤0時，1-k≥1?-(1-k)≤-1，令g'(x)≤0，g(x)在(1,+∞)上↓，?f(x)≤g(x)=0證明k>0時不成立且g(1)=0例3

已知函數(shù)

f(x)=a(x2-x)-lnx(a∈R)．(1)若f(x)在x=1處取得極值，求a的值；(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍.f(1)=a(12-1)-ln1=0?f'(1)≥0f'(1)=a(2-1)-1≥0?a≥1①a≥1時成立②a<1時不成立例4

2021?4月湖南六校聯(lián)考模擬試題已知，g(x)=cosx-1+ax2.(1)若g(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)確定f(x)在(-1,π)內的零點個數(shù).g(0)=1-1+0=0g'(x)=-sinx+2ax?g'(0)=0g''(x)=-cosx+2a?g''(0)≥0?1-2a≥0若f(x)在區(qū)間[a,b]上，f(x)≥0恒成立，端點效應則f(a)≥0或f(b)≥0若x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且

f(a)=0在a附近的極小區(qū)間中：x0≥a?

f(x0)≥

f(a