遼寧省大連市第一二四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

遼寧省大連市第一二四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合，則(

)(A) (B)

(C)

(D)參考答案：D略2.設(shè)集合，，則（

）

A．

B．C．

D．或參考答案：A略3.若點(diǎn)P(3，m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線(t為參數(shù))上，則|PF|等于()．A．2

B．3 C．4

D．5參考答案：C略4.定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)，若對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列”，現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①

②

③

④則其中是“保等比數(shù)列”的的序號(hào)為（

）A.①②

B.③④

C.①③

D.②④參考答案：C5.已知=1﹣bi，其中a，b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a﹣bi|=（） A．3 B．2 C．5 D．參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模． 【分析】通過復(fù)數(shù)的相等求出a、b，然后求解復(fù)數(shù)的模． 【解答】解：=1﹣bi， 可得a=1+b+（1﹣b）i，因?yàn)閍，b是實(shí)數(shù)， 所以，解得a=2，b=1． 所以|a﹣bi|=|2﹣i|==． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力．6.若，則（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】令，則把條件和目標(biāo)都轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到答案.【詳解】解：令，則由，可得故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法、誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題．7.用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則=（）（A） （B）（C） （D）參考答案：B8.已知函數(shù)（），正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則

(

)A．101

B．99

C．

D．參考答案：D9.已知向量與不共線，，（m，n∈R），則與共線的條件是（）A．m+n=0 B．m﹣n=0 C．mn+1=0 D．mn﹣1=0參考答案：D【考點(diǎn)】96：平行向量與共線向量．【分析】根據(jù)共線向量的共線，得到關(guān)于mn的關(guān)系即可．【解答】解：由，共線，得，即mn﹣1=0，故選：D．10.函數(shù)的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象的大致形狀是

(

)

A

B

C

D參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列的數(shù)表：24

68

10

12

1416

18

20

22

24

26

28

30……

……設(shè)2018是該數(shù)表第m行第n列的數(shù)，則m·n=__________．參考答案：4980【分析】表中第行共有個(gè)數(shù)字，此行數(shù)字構(gòu)成以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．根據(jù)等差數(shù)列求和公式及通項(xiàng)公式確定求解.【詳解】解：表中第行共有個(gè)數(shù)字，此行數(shù)字構(gòu)成以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．排完第k行，共用去個(gè)數(shù)字，2018是該表的第1009個(gè)數(shù)字，由，所以2018應(yīng)排在第10行，此時(shí)前9行用去了個(gè)數(shù)字，由可知排在第10行的第498個(gè)位置，即，故答案為：4980【點(diǎn)睛】此題考查了等比數(shù)列求和公式，考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)，總結(jié)、歸納數(shù)據(jù)規(guī)律的能力，關(guān)鍵是找出規(guī)律，要求學(xué)生要有一定的解題技巧．12.過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），S△OAF=．參考答案：

【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】寫出直線AB的方程，聯(lián)立方程組解出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出面積．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)F（，0），∴直線AB的方程為y=（x﹣），聯(lián)立方程組，消元得：3x2﹣5px+=0，解得x1=，x2=．∵A點(diǎn)在x軸上方，∴A（，p）．∴S△AOF=××p=p2，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，屬于中檔題．13.集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝}，則M∩N＝_______．參考答案：[1,＋∞14.（選修4—5不等式選講）已知?jiǎng)t的最大值是

.；參考答案：15.若實(shí)數(shù)、滿足且的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為__

參考答案：略16.已知點(diǎn)在曲線：（為參數(shù)）上，則到曲線的焦點(diǎn)的距離為_______________．參考答案：517.已知平面向量與的夾角為120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，則m=．參考答案：1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）?=0，展開后得答案．【解答】解：∵向量與的夾角為120°，且||=2，||=4，∴，又（m）⊥，∴（m）?=，解得m=1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，已知為銳角，,,求邊的長(zhǎng).參考答案：略19.設(shè)函數(shù)f(x)=x3－x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）已知函數(shù)g(x)=f(x)－ax2+，若g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，試討論過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線能否過點(diǎn)（1，1），若能，求a的值；若不能，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）進(jìn)而得出單調(diào)性．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．對(duì)a與1的大小關(guān)系分類討論可得a的取值范圍．（III）不能，原因如下：設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則f′（x）=x2﹣x+a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．△＞0，解得a＜，且x1，x2，為方程x2﹣x+a=0的兩根．則﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線方程為：y=x+a．進(jìn)而判斷出結(jié)論．【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，∵x=2是f（x）的極值點(diǎn)，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴f（x）在x∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）時(shí)單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2，∴f（x）在x∈（﹣1，2）時(shí)單調(diào)遞減．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．①當(dāng)a≥1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0恒成立，g（x）單調(diào)遞增，又g（0）=＞0，因此此時(shí)函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)沒有零點(diǎn)．②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（a，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，又g（0）=＞0，因此要使函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)．必有g(shù)（1）＜0，∴（1+a）+a+＜0，解得a＜﹣1．舍去．③當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，又g（0）=＞0，因此要使函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)．必有g(shù)（1）＜0，解得a＜﹣1．滿足條件．綜上可得：a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．（III）不能，原因如下：設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則f′（x）=x2﹣x+a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．∴△=1﹣4a＞0，解得a＜，且x1，x2，為方程x2﹣x+a=0的兩根．則﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，∴f（x1）=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣（x1﹣a）+=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線方程為：y=x+a．若上述直線過點(diǎn)（1，1），則：1=+a．解得a=．上述已知得出：若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則a＜，而a=，不合題意，舍去．因此過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線不能過點(diǎn)（1，1）．20.如果函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”；（1）判斷函數(shù)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”，若具有“P（a）性質(zhì)”，試寫出所有a的值；若不具有“P（a）性質(zhì)”，請(qǐng)說明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；（3）設(shè)函數(shù)y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，且當(dāng)﹣≤x≤時(shí)，g（x）=|x|，求：當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)g（x）的解析式，若y=g（x）與y=mx（m∈R）交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1001個(gè)，求m的值．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意先檢驗(yàn)sin（x+a）=sin（﹣x）是否成立即可檢驗(yàn)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”（2）由y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)可得f（x）=f（﹣x），結(jié)合x≤0時(shí)的函數(shù)解析式可求x≥0的函數(shù)解析式，結(jié)合t的范圍判斷函數(shù)y=f（x）在[0，1]上的單調(diào)性即可求解函數(shù)的最值（3）由題意可得g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），據(jù)此遞推關(guān)系可推斷函數(shù)y=g（x）的周期，根據(jù)交點(diǎn)周期性出現(xiàn)的規(guī)律即可求解滿足條件的m，以及g（x）的解析式【解答】解：（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，根據(jù)誘導(dǎo)公式得a=2kπ+π（k∈Z）．∴y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．（2）∵y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，∴f（x）=f（﹣x）．設(shè)x≥0，則﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2∴f（x）=當(dāng)t≤0時(shí)，∵y=f（x）在[0，1]遞增，∴x=1時(shí)ymax=（1﹣t）2，當(dāng)0＜t＜時(shí)，y=f（x）在[0，t]上遞減，在[t，1]上遞增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，∴x=1時(shí)ymax=（1﹣t）2，當(dāng)t≥時(shí)，∵y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，∴x=0時(shí)，ymax=t2，綜上所述：當(dāng)t＜時(shí)，ymax=f（1）=（1﹣t）2，當(dāng)t≥ymax=f（0）=t2，（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），從而得到y(tǒng)=g（x）是以2為周期的函數(shù)．又≤x≤設(shè)，則﹣≤x﹣1≤，g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．再設(shè)n﹣≤x≤n+（n∈z），當(dāng)n=2k（k∈z），則2k﹣≤x≤2k+，則﹣≤x﹣2k≤，g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；當(dāng)n=2k+1（k∈z），則2k+1﹣≤x≤2k+1+，則≤x﹣2k≤g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；∴g（x）=∴對(duì)于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g(shù)（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+，∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），∴y=g（x）是周期為1的函數(shù)．①當(dāng)m＞0時(shí)，要使y=mx與y=g（x）有1001個(gè)交點(diǎn)，只