偏微分方程初步介紹

偏微分方程初步介紹第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六參考書目《工程技術(shù)中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大學(xué)出版社?！稊?shù)學(xué)物理方程》，王明新，清華大學(xué)出版社。第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六一.偏微分方程的基本概念自變量未知函數(shù)偏微分方程的一般形式第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六PDE的階PDE的解古典解廣義解一些概念是指這樣一個(gè)函數(shù)，它本身以及它的偏導(dǎo)數(shù)在所考慮的區(qū)域上連續(xù)，同時(shí)用滿足方程。線性PDE非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六線性PDE：PDE中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。線性PDE中所有具同一最高階數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)組成的部分，稱為線性方程的主部。半線性PDE：擬線性PDE：擬線性PDE中，最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)僅為自變量的函數(shù)。PDE中對(duì)所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的全體都是線性的。第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）1.2.變換解為：解為：第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六4.3.解為：變換解為：第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六5.不易找出其通解，但還是可以找出一些特解任意解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均滿足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六7.擬線性PDE8.擬線性PDE9.半線性PDE10.半線性PDE11.非線性PDE第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六舉例(多元函數(shù))拉普拉斯(Laplace)方程熱傳導(dǎo)方程波動(dòng)方程第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六二.定解問題的適定性定解問題PDE定解條件初值條件邊值條件初、邊值條件初值問題、邊值問題、混合問題第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六經(jīng)典的定解問題舉例波動(dòng)方程的初值問題（一維）第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初值問題（一維）第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六經(jīng)典的定解問題舉例二維調(diào)和方程的邊值問題第一邊值問題（Dirichlet）第二邊值問題（Neumann）第三邊值問題（Robin）第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初、邊值問題第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六何為適定性？存在性唯一性連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性）適定性若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數(shù)類中存在、唯一而且關(guān)于附加條件為穩(wěn)定的，就稱定解問題在相應(yīng)的函數(shù)類中為適定的。第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六三.物理模型與定解問題的導(dǎo)出弦振動(dòng)方程第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六弦振動(dòng)方程與定解問題

一長(zhǎng)為L(zhǎng)的柔軟均勻細(xì)弦，拉緊后，當(dāng)它受到與平衡位置垂直的外力作用時(shí)，開始作微小橫振動(dòng)。假設(shè)這運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)且與方向垂直于平衡位置，求弦上各點(diǎn)位移隨時(shí)間變化規(guī)律。弦上各點(diǎn)作往返運(yùn)動(dòng)的主要原因在于弦的張力作用，弦在運(yùn)動(dòng)過程中各點(diǎn)的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由此可以建立弦上各點(diǎn)的位移函數(shù)所滿足的微分方程。第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六取弦的平衡位置為OX軸，運(yùn)動(dòng)平面為XOUOUXPQL在時(shí)刻t，弦線在x點(diǎn)的位移為u(x,t)OUXPQ此為上圖中PQ的放大圖示第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六假設(shè)弦線是均勻的，弦作微小振動(dòng)，故可認(rèn)為即表明弧段PQ在振動(dòng)過程中長(zhǎng)度近似不變。因此根據(jù)Hooke定律，弦上各點(diǎn)的張力T的大小與時(shí)間t無關(guān)。再由于弦是柔軟的，弦上各點(diǎn)的張力T的方向正是弦的切線方向。第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律(*1)(*2)OUXPQ表示弦的質(zhì)量密度（單位長(zhǎng)度的質(zhì)量）很小時(shí)第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六(*1)這表明張力的大小與x也無關(guān)，即常數(shù)(*2)微分中值定理第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六令，可得微分方程方程弦是均勻的，故為常數(shù)，記方程改寫為刻劃了均勻弦的微小橫振動(dòng)的一般規(guī)律。通常稱為弦振動(dòng)方程。表示速度，因?yàn)門的單位是質(zhì)量*長(zhǎng)度/時(shí)間的平方單位長(zhǎng)度是時(shí)間/質(zhì)量第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六為了具體給出弦的振動(dòng)規(guī)律，除了列出它所滿足的方程外，由于弦開始時(shí)的形狀和弦上各點(diǎn)的速度，對(duì)弦振動(dòng)將有直接影響，由此必須列出初始條件或者邊界條件已知端點(diǎn)的位移已知在端點(diǎn)受到垂直于弦的外力的作用已知端點(diǎn)的位移與所受外力作用的一個(gè)線性組合第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六四.二階線性方程的分類兩個(gè)自變量情形主部目的：通過自變量的非奇異變換來簡(jiǎn)化方程的主部，從而據(jù)此分類。非奇異（1）第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六復(fù)合求導(dǎo)第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六系數(shù)之間的關(guān)系（2）（1）（3）第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六考慮如若能找到兩個(gè)相互獨(dú)立的解那么就作變換從而有（4）第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六兩個(gè)引理引理1.假設(shè)是方程的特解，則關(guān)系式是常微分方程（4）（5）的一般積分。引理2.假設(shè)是常微分方程（5）的一般積分，則函數(shù)是（4）的特解。第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六由此可知，要求方程（4）的解，只須求出常微分方程（5）的一般積分。定義：常微分方程（5）為PDE（1）的特征方程（5）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。（6）第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六記定義方程(1)在點(diǎn)M處是雙曲型：橢圓型：拋物型：若在點(diǎn)M處，有若在點(diǎn)M處，有若在點(diǎn)M處，有第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六雙曲型PDE右端為兩相異的實(shí)函數(shù)它們的一般積分為由此令，方程（1）可改寫為雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)型第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六拋物型PDE由此得到一般積分為由此令，其中與獨(dú)立的任意函數(shù)。第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六由于由此推出為什么會(huì)為0？第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六因此，方程（1）可改寫為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型而第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六橢圓型PDE右端為兩相異的復(fù)數(shù)由此推出兩族復(fù)數(shù)積分曲線為其中第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六由此令從而方程（1）可改寫為，滿足方程（4）橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)型第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六總結(jié)（雙曲型PDE）（拋物型PDE）（橢圓型PDE）或第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六例1拋物