等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)人教A高中數(shù)學(xué)必修

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.會用不等式組表示不等關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.能夠用作差法比較兩個數(shù)或式的大小.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握等式的性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)4.理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)5.會用不等式的性質(zhì)證明不等式或解決范圍問題.(邏輯推理)激趣誘思知識點(diǎn)撥清麗、優(yōu)美的芭蕾舞劇《睡美人》序曲奏響了,一名女演員雙手撫摸著短裙,眼里閃爍著倔強(qiáng)和自信的目光.只見她踮起腳尖,一個優(yōu)雅的旋轉(zhuǎn),輕盈地提著舞裙,飄然來到臺上,在追光燈下飄起舞裙,那飄灑翩躚的舞姿,把整個舞臺化成一片夢境……她為什么要踮起腳尖呢?因?yàn)橐话愕娜?激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一、不等式與不等關(guān)系(1)不等式的定義所含的兩個要點(diǎn).①不等符號>,<,≥,≤或≠.②所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.(2)不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.文字語言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號語言>

≥<

≤≤≥≥≤激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析不等式a≥b或a≤b的含義(1)不等式a≥b含義是指“a>b,或者a=b”,等價于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一個正確,則a≥b正確.(2)不等式a≤b含義是指“a<b,或者a=b”,等價于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一個正確,則a≤b正確.微練習(xí)某一路段限速40km/h,它是指司機(jī)在該路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v(單位:km/h)不超過40km/h,寫成不等式就是

.

答案:v≤40

激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的大小比較比較實(shí)數(shù)a,b的大小的依據(jù)激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析比較實(shí)數(shù)(式)大小的方法

作差法作商法依據(jù)a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=ba>0,b>0且

>1?a>b;a>0,b>0且

<1?a<b;a>0,b>0且

=1?a=b應(yīng)用范圍數(shù)(式)的大小不明顯,作差后可化為積或商的形式同號兩數(shù)比較大小激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考如果給定實(shí)數(shù)a與b,那么如何比較它們的大小呢?提示:通常是通過判斷它們的差(a-b)的符號來比較它們的大小.當(dāng)a與b同號且都不為0時,也可通過它們的商與1的大小關(guān)系來比較它們的大小.微練習(xí)若x為實(shí)數(shù),則x2-1與2x-5的大小關(guān)系是

.

解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.答案:x2-1>2x-5激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)三、重要不等式?a,b∈R,a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.微思考?a,b∈R,a2+b2與2ab大小有何關(guān)系?提示:因?yàn)閍2+b2-2ab=(a-b)2≥0恒成立,所以a2+b2≥2ab.激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)四、不等式的性質(zhì)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的比較等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a=b?b=aa>b?b<aa=b,b=c?a=ca>b,b>c?a>ca=b?a+c=b+ca>b?a+c>b+ca=b?ac=bca>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bca=b,c=d?a+c=b+da>b,c>d?a+c>b+da=b,c=d?ac=bda>b>0,c>d>0?ac>bda=b≥0?an=bna>b>0?an>bn(n∈N,n≥2)激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.對不等式性質(zhì)的理解(1)性質(zhì)1和性質(zhì)2,分別稱為“對稱性”與“傳遞性”,在它們的證明中,要用到比較大小的“定義”等知識.(2)性質(zhì)3(即可加性)是移項(xiàng)法則“不等式中任何一項(xiàng)的符號變成相反的符號后,可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù).(3)性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號”.(4)性質(zhì)5(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等號方向不變,不能相減”.(5)性質(zhì)6和性質(zhì)7(即同向同正可乘性,可乘方性),即均為正數(shù)的同向不等式相乘,得同向不等式,并無相除式.(6)性質(zhì)1和性質(zhì)3是雙向推導(dǎo),其他是“單向”推導(dǎo).激趣誘思知識點(diǎn)撥2.不等式性質(zhì)的適用條件(1)在應(yīng)用不等式的性質(zhì)2時,如果兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號,那么等號是傳遞不過去的,如a≤b,b<c,則a<c.當(dāng)兩個不等式都帶等號時,要特別注意兩個不等式同時取等號的條件是否具備,否則等號不能傳遞過去.(2)在應(yīng)用性質(zhì)4時,要特別注意“乘數(shù)c的符號”.例如當(dāng)c≠0時,若a>b,則ac2>bc2;若無c≠0這個條件,若a>b,則ac2>bc2就是錯誤的.(3)若a>b>0,則an>bn>0(n∈N,n≥2)的成立條件是“n為大于等于2的自然數(shù),a>b>0”.假如去掉n為大于等于2的自然數(shù)這個條件,取n=-1,a=3,b=2,那么就會出現(xiàn)3-1>2-1,即

的錯誤結(jié)論,假如去掉b>0這個條件,取a=3,b=-4,n=2,那么就會出現(xiàn)32>(-4)2的錯誤結(jié)論.不等式相乘時,不等式不僅要同向,而且還要各數(shù)都為正數(shù).激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考你能寫出等式的基本性質(zhì)嗎?提示:(1)對稱性:如果a=b,那么b=a;(2)傳遞性:如果a=b,b=c,那么a=c;(3)加減性:如果a=b,那么a±c=b±c;(4)可乘性:如果a=b,那么ac=bc;(5)可除性:如果a=b,c≠0,那么激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)在一個不等式的兩邊同乘一個非零實(shí)數(shù),不等式仍然成立.(

)(2)同向不等式具有可加性和可乘性.(

)(3)若兩個數(shù)的比值大于1,則分子上的數(shù)就大于分母上的數(shù).(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)若a>b,則下列各式正確的是(

)A.a-2>b-2

B.2-a>2-bC.-2a>-2b D.a2>b2解析:因?yàn)閍>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正確,B,C錯誤;又取a=0,b=-1時,a>b,但a2<b2,D錯誤,故選A.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測用不等式(組)表示不等關(guān)系例1用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18m,要求菜園的面積不小于110m2,靠墻的一邊長為xm.試用不等式表示其中的不等關(guān)系.分析:表示出矩形菜園的另一邊長,利用面積公式表示面積,要注意x的范圍.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

用不等式表示不等關(guān)系的注意點(diǎn)在用不等式表示實(shí)際問題時,一定要注意自變量的取值范圍.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1(1)某校對高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線,專業(yè)成績x不低于95分,文化課總分y高于380分,體育成績z超過45分,用不等式組表示就是(

)(2)一輛汽車原來每天行駛xkm,如果該汽車每天行駛的路程比原來多19km,那么在8天內(nèi)它的行程將超過2200km,用不等式表示為

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(1)由題意,得x不低于95,即x≥95,y高于380,即y>380,z超過45,即z>45,故選D.(2)因?yàn)樵撈嚸刻煨旭偟穆烦瘫仍瓉矶?9

km,所以汽車每天行駛的路程為(x+19)km,則在8天內(nèi)它的行程為8(x+19)km,因此,不等關(guān)系“在8天內(nèi)它的行程將超過2

200

km”可以用不等式8(x+19)>2

200來表示.答案:(1)D

(2)8(x+19)>2200探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測實(shí)數(shù)大小的比較例2比較下列各組中的兩個代數(shù)式的大小.(1)2x2+3與x+2,x∈R;分析:利用作差法進(jìn)行比較.解第(2)小題時要注意對實(shí)數(shù)a分類討論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

用作差法比較實(shí)數(shù)大小的步驟作差法是比較兩個代數(shù)式大小的基本方法,一般步驟是:(1)作差;(2)變形.變形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定號,即確定差的符號;(4)下結(jié)論,寫出兩個代數(shù)式的大小關(guān)系.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測不等式性質(zhì)的應(yīng)用1.應(yīng)用不等式性質(zhì)判斷命題真假例3對于實(shí)數(shù)a,b,c,判斷下列結(jié)論是否正確:(1)若a>b,則ac2>bc2;(2)若a<b<0,則a2>ab>b2;分析:判斷這些結(jié)論是否正確,可以根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)、實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號法則以及不等式的性質(zhì),經(jīng)過合理的邏輯推理即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.解決這類問題時,通常有兩種方法:一是直接利用不等式的性質(zhì),進(jìn)行推理,看根據(jù)條件能否推出相應(yīng)的不等式;二是采用取特殊值的方法,判斷所給的不等式是否成立,尤其是在選擇題中經(jīng)常采用這種辦法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3已知a,b,c滿足c<b<a,且ac<0,則下列選項(xiàng)不一定成立的是(

)答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式

∵a>b>0,c<d<0,∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.簡單不等式的證明可直接由已知條件,利用不等式的性質(zhì),通過對不等式變形得證.2.對于不等式兩邊都比較復(fù)雜的式子,直接利用不等式的性質(zhì)不易證得,可考慮將不等式兩邊作差,然后進(jìn)行變形,根據(jù)條件確定每一個因式的符號,利用符號法則判斷最終的符號,完成證明.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.利用不等式性質(zhì)求取值范圍例5已知1<a<4,2<b<8,試求2a+3b,-b與a-b的取值范圍.分析:先根據(jù)a,b的取值范圍得出2a,3b的取值范圍,再根據(jù)同向不等式的可加性求出2a+3b與a-b的取值范圍.解:∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24.∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又∵1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范圍是{2a+3b|8<2a+3b<32},a-b

的取值范圍是{a-b|-7<a-b<2}.反思感悟

利用不等式的性質(zhì)可以解決取值范圍問題,當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個變量求取值范圍時,要注意兩個變量是相互制約的,不能分割開來,應(yīng)建立待求整體與已知變量之間的關(guān)系,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)求出取值范圍.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用不等式求取值范圍的常用方法典例已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍.解:方法一(待定系數(shù)法)設(shè)4a-2b=m(a-b)+n(a+b),則4a-2b=(m+n)a+(-m+n)b,所以4a-2b=3(a-b)+(a+b).因?yàn)?≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.又2≤a+b≤4,所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10.即{4a-2b|5≤4a-2b≤10}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法二(換元法)所以4a-2b=2(m+n)-(n-m)=3m+n,而1≤m=a-b≤2,2≤n=a+b≤4,所以{4a-2b|5≤4a-2b≤10}.方法點(diǎn)睛

求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)的應(yīng)用的一個重要內(nèi)容.解題時應(yīng)將條件式視為一個整體,并用其表示所求范圍的