2023年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)積分學(xué)綜合練習(xí)

綜合練習(xí)

一、單項(xiàng)選擇題

1.在切線斜率為2x的積分曲線族中,通過(guò)點(diǎn)（1,4）的曲線為（A）.

A.y=x2+3B.y=%2+4C.y=2尤+2

D.y=4JC

對(duì)的答案：A

2.下列等式不成立的是（).

A.e'dx=d(eA)B.-sinxdr=d(cosv)?

C.-\=dx=dVxD.Inxdx=d(—)

2yjXX

對(duì)的答案：A

X

3.若Jf(x)dx=-e5+c,則尸*）=（）.

X?Xi_￡i_￡

12

A.-e-2B.-e-C.-eD.--e2

244

對(duì)的答案：D

4.下列不定積分中，常用分部積分法計(jì)算的是（）.

A.jcos(2r+l)dxB.Jx71-x2dx

C.Jxsin2xdxD.f—^-dx

J1+x2

對(duì)的答案:C

1_

5.若//(犬)6"&=-6*+。,則/(入)=().

AC-V《

A.—1B.—n—1D.

XX

對(duì)的答案:C

6.若F（x）是/（x）的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是（）.

A.=F(x)B.f7(x)ck=FW-F(a)

rbtb

C.[F(x)dx=f(b)-f(a)D.[f'(x)dx=F(b)-F(a)

JaJa

對(duì)的答案：B

7.下列定積分中積分值為0的是().

1A-t

Afe-e1

A.-------axBR.f-?--+-?~—~一ax

2JT2

C.f(x3+cosx)d￥D.f(x2+sinx)dx

J一4J-n

對(duì)的答案：A

8,下列定積分計(jì)算對(duì)的的是().

AJ12Adr=2B.J：dr=15

C.j|sinx|dr=0D.sinAdx=0

~2J-n

對(duì)的答案:D

9.下列無(wú)窮積分中收斂的是().

0+oor+oof+<X>1P+001

A』InxdxB.J。evdxC.IFtUD.[〒心

AX2>電C

對(duì)的答案:C

10.無(wú)窮限積分「”［改=(

).

X

A.0B.--C.-D.oo

22

對(duì)的答案:C

二、填空題

1.dje*dr=

應(yīng)當(dāng)填寫:

2.函數(shù)/(x)=sin2x的原函數(shù)是

應(yīng)當(dāng)填寫：-上cos2x+c(c是任意常數(shù))

2

3.若/'(X)存在且連續(xù)，則[J4(x)]'=.

應(yīng)當(dāng)填寫:/'(x)

4.若jf(x)dx=(x+1尸+c,則/(x)=.

應(yīng)當(dāng)填寫：2(x+l)

5.若J/(x)dx=F(x)+c,則Je-x/(e-v)ck=.

應(yīng)當(dāng)填寫：-F(e-*)+c

6.—[ln(x2+l)dx=.

dxJl--------

應(yīng)當(dāng)填寫：0

7.積分「一「一7dx=0b.

JT(x2+l)2----------

應(yīng)當(dāng)填寫：0

8.無(wú)窮積分「8」丁也是。。。。.(判別其斂散性)

J。(x+1)2

應(yīng)當(dāng)填寫：收斂的

9.設(shè)邊際收入函數(shù)為R(g)=2+3/且R(0)=0,則平均收入函數(shù)為

3。?

應(yīng)當(dāng)填寫：2+2q

2

三'計(jì)算題

1.dr

Jx+2

解J-——=|(x-2)dx=-^x2-2x+c

.1

sin一

2.計(jì)算J—^dx

sinl

解(―=-fsin—d(—)=cos—+c

JxJxxx

3.計(jì)算

j，

解

xsinxdx

解xsinxdx=-xcosx+cosxdx=-xcosx+sinx+c

5.計(jì)算j(x+l)lnxdr

解f(x+l)lrLrdx△(尤+["十。dr

J22Jx

j,一

—一(x~+2x)lnx--------尤+c

24

6.計(jì)算

1

7.

1xjl+lnx

解f—,—f—,=d(l+Inx)—2Jl+In-2(V3—1)

xVl+InxVl+lnx11

8.2xcos2Mr

Jo

乃乃

r生1R1r-15

解：J[o2xcos2Adx=—xsin2x--|2sin2Adr=—cos2x~=

2I。2」。402

9.「ln(x+l)dx

J0

解法一Joln(x+l)dx=xln(x+1)|0-1-J):產(chǎn)=e-l-￡'(1---

=e-l-[x-ln(%+l)]|*-1=lne=1

解法二令〃=x+l,則

J；'ln(x+l)dx=J；Inudu=MIn；-J：〃—d?=e-“;=e—e+I=l

四'應(yīng)用題

1.投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36（萬(wàn)元），且邊際成本為C（x）=2x+40（萬(wàn)元/

百臺(tái)）.試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均成

本達(dá)成最低.

解當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為

AC=J：（2x+40）dx=（x2+40x）：=100（萬(wàn)元）

J；C'(X)CU+CO_X2+4OX+36

x+40+理

XXX

----'36

令C(x)-1-2―-0,解得x=6.

x1

x=6是惟一的駐點(diǎn)，而該問(wèn)題的確存在使平均成本達(dá)成最小的值.所以產(chǎn)量為6

百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)成最小.

2.已知某產(chǎn)品的邊際成本C（x）=2（元/件）,固定成本為0,邊際收益”（X）

=12-0.02x,問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利

潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化？

解由于邊際利潤(rùn)

L'(x)=R(x)-C'(x)=12-0.02x-2=10-0.02x

令L'(x)=0,得*=500

龍=500是惟一駐點(diǎn)，而該問(wèn)題的確存在最大值.所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)，利潤(rùn)最

大.

當(dāng)產(chǎn)量由500件增長(zhǎng)至550件時(shí)，利潤(rùn)改變量為

「550|550八八「?一、

02

AL=j；oo(lO-O.O2x)dx=(lOx-O.Olx)|5(i()=500-525=-25(兀)

即利潤(rùn)將減少25元.

3.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C'(x)=8x(萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為R(x)=l00-

2x(萬(wàn)元/百臺(tái))，其中x為產(chǎn)量，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大?從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生

產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？

解L'(x)=R'(x)-C'(x)=(100-2x)-8AT=100-10AT

令L'(九)=0,得光=10(百臺(tái))

又*=10是L(x)的唯一駐點(diǎn)，該問(wèn)題的確存在最大值，故x=10是〃x)的最大

值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10(百臺(tái))時(shí)，利潤(rùn)最大.

又L=J：L'(x)dx=J：(l00-10x)dx=(100x—5/).=一20

即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少20萬(wàn)元.。。

4.已知某產(chǎn)品的邊際成本為。'(/=鈉-3(萬(wàn)元/百臺(tái))，q為產(chǎn)量(百臺(tái))，固

定成本為18(萬(wàn)元)，求最低平均成本.

解:由于總成本函數(shù)為

C(q)=J(4q-3)dq=2/-3^+c

當(dāng)4=0時(shí),C(0)=18,得c=18

即C(q)=2q2-3q+18

又平均成本函數(shù)為

他)=遜嗎-3+羽