人教A版高中數(shù)學(xué)單元視域下的起始課教學(xué)以三角函數(shù)起始課《任意角》為例

單元視域下的起始課教學(xué)

——以三角函數(shù)起始課《任意角》為例目錄問題的提出01單元視域下的起始課教學(xué)探索02單元PK課時教學(xué)視角的案例設(shè)計與思考03研究過程碰到的困難與設(shè)想0401問題的提出1.1從“知識、能力本位”走向“素養(yǎng)本位”1.2單元教學(xué)更利于核心素養(yǎng)的生成1.3單元教學(xué)的實施難點在起始課1.4起始課的教學(xué)功能應(yīng)重新定位011.1從“知識、能力本位”走向“素養(yǎng)本位”

隨著社會的發(fā)展，對人的綜合能力要求隨之也提高了。

教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，要求我們由研究知識傳授轉(zhuǎn)向研究全程育人、綜合育人、全面育人，也就是從學(xué)科教學(xué)走向?qū)W科教育，確立了以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標(biāo)。01問題的提出1.2單元教學(xué)更利于核心素養(yǎng)的生成1.3單元教學(xué)的實施難點在起始課1.4起始課的教學(xué)功能應(yīng)重新定位011.1從“知識、能力本位”走向“素養(yǎng)本位”1.2單元教學(xué)更利于核心素養(yǎng)的生成

過去與發(fā)展知識技能相適應(yīng)的“低起點、小步子、多活動、勤反饋”策略，已經(jīng)不能適應(yīng)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)了。

核心素養(yǎng)是精神、觀念、思想與方法，通俗地講，就是那些很多年后宏觀留下的進入到學(xué)生靈魂深處的東西，因此與之相適應(yīng)的應(yīng)該是注重整體一致與邏輯連貫的教學(xué)。正是因為單元教學(xué)能滿足這些需求，目前各個學(xué)科不約而同地提出單元教學(xué)。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年）》采用了“內(nèi)容主線——內(nèi)容主題——核心內(nèi)容”的課程結(jié)構(gòu)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性。所以宜在單元視域下進行設(shè)計教學(xué)，以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，促進核心素養(yǎng)的生成。01問題的提出1.2單元教學(xué)更利于核心素養(yǎng)的生成1.3單元教學(xué)的實施難點在起始課1.4起始課的教學(xué)功能應(yīng)重新定位011.1從“知識、能力本位”走向“素養(yǎng)本位”1.3單元教學(xué)的實施難點在起始課

萬事開頭難、良好的開端是成功的一半，用在單元教學(xué)上，說明了實施的難點是起始課，而起始課又很重要。

起始課能為整章的教學(xué)起到路線規(guī)劃、導(dǎo)航定位的作用，相當(dāng)于汽車GPS的功能。安裝了GPS的起始教學(xué)能讓后續(xù)課時教學(xué)近似于“傻瓜式”操作，避免讓我們走彎路，而且能加強整體認(rèn)識、協(xié)調(diào)彼此之間的聯(lián)系。如何設(shè)計、安裝理想的“GPS”呢？這其實就是起始課的設(shè)計、教學(xué)問題。01問題的提出1.2單元教學(xué)更利于核心素養(yǎng)的生成1.3單元教學(xué)的實施難點在起始課1.4起始課的教學(xué)功能應(yīng)重新定位011.1從“知識、能力本位”走向“素養(yǎng)本位”1.4起始課的教學(xué)功能應(yīng)重新定位

過去我們注重知識技能教學(xué)，將起始課定位于每一章的第一節(jié)課，就課論課，對章引言、章頭圖關(guān)注較少，把一章的內(nèi)容當(dāng)成每一課時的簡單疊加。教學(xué)過程注重局部、細節(jié)，重在逐個解決眼前面臨的小問題，接受教材或是教師的思維結(jié)果，這樣的教學(xué)效益是低下的，需要給予重新定位。02單元視域下的起始課教學(xué)探索2.1明確起始課的教學(xué)功能與定位2.2以單元為單位進行教學(xué)分析與總體設(shè)計2.3以“四大”統(tǒng)領(lǐng)設(shè)計起始課教學(xué)2.4起始課教學(xué)與后續(xù)課時教學(xué)的銜接2.1明確起始課的教學(xué)功能與定位

我們認(rèn)為，單元起始課是在課程觀下以發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)、促進深度學(xué)習(xí)為目標(biāo)，以章頭圖、章引言、（章或單元）第一課時文本等為教學(xué)素材，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。它注重的是為整個單元的學(xué)習(xí)提供先行組織者作用，發(fā)揮著“謀好篇、定好調(diào)、開好局”的重要意義。02單元視域下的起始課教學(xué)探索2.1明確起始課的教學(xué)功能與定位2.2以單元為單位進行教學(xué)分析與總體設(shè)計2.3以“四大”統(tǒng)領(lǐng)設(shè)計起始課教學(xué)2.4起始課教學(xué)與后續(xù)課時教學(xué)的銜接2.2以單元為單位進行教學(xué)分析與總體設(shè)計

在進行起始課設(shè)計時，應(yīng)考慮以下問題：

（1）圍繞“教什么（學(xué)什么）——為什么要教（為什么要學(xué)）——怎么教（怎么學(xué)）”主線如何展開，如何將研究內(nèi)容和思想方法有效融合?

（2）以何種方式整體、邏輯連貫地處理本單元與其它單元、本單元內(nèi)部知識，以增強數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化？如何才能幫助學(xué)生在頭腦中形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？

（3）核心素養(yǎng)如何在教學(xué)中落實？如何激發(fā)研究欲望？

在明晰單元目標(biāo)（內(nèi)容）的基礎(chǔ)上，通常我們要明確三個主要問題（確立目標(biāo)、導(dǎo)向目標(biāo)、評價目標(biāo)），經(jīng)過研究，我們認(rèn)為在教學(xué)上還應(yīng)該細化成如下8點：學(xué)生應(yīng)該去哪里？——學(xué)習(xí)內(nèi)容及其教學(xué)價值分析；學(xué)生最終要到哪里？——學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計；學(xué)生如何到達目的地？——學(xué)習(xí)過程設(shè)計；教師（學(xué)生）如何檢測學(xué)生（自己）是否到達了目的地？——學(xué)習(xí)評價設(shè)計；教師如何保證整個行動方案的可靠性與有效性？——教學(xué)設(shè)計評估。學(xué)生能夠去哪里？——學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)潛能分析；學(xué)生是在怎樣的境脈中去的？——學(xué)習(xí)環(huán)境與學(xué)習(xí)條件分析；教師如何幫助學(xué)生到達目的地？——學(xué)習(xí)指導(dǎo)設(shè)計。（具體的闡述請大家看我們工作室領(lǐng)銜人李昌官老師著的《高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)》第64頁到83頁）。02單元視域下的起始課教學(xué)探索2.1明確起始課的教學(xué)功能與定位2.2以單元為單位進行教學(xué)分析與總體設(shè)計2.3以“四大”統(tǒng)領(lǐng)設(shè)計起始課教學(xué)2.4起始課教學(xué)與后續(xù)課時教學(xué)的銜接2.3以“四大”統(tǒng)領(lǐng)設(shè)計起始課教學(xué)

單元視域下的起始課突出和強化“四大”，即大背景、大問題、大框架、大思路，在導(dǎo)航系統(tǒng)（先行組織者）、內(nèi)容系統(tǒng)（文本）、助學(xué)系統(tǒng)（生本）方面發(fā)揮重要作用。

“大背景”是指蘊含著大的數(shù)學(xué)問題的比較宏大的情境或背景；“大問題”是指時間上先于其他問題，內(nèi)容上涵蓋其他問題，其他問題是由此派生出來，或其他問題的解決是為之服務(wù)的具有本原性、根本性的學(xué)科核心問題，亦即對整個單元學(xué)習(xí)和研究起統(tǒng)率與引領(lǐng)作用的問題[1]。02單元視域下的起始課教學(xué)探索2.1明確起始課的教學(xué)功能與定位2.2以單元為單位進行教學(xué)分析與總體設(shè)計2.3以“四大”統(tǒng)領(lǐng)設(shè)計起始課教學(xué)2.4起始課教學(xué)與后續(xù)課時教學(xué)的銜接2.4起始課教學(xué)與后續(xù)課時教學(xué)的銜接

如果把起始課的主要任務(wù)看成是制定方案、設(shè)計安裝GPS，那么后續(xù)課時的教學(xué)任務(wù)就是操作執(zhí)行。我們在操作執(zhí)行時既要從單元整體角度全盤考慮，又要注意后續(xù)課時與起始課、相鄰課時教學(xué)的銜接。

如果作為一名經(jīng)驗豐富的老司機，也就是擁有了GPS又善于操作，那么他的整體性做的比較好，就是老教師已經(jīng)具備了一定的單元教學(xué)思想。

在后續(xù)課時教學(xué)中我們可以從如下四個方面突出單元教學(xué)思想：基于知識辯證、邏輯地發(fā)展提出問題，基于知識發(fā)展的內(nèi)在聯(lián)系性和整體性剖析問題，基于方法一致性突破研究難點，基于新舊知識的關(guān)系提出后續(xù)研究的問題。（具體案例可參看發(fā)表在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2019.7-8《單元視域下的課時教學(xué)》）03

單元PK課時教學(xué)視角的案例設(shè)計與思考3.1課時教學(xué)視角

3.2疑問及原因分析3.3問題背后的根本原因分析3.4單元教學(xué)視角3.1課時教學(xué)視角問題1初中時我們定義的角是怎樣的呢？角的范圍是什么？問題2假如你的手表慢了15分鐘，你準(zhǔn)備怎么將它校準(zhǔn)呢？假如你的手表快了15分鐘，你準(zhǔn)備怎么將它校準(zhǔn)呢？假如你的手表快了1小時15分鐘，又怎么將它校準(zhǔn)呢？追問：這里涉及的角跟以前學(xué)過的角有什么區(qū)別呢？問題3實際生活中，我們還能遇到很多類似的情景，比如體操運動員轉(zhuǎn)體2周，轉(zhuǎn)體3周，齒輪被動輪與主動輪的有相反的轉(zhuǎn)動方向……這些都需要對角的概念進行推廣（提出課題：任意角）。你準(zhǔn)備從哪些角度對角進行推廣呢？我們規(guī)定，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角，

按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負角，

如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則形成零角。問題4在今后的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常要把角放到平面直角坐標(biāo)進行討論。那么角怎樣放到平面直角坐標(biāo)中比較方便呢？問題1初中時我們定義的角是怎樣的呢？如何表示角？角的范圍是怎樣的？出現(xiàn)了哪幾類角？假如你的手表慢了15分鐘，你準(zhǔn)備怎么將它校準(zhǔn)呢？假如你的手表快了15分鐘，你準(zhǔn)備怎么將它校準(zhǔn)呢？假如你的手表快了1小時15分鐘，又怎么將它校準(zhǔn)呢？實際生活中，我們還能遇到很多類似的情景，比如體操運動員轉(zhuǎn)體2周，轉(zhuǎn)體3周，齒輪被動輪與主動輪的有相反的轉(zhuǎn)動方向……這些都需要對角的概念進行推廣（提出課題：任意角）。你準(zhǔn)備從哪些角度對角進行推廣呢？在今后的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常要把角放到平面直角坐標(biāo)進行討論。那么角怎樣放到平面直角坐標(biāo)中比較方便呢？3.2疑問問題2問題5問題4問題3你能用描述法來表示與角

終邊相同的角的集合S嗎？是為了研究角才把角的概念作進一步的推廣嗎？規(guī)定逆時針的角是正角，順時針的角是負角合理嗎，為什么這么規(guī)定？為什么還要引入零角的概念？今后學(xué)習(xí)為什么要把角放在平面直角坐標(biāo)系中？經(jīng)歸納得到的結(jié)論為什么就是正確的？研究新對象有章可循嗎？問題13.3疑問原因分析問題2問題4問題3是為了研究角才把角的概念作進一步的推廣嗎？規(guī)定逆時針的角是正角，順時針的角是負角合理嗎，為什么這么規(guī)定？為什么還要引入零角的概念？今后學(xué)習(xí)為什么要把角放在平面直角坐標(biāo)系中？沒有讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)本章知識的必要性，因此沒法從函數(shù)的角度讓學(xué)生感受到角的概念推廣的必要性；疑問原因分析沒有與正負數(shù)表示相反意義的量進行類比、與平面直角坐標(biāo)系逆時針為正方向類比，說明規(guī)定的合理性；沒有讓學(xué)生意識到引進平面直角坐標(biāo)系是為了統(tǒng)一、簡潔，便于分類管理與刻畫周而復(fù)始；環(huán)節(jié)疑問原因分析研究新對象有章可循嗎？沒有形成概念學(xué)習(xí)的基本套路。問題5經(jīng)歸納得到的結(jié)論為什么就是正確的？環(huán)節(jié)沒有讓學(xué)生認(rèn)識到終邊相同角的關(guān)系歸納之所以正確的背后是數(shù)、形兩個方面的闡釋；3.3疑問背后的根本原因

進一步思考根本原因，設(shè)計者注重從知識技能角度考慮，沒有注重研究問題的思路與方法、建構(gòu)知識的策略與方法，沒有把本節(jié)內(nèi)容放在單元、起始課的角度去思考，沒有考慮到本節(jié)課與本單元、與其它單元之間的邏輯聯(lián)系，對數(shù)學(xué)的精神、思想和方法重視不夠。

基于本課時是三角函數(shù)的開篇之作，且是函數(shù)學(xué)習(xí)后又一個基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)。宜對知識產(chǎn)生的必要性、規(guī)定（操作）的合理性、內(nèi)容的發(fā)展性，在教學(xué)的三個環(huán)節(jié)中凸顯單元教學(xué)思想。引入部分需要發(fā)揮起始課的先行組織者的作用，同時起好單元的承前啟后作用；知識形成環(huán)節(jié)明晰規(guī)定的合理性，勤設(shè)為什么；回顧反思環(huán)節(jié)總結(jié)研究方法、策略、思路及研究展望。《任意角》（就考試而言）知識簡單，背后卻蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看世界、用數(shù)學(xué)語言表達世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界的難得的素材。因此，我們在單元視域下對該節(jié)課作一個改進設(shè)計。3.4

單元視域下的設(shè)計單元內(nèi)容單元視域起始課設(shè)計內(nèi)容及其解析學(xué)生認(rèn)知分析目標(biāo)及其解析教學(xué)環(huán)境分析內(nèi)容及其解析理解數(shù)學(xué)（一）知識產(chǎn)生的背景（二）知識生長的過程與階段（三）知識建構(gòu)的策略與方法（四）知識間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)（五）知識的要點與本質(zhì)（六）知識的學(xué)科意義與教學(xué)價值目標(biāo)及其解析理解教學(xué)（一）單元教學(xué)目標(biāo)（二）課時教學(xué)目標(biāo)3.4教學(xué)設(shè)計思路知識線索周而復(fù)始規(guī)律質(zhì)點作圓周運動抽象出數(shù)學(xué)模型三角函數(shù)提出研究內(nèi)容要素研究；要素與要素的關(guān)系；函數(shù)關(guān)系；三角函數(shù)性質(zhì)；三角函數(shù)應(yīng)用。抽象出幾何模型要素OAB尋求數(shù)的表示類比任意角建立平臺簡潔統(tǒng)一、刻畫周而復(fù)始、終邊的有序排列將角放在平面直角坐標(biāo)系中任意角的建構(gòu)過程任意角的建模過程自變量象限角觀察終邊相同的角從特殊到一般觀察、分類表示性質(zhì)數(shù)、形闡述概念構(gòu)建線索實例下定義分類素養(yǎng)形成線索用數(shù)學(xué)眼光觀察世界用數(shù)學(xué)語言表達世界用數(shù)學(xué)思維分析世界整體思路生活中有周期現(xiàn)象建立模型何為變量范圍不足擴充角度呈現(xiàn)背景，提出問題聯(lián)想激活、尋求方法抽象概括、建立模型運用新知、鞏固內(nèi)化準(zhǔn)確定位引入象限牢記函數(shù)不忘初心回顧反思，拓展問題3.5教學(xué)過程一、呈現(xiàn)背景，提出問題開場：在劉慈欣的《三體》科幻小說中，三體星人窮其一生在研究三顆行星的運行規(guī)律，很遺憾失敗了，他們?yōu)榱松嬉h征地球，你覺得地球什么地方最吸引虛擬的三體人？生活中有哪些現(xiàn)象展現(xiàn)出規(guī)律的運行？非周期規(guī)律背景1：觀察視頻，摩天輪轉(zhuǎn)一圈又回到原處，再轉(zhuǎn)一圈又回到原處，呈現(xiàn)循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象。生活中還有很多呈現(xiàn)周而復(fù)始的例子，比如行進中的車輪、星期的更替、潮汐的現(xiàn)象、單擺的運動、月圓月缺等（展示章頭圖）。（單元大背景）單元核心問題：是否存在一個數(shù)學(xué)模型來刻畫周而復(fù)始現(xiàn)象中的變量與變量的關(guān)系？（單元大問題）

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中兩個量的變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，知道了一次函數(shù)是刻畫勻速增長變化規(guī)律的模型、指數(shù)函數(shù)是刻畫爆炸性增長變化規(guī)律的模型。問題1：我們從最基本的車輪旋轉(zhuǎn)入手，你能把上述的“周而復(fù)始”運動抽象出幾何模型嗎？（數(shù)學(xué)抽象）問題2：如何刻畫點P的位置？問題3：變化過程中出現(xiàn)了5個變量，你能說說有哪些值得研究的問題？提出一章的研究內(nèi)容，只提不答三角函數(shù)二、聯(lián)想激活，尋找方法方法1：類比。類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的研究路徑（基本思路）和研究內(nèi)容（三要素、性質(zhì)）；研究對象微觀類比。方法2：從特殊到一般，進行歸納、抽象。這是建構(gòu)數(shù)學(xué)概念最常用的思路與方法。方法3：數(shù)形結(jié)合。從形的直觀與數(shù)的精確、先定性再定量闡釋數(shù)學(xué)概念。問題3變化過程中出現(xiàn)了5個變量，你能說說有哪些值得研究的問題？問題4你會首選哪個問題進行研究？能談?wù)勗騿幔拷潜尘?初中時我們定義的角是怎樣的呢？角的范圍是什么？背景4體操中跳水運動員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080度

；體操運動員后空翻轉(zhuǎn)體720度；齒輪被隨著主動輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，被動輪與主動輪有相反的轉(zhuǎn)動方向。這些例子所提到的角不僅不在范圍[00,3600]中，而且還涉及到了方向，那么說明我們高中要研究的角的范圍不應(yīng)該局限于[00,3600]，需要對角的概念進行推廣。思考（1）如果你的手表慢了15分鐘，你是如何將它校準(zhǔn)的，此時分針向什么方向旋轉(zhuǎn)了幾度？（3）如果你的手表快了1個半小時，你是如何將它校準(zhǔn)的，此時分針向什么方向旋轉(zhuǎn)了幾度？（2）如果你的手表塊了15分鐘，你是如何將它