空間向量及其運(yùn)算 省賽獲獎(jiǎng)

考試要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，了解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2.了解空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3.了解空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；4.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式，會(huì)求向量的長(zhǎng)度、兩向量的夾角.第6節(jié)空間向量及其運(yùn)算知

識(shí)

梳

理1.空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為_____的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為______的向量

相等向量方向______且模______的向量a＝b01相同相等相反向量

方向______且模______的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相______________的向量a∥b共面向量平行于同一個(gè)_______的向量

相反相等平行或重合平面2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得_________.b＝λaxa＋yb1〈a，b〉[0，π]互相垂直|a||b|cos〈a，b〉a·b|a||b|cos〈a，b〉(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝_________；②交換律：a·b＝_______；③分配律：a·(b＋c)＝___________.λ(a·b)b·aa·b＋a·c4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.(

)(2)對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b，若a·b＝0，則a⊥b.(

)(3)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.(

)(4)若a·b＜0，則〈a，b〉是鈍角.(

)解析對(duì)于(2)，因?yàn)?與任何向量數(shù)量積為0，所以(2)不正確；對(duì)于(3)，若a，b，c中有一個(gè)是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對(duì)于(4)，若〈a，b〉＝π，則a·b<0，故(4)不正確.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×2.在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是(

) A.垂直

B.平行 C.異面

D.相交但不垂直

∴AB∥CD.答案

B答案

A答案(－4，3，2)6.已知i，j，k為兩兩垂直的單位向量，非零向量a＝a1i＋a2j＋a3k(a1，a2，a3∈R)，若向量a與向量i，j，k的夾角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝________.

解析設(shè)i，j，k為長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱的方向向量，因非零向量a＝a1i＋a2j＋a3k(a1，a2，a3∈R)，故a可為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的方向向量，

則α＝∠xEA，β＝∠yEA，γ＝∠zEA，規(guī)律方法

(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問題的基本要求.用已知基向量表示指定向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.提醒

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量中的坐標(biāo)運(yùn)算.答案

B所以M，A，B，C四點(diǎn)共面.從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).【訓(xùn)練2】(1)若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三點(diǎn)共線，則m＋n＝________. (2)已知空間四點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，D(1，2，t)，若四點(diǎn)共面，則t的值為________.∴m＝－7，n＝4，∴m＋n＝－3.∵A，B，C，D四點(diǎn)共面，答案

(1)－3

(2)