工程隨機(jī)數(shù)學(xué)

工程隨機(jī)數(shù)學(xué)第一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日課程內(nèi)容一、概率論Ch1–Ch5二、數(shù)理統(tǒng)計(jì)Ch6–Ch9三、隨機(jī)過程Ch10–Ch14第二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日課程內(nèi)容介紹概率論是整個(gè)隨機(jī)理論的基礎(chǔ)，首先研究隨機(jī)現(xiàn)象最基本的規(guī)律性，其次給出刻畫隨機(jī)變量的方法，進(jìn)而研究隨機(jī)變量的取值規(guī)律性，包括在某些假設(shè)下進(jìn)一步研究隨機(jī)變量的各種規(guī)律性。對(duì)于多個(gè)或有限個(gè)隨機(jī)變量，還要研究變量之間在隨機(jī)取值規(guī)律性的依賴關(guān)系。第三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日數(shù)理統(tǒng)計(jì)以概率論為基礎(chǔ)，通過觀測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)建筑在概率論基礎(chǔ)上原理對(duì)隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷或預(yù)測(cè)，包括如何有效地收集、整理和分析數(shù)據(jù)，如何應(yīng)用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷和預(yù)測(cè)估計(jì)。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的應(yīng)用課程內(nèi)容介紹第四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日課程內(nèi)容介紹隨機(jī)過程可稱為概率論的動(dòng)力學(xué)部分，它把有限或無限多個(gè)隨機(jī)變量與參數(shù)T聯(lián)系在一起，突出了隨機(jī)性和過程性。作為隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量，隨機(jī)過程廣泛存在于社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)、管理科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中，有著重要的應(yīng)用前景。第五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日本課程與后續(xù)課程的關(guān)系《現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理》《隨機(jī)信號(hào)分析》《信息論》《誤差分析方法》

《通信原理》《無線電波傳播》。。。。。。。。

第六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日應(yīng)用信號(hào)譜估計(jì)、高階矩譜分析、雙譜分析等無線電波在隨機(jī)介質(zhì)中的傳播日地空間物理雷達(dá)信號(hào)處理無線通信理論隨機(jī)信號(hào)處理信號(hào)與信息的統(tǒng)計(jì)建模誤差分析、可靠性估計(jì)時(shí)間序列分析。。。。。。。。。第七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日本門課程ABC起源于賭博—博弈16世紀(jì)意大利學(xué)者卡丹諾開始研究擲骰子等賭博問題17世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家B.帕斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家C.惠更斯基于排列組合方法，研究了較復(fù)雜的賭博問題—合理分配賭金問題《論賭博中的數(shù)學(xué)》（1657）、《概率論的分析理論》（1812）、《統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)學(xué)方法》（1946）奠基人：瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利、拉普拉斯、泊松、高斯等20世紀(jì)30年代，蘇聯(lián)人科爾莫格洛夫創(chuàng)建概率的公理化體系，正式作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支第八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日名人名言法國(guó)數(shù)學(xué)家Laplace：

“生活中最重要的問題,其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題.”英國(guó)的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯：“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒有對(duì)概率的某種估計(jì),那么我們就寸步難行,無所作為.”第九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日Ch1、隨機(jī)事件與概率§1隨機(jī)事件及其運(yùn)算內(nèi)容：

引入概率論的基本概念：

隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、樣本空間、事件的關(guān)系及運(yùn)算第十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、隨機(jī)現(xiàn)象1．確定性現(xiàn)象：事物概念本身有明確定義，不是模糊不清的，并且在一定條件下，它必然發(fā)生或不發(fā)生，遵從嚴(yán)格的因果關(guān)系。2．不確定性現(xiàn)象：包括：隨機(jī)現(xiàn)象、模糊數(shù)學(xué)、渾沌數(shù)學(xué)第十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、隨機(jī)現(xiàn)象（1）隨機(jī)現(xiàn)象：

①隨機(jī)性：事物概念本身有明確定義，不是模糊不清的，但條件與事件的發(fā)生之間沒有決定性的因果關(guān)系；②統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：指在大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中所呈現(xiàn)的一種具有集體性質(zhì)的必然規(guī)律—統(tǒng)計(jì)規(guī)律；③客觀性：其發(fā)生的可能性大小卻是可以用數(shù)量關(guān)系精確地描述，是客觀存在的。

第十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、隨機(jī)現(xiàn)象基本定義：

在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)出不確定性，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象就成為隨機(jī)現(xiàn)象。第十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、隨機(jī)現(xiàn)象（2）模糊現(xiàn)象：

事物概念沒有明確的外延、模糊不清，從而造成事物分類歸屬上的不確定性—模糊性。第十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)某事物特征進(jìn)行觀察,統(tǒng)稱試驗(yàn)：

①可重復(fù)性試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行，它是隨機(jī)現(xiàn)象具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的客觀依據(jù)。②隨機(jī)性進(jìn)行一次試驗(yàn)前不可能事先確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生，否則就無意義了。③完備性盡管事先不能明確試驗(yàn)結(jié)果（或各次試驗(yàn)的結(jié)果不盡相同），但能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。

具有上述三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為E。

第十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、隨機(jī)試驗(yàn)★注意：隨機(jī)試驗(yàn)是相對(duì)于確定性試驗(yàn)而言，指一個(gè)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，且每次試驗(yàn)結(jié)果不能事先確定；并非指“試驗(yàn)的結(jié)果都具有同等發(fā)生的可能性”，僅指都有可能發(fā)生，但有的發(fā)生的機(jī)率大，有的小，這個(gè)幾率就是概率；有的具有等可能性，如擲硬幣，有的不具有，如射擊中靶的環(huán)數(shù)；若E是由一系列試驗(yàn)依次各做一次所組成，則稱為復(fù)合試驗(yàn)。第十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三、隨機(jī)事件隨機(jī)事件表示：

在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)一次試驗(yàn)可能發(fā)生或不發(fā)生、但在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事情—

隨機(jī)事件。隨機(jī)事件常用A、B、c等表示

隨機(jī)事件又可分為：基本事件、復(fù)合事件、絕對(duì)型事件。第十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三、隨機(jī)事件基本事件：不能再分或不必再分的隨機(jī)事件。復(fù)合事件：由多個(gè)基本事件組成的事件。絕對(duì)型事件：為了描述絕對(duì)型現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）而引入：必然事件（S

）、不可能事件（

）

第十八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三、隨機(jī)事件基本事件的三個(gè)重要特征：（1）等可能性：在每次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等；（2）互不相容性：在一次試驗(yàn)中，只可能發(fā)生基本事件中的一個(gè)，即任意≥2個(gè)基本事件不會(huì)同時(shí)在在一次試驗(yàn)中發(fā)生；（3）完備性：在一次試驗(yàn)中，所有基本事件中必有一個(gè)會(huì)發(fā)生。第十九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、樣本空間

在一次試驗(yàn)中所有基本事件的集合稱為該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，記為。故基本事件又稱為樣本點(diǎn)，記為｛｝，即是全體樣本點(diǎn)的集合，也即是隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合。第二十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、樣本空間袋中摸球：E為判斷顏色1=黑，2=白，則1=｛1，2｝

——可列、可數(shù)、有限樣本空間打靶：E為判斷中靶否擊中=“+”，脫靶=“—”

則2=｛+，-+，--+，---+｝

——不可列、無限交換臺(tái)在10分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)：E為判斷次數(shù)，3=｛0，1，2，3，····｝

——可列、離散第二十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、樣本空間注意：（1）由E決定，不同的E有不同的。關(guān)鍵在于基本事件的選擇（2）可以概括各種實(shí)際內(nèi)容大不相同的問題，如1=｛1，2｝—?jiǎng)儇?fù)、正反等（3）可以是可數(shù)集，亦可謂不可數(shù)集這對(duì)隨機(jī)過程、極限定理等問題的討論很重要！第二十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日歸納

隨機(jī)現(xiàn)象

隨機(jī)試驗(yàn)包含許多可能結(jié)果（隨機(jī)事件）基本事件的集合（樣本空間）

第二十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算目的：

通過研究事件之間的關(guān)系與運(yùn)算，把某些復(fù)雜事件表示為若干簡(jiǎn)單事件的積、差、和，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，從而可利用簡(jiǎn)單事件的概率求解復(fù)雜事件的概率。（一）事件之間的關(guān)系（二）事件的運(yùn)算設(shè)：E—隨機(jī)試驗(yàn)，—樣本空間，A，B，Ak—隨機(jī)事件（k=1，2，3····）第二十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算（一）事件之間的關(guān)系基本關(guān)系：等價(jià)、包含、互斥、互逆

（1）包含

若A的發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，即A是B的子集，或A包含于B中。對(duì)任意事件有：（2）等價(jià)

若A發(fā)生B必然發(fā)生，反之，若B發(fā)生A必然發(fā)生，A=BSAB第二十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算（3）和（并）A與B中至少有一個(gè)發(fā)生，記：

三種情況：①或A發(fā)生；②或B發(fā)生；③或A，B都發(fā)生。即C包含了屬于A和B的全體樣本點(diǎn)。當(dāng)BA時(shí)，AB=B，由此類推：SAB第二十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算和事件可推廣N個(gè)事件的和事件，N可有限或可列無窮多個(gè)

有限可加性可列可加性如：“故障不超過十次”（B）=“0次”（A1）“1次”（A2）····“10次”（A11）這11個(gè)事件之和。

第二十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算（4）積（交）A與B同時(shí)發(fā)生記為：C=A∩B，或C=ABC只包含了既屬于A，又屬于B的那些樣本點(diǎn)。有限可積性

可列可積性

SAB顯然，當(dāng)BA時(shí)，AB=A，由此類推：對(duì)任意事件總有：第二十八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算（5）互斥（互不相容）

若A與B不可能同時(shí)發(fā)生，則稱A，B互斥（互不相容）記為：AB=

（積事件）三種情況：①A發(fā)生但B不發(fā)生；②B發(fā)生但A不發(fā)生；③A，B都不發(fā)生。ABS第二十九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算★注意：①“等價(jià)”—同發(fā)或同不發(fā)；“積”—同發(fā)，“互斥”—不同發(fā)②基本事件一定互斥，任一事件（包括必然事件）與不可能事件互斥③兩事件互斥時(shí)，AB可寫為A+B④互斥并不意味著A，B互不相干，實(shí)際上是有關(guān)的。即相互獨(dú)立≠互斥。AB=，指其中一個(gè)發(fā)，另一個(gè)必不發(fā)；⑤若一組事件中，A1，A2，A3····Ak中任意兩個(gè)互斥，則稱這組事件兩兩互斥第三十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算（6）互逆（對(duì)立）若，S=A∪B，且AB=，則A，B對(duì)立（互逆），并稱A是B的逆事件，記，反之亦然。條件1：A，B構(gòu)成一個(gè)完備事件組條件2：A，B互斥對(duì)立只適于描述兩個(gè)事件之間的關(guān)系，互斥只是對(duì)立的必要條件，而非充分條件

AS第三十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算互斥與對(duì)立的區(qū)別

1）兩事件對(duì)立必互斥，但互斥不一定對(duì)立2）相互獨(dú)立≠互逆3）互逆只適于兩個(gè)事件，互斥則可多個(gè)事件4）“AB都發(fā)生”與“A，B都不發(fā)生”并非對(duì)立事件，相反，

“AB都發(fā)生”與“A，B不都發(fā)生”是對(duì)立事件。

5）對(duì)任意事件，有第三十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算（7）差若A發(fā)生但B不發(fā)生，記為C=A-B由于B不發(fā)生，其對(duì)立事件一定發(fā)生，所以：A-B=ABSAB如A={直徑合格}，B={長(zhǎng)度合格}，則C={直徑合格，但長(zhǎng)度不合格}=A-B第三十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算若A1、A2

，…….An

兩兩互斥，且則稱，A1、A2，…….An

為的一個(gè)劃分（8）完備事件組第三十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算（二）事件的運(yùn)算1．交換律：2．結(jié)合律：3．分配律：①②4．重迭律：5．互逆律：第三十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算6．吸收律：A∪=，A=A；A∪=A，A=7．差化積：8．吸收律：

：和之逆=逆之積至少發(fā)生一個(gè)的對(duì)立事件為都不發(fā)生

：積之逆=逆之和都發(fā)生的對(duì)立事件為不都發(fā)生第三十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算例1：計(jì)算：（A-AB）+B=？★：A—AB=A—B，（A—B）+B=A+B和（差）的運(yùn)算時(shí)不能通過去括號(hào)、移項(xiàng)來處理的。第三十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日五、事件之間的關(guān)系與運(yùn)算例2：證明：

解：A+B包括：A發(fā)B不發(fā)，B發(fā)A不發(fā)，A，B都發(fā)由分配律：但不能由此得出：因?yàn)楹停ú睿┎荒苋ダㄌ?hào)處理第三十八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日§2隨機(jī)事件的概率及其運(yùn)算簡(jiǎn)單定義：

刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，稱作為隨機(jī)事件的概率P。P應(yīng)具有客觀性、可度量性一、古典概型（等可能概型）二、幾何概型三、概率的統(tǒng)計(jì)定義第三十九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日§2隨機(jī)事件的概率及其運(yùn)算一、古典概型（等可能概型）

（一）模型與計(jì)算公式試驗(yàn)的可能結(jié)果有限，即樣本空間所含樣本點(diǎn)（基本事件）有限，且這有限個(gè)事件兩兩互不相容——有限性各基本事件發(fā)生的可能性相同，即機(jī)會(huì)均等——等可能性第四十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）

設(shè)有一隨機(jī)試驗(yàn)E發(fā)生，其基本事件總數(shù)有限，記為n，且等可能性發(fā)生。設(shè)事件A包含了k個(gè)基本事件（k≤n），則定義事件A發(fā)生的概率為

第四十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）★用古典概型計(jì)算概率要注意：弄清E（判斷有限性和等可能性）根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?，?gòu)建樣本空間（求出基本事件總數(shù)n）考察所關(guān)心的事件A（求出A所包含的基本事件個(gè)數(shù)k）利用定義式計(jì)算（求P（A））關(guān)鍵：基本事件數(shù)目的計(jì)算做到不遺漏、不重復(fù)常用方法：乘法定理（串聯(lián)）、加法定理（并聯(lián)），排列與組合（注意區(qū)分有序或無序排列，重復(fù)與不重復(fù)排列、有放回和無放回抽樣）。第四十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）例如：（1）2個(gè)人入座3個(gè)座位：一個(gè)人不能同時(shí)座2個(gè)座位，一個(gè)座位也不能同時(shí)座2個(gè)人，故問題屬于不重復(fù)排列問題，其座法為（2）2封信投入3個(gè)信箱：雖然一封信不能同時(shí)投入2個(gè)信箱，但1個(gè)信箱可同時(shí)容納多封信，故屬于可重復(fù)排列問題，其投法為32?！镒⒁鈪^(qū)分底數(shù)n和指數(shù)m。第四十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）例1:設(shè)甲類設(shè)備有8套，乙類設(shè)備有6套，一次雷擊毀壞了3套，問這3套是同一類設(shè)備的概率解：E：毀壞了3套設(shè)備則14套中3套被毀的基本事件數(shù)為：

A={毀壞的為同類設(shè)備}毀壞的均為甲類的基本事件數(shù)：均為乙類的基本事件數(shù)：所以：第四十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）例2：摸球問題袋中有a個(gè)黑球，b個(gè)白球，無放回依次抽，摸k次，求第k（k≤a+b）次摸到黑球概率。解：考察E：從a+b個(gè)球中依次摸k次。由于要求把k個(gè)球一個(gè)一個(gè)摸出來，第k次摸到黑球，并且是無放回，因此考慮摸球的順序，故屬于無重復(fù)排列，基本事件總數(shù)應(yīng)為：

第四十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）

也可在摸球時(shí)暫不考慮順序，而在取出后再考慮順序。則第一步為不可重復(fù)組合（由于無放回），有種取法；第二步將取出的k個(gè)球進(jìn)行全排列，有K！中排法。再由乘法定理，基本事件總數(shù)為考察A：A={第k次摸到黑球}第一步：從a個(gè)黑球中任取一個(gè)放到第k個(gè)位置上，屬于任意不重復(fù)排列，有種取法；第二步：從余下的個(gè)球中任取個(gè)球排列到前面的位置上，有種取法；第四十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）第三步：由乘法定理，A所含基本事件總數(shù)為第四步：利用定義式求P（A）

第四十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）例3：

將n個(gè)人等可能地分配到N個(gè)房間中（n≤N）中每一間，求下列事件概率事件A：A={某指定的n間房中各有一人}事件B：B={恰有n間房各有一人}事件C：C={某指定房中恰有m個(gè)人}（m≤n）事件D：D={余下N-1間房中各有一人}第四十八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）E：由于沒有限定每間可住多少人，屬于任意可重復(fù)排列數(shù)問題，故基本事件為：事件A：A={某指定的n間房中各有一人}解：n個(gè)人等可能地分配到n間房，保證每房一人，則第一人有n中選擇，第二人有n-1種選擇，類推，A包含的基本事件數(shù)為A=n?。ㄈ帕校┑谒氖彭摚惨话倭惆隧?，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）事件B：B={恰有n間房各有一人}解：恰有n間房，表示要在N間房中選取，故屬于不重復(fù)組合問題，再加上各有一人的條件，故事件C：C={某指定房中恰有m個(gè)人}（m≤n）解：首先從n個(gè)人中找出m個(gè)人放在指定房間中，有種余下的n-m個(gè)人等可能地分到N-1間房中，有種分法，由乘法定理第五十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）事件D：若D={余下N-1間房中各有一人}第五十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日

例4

將15名新生隨機(jī)地平均分配到3個(gè)班中去，這

15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問：

(1)每個(gè)班各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？

(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？解：15名新生平均分配到3個(gè)班級(jí)中去的分法總數(shù)為：一、古典概型（等可能概型）第五十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日(1)將3名優(yōu)秀生分配到3個(gè)班級(jí)，使每個(gè)班級(jí)都有一名優(yōu)秀生的分法共有3!種。其余12名新生平均分配到3個(gè)班級(jí)中的分法共有每個(gè)班各分配到一名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：于是所求的概率為：第五十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)內(nèi)其余12名新生，一個(gè)班級(jí)分2名，另外兩班各分5名(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率為：第五十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日例5

某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的。問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？

解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都在周二、周四的概率為:

212/712=0.0000003，即千萬分之三。一、古典概型（等可能概型）第五十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日

人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實(shí)際推斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。一、古典概型（等可能概型）第五十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日一、古典概型（等可能概型）（二）古典概型的性質(zhì)根據(jù)定義，對(duì)任意事件A有（1）

非負(fù)性（2）

歸一性（3）若A1，A2，A3····兩兩互不相容，則，

有限可加性即

和的概率等于概率之和：第五十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、幾何概型（一）定義及計(jì)算方法有一個(gè)可度量的幾何圖形S：試驗(yàn)E可看成在S中隨機(jī)地投擲一點(diǎn)M，M的每個(gè)落點(diǎn)就是一個(gè)樣本點(diǎn)，因此S中有無窮多個(gè)樣本點(diǎn)（試驗(yàn)結(jié)果）。S即為樣本空間，而事件A就是所投擲的點(diǎn)落在S中的可度量圖形A中。事件A的概率與A的度量L（A）成正比，即第五十八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、幾何概型例：約會(huì)問題甲乙相約9-10點(diǎn)見面，約定先來者等20分鐘過時(shí)即走，問見面機(jī)會(huì)多少？解：二人均可能在此段時(shí)間（60分）內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)。設(shè)，甲、乙到達(dá)時(shí)間分別為X、Y（分鐘），則有，

將（X，Y）看作平面直角坐標(biāo)系的一點(diǎn)，則所有基本事件總數(shù)為60×60（分鐘）第五十九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、幾何概型設(shè)，事件A={兩人見面}（1）甲先到（X<Y），即（2）乙先到（Y<X），即綜合（1），（2）有，即滿足此條件的點(diǎn)集即為A所含的基本事件數(shù)，即L（A）=G區(qū)xyG第六十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、幾何概型若考慮不見面問題，如兩船進(jìn)港問題，則相反。若將約會(huì)問題表述為，則進(jìn)港問題為，

第六十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、幾何概型（二）幾何概型性質(zhì)幾何概型與幾何圖形的測(cè)度密切相關(guān)，所考慮的事件應(yīng)是具有某種可測(cè)定義測(cè)度的集合，這類集合的和、積也同樣是事件。因此具有如下性質(zhì)：（1），非負(fù)性（2）歸一性（3）若A1，A2，A3····兩兩互不相容，則，有限可加性即和的概率等于概率之和，可由測(cè)度的可加性證明。第六十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三、概率的統(tǒng)計(jì)定義（一）頻率的定義設(shè)在同一條件組下進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m（

）次，稱比值為A發(fā)生的頻率，即，例如，命中率、入學(xué)率等。對(duì)必然事件，f（A）=1（n=m），對(duì)不可能事件，，f（A）=0（0=m）第六十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三、概率的統(tǒng)計(jì)定義頻率的重要意義：可在一定程度上反映事件A發(fā)生可能性大小，且直觀、簡(jiǎn)單，宜掌握。利用頻率刻畫A發(fā)生概率，是統(tǒng)計(jì)概型的最初思想，當(dāng)概率不宜求出，可利用頻率近似代替概率?！镒⒁猓海?）f（A）與P（A）概念完全不同。盡管都可以描述A發(fā)生可能性大小，但是頻率：不能脫離具體的n次試驗(yàn)；概率：表示在一次試驗(yàn)中，A發(fā)生可能性的大小，與具體試驗(yàn)次數(shù)n無關(guān)可以認(rèn)為：頻率是概率的具體體現(xiàn)，概率是頻率的抽象。在某種意義上:頻率是概率的近似，概率是頻率的極限（2）不能說百分比是頻率，而不是概率第六十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三、概率的統(tǒng)計(jì)定義（二）概率的統(tǒng)計(jì)定義定義：若隨著隨機(jī)事件次數(shù)n的增大，事件A出現(xiàn)的頻率f（A）在區(qū)間[0，1]上的某個(gè)數(shù)字p附近擺動(dòng)，則這個(gè)數(shù)字p就是事件A出現(xiàn)的概率P（A）。第六十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三、概率的統(tǒng)計(jì)定義★注意：（1）當(dāng)n充分大時(shí)，f（A）

P（A）是否（2）統(tǒng)計(jì)概型是一種隨機(jī)試驗(yàn)事件的概率，不一定是古典或幾何型，特征是以事件出現(xiàn)次數(shù)的頻率作為概率的近似值。從這一點(diǎn)看，它與古典定義是一致的，由此可推知其性質(zhì)應(yīng)是一樣的。第六十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日三、概率的統(tǒng)計(jì)定義

（三）性質(zhì):第六十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)（一）問題的提出古典概型、幾何概型和統(tǒng)計(jì)定義具有局限性共同屬性（非負(fù)、歸一、可列可加性）可作為概率數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)（二）事件域定義：設(shè)是一抽象點(diǎn)集，是由中的一些子集所組成的集合，若滿足（1）（2）若則（3）若則稱為事件域，中的元素為事件

第六十八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)注1：：樣本空間，表示規(guī)定一個(gè)試驗(yàn)，其全部樣本點(diǎn)的集合，稱中的每一點(diǎn)為基本事件；：子集的集合，是以隨機(jī)事件為元素的集合，稱集族，即一般事件都是由基本事件或其通過運(yùn)算得到的；A：中的每一元素，稱為隨機(jī)事件——

樣本空間，（，）——

可測(cè)空間第六十九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)（三）概率空間與公理化定義對(duì)任意一個(gè)隨機(jī)事件A，，P（A）是一個(gè)定義在上的實(shí)值函數(shù)，它滿足：公理1：對(duì)任意事件A，，0≤P（A）公理2：P（）=1公理3：若且（k≠j），則從數(shù)學(xué)上看一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它應(yīng)由下面三個(gè)要素描述：——樣本空間；——事件域；P——概率

（、、P）——概率空間第七十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)定義：設(shè)函數(shù)P（A）的定義域?yàn)槭录?，且滿足公理1，2，3，則P（A）為事件A的概率。過程：第一步：把必然事件抽象為樣本空間（集合）第二步：把一般隨即事件抽象為的子集，事件的關(guān)系和運(yùn)算抽象為集合間相應(yīng)關(guān)系與運(yùn)算，得到可測(cè)空間；第三步：在可測(cè)空間上選擇三條公理定義P第七十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)（四）概率性質(zhì)1．有限可加性：設(shè)有限多個(gè)隨機(jī)事件Ai，且（k≠j），則2．對(duì)任意事件A有，（利用有限可加性可證明）3．減法公式：若，則，推論：P（B）≥P（A）注：反之不然。由概率關(guān)系推不出事件關(guān)系第七十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)4．注：反之不然。即“概率為零的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件也不一定為必然事件”。5．廣義加法公式：推論：對(duì)任意事件恒有：可推廣至n各有限事件情形，如第七十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)例題1：設(shè)P（A）=a，P（B）=b，P（AB）=c求因?yàn)榍宜?/p>

第七十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)例2：設(shè)A，B組成完備事件組，求：解：因?yàn)樗杂捎贏B與互斥，BA與互斥則由此=0.3

第七十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日四、概率的公理化定義及性質(zhì)例3：已知，且P（A）=P，求P（B）解：因?yàn)椋核裕篜（B）=1-p

且P（A）=P，

第七十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日§3.條件概率

主要內(nèi)容(一）條件概率(二）乘法定理(三）全概率公式(四）貝葉斯公式第七十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日(一）條件概率1．定義：設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P（A）＞0，稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率。例如：a+b個(gè)球中，有a個(gè)黑球，隨機(jī)抽取，則抽到黑球的概率為已知第一次抽到了黑球，問第二次抽取時(shí)，抽到黑球的概率設(shè)：A={第一次抽到黑球}，B={第二次抽到黑球}顯然，

第七十八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（一）條件概率注意幾點(diǎn)：條件概率仍是概率，故滿足概率三公理，具有概率的一般性質(zhì)，它與無條件概率的區(qū)別在于在原事件組S的基礎(chǔ)上，又加上“A發(fā)生”這個(gè)條件，而無條件是指無新條件，原來的條件并非可無；條件概率的計(jì)算公式用純數(shù)學(xué)方法不能證明，它是事件證明的普遍規(guī)律，是一種描述性定義。不要把事件關(guān)系（B/A）=AB直接推到

一般，條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系第七十九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日(一）條件概率2．條件概率性質(zhì)：（1）非負(fù)性；（2）規(guī)范性：（3）可列可加性：若可逆性：加法公式：P（B/S）=P（B）無論，或，則恒有，第八十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日(一）條件概率例1：設(shè)，求，解：P（A）=0.7，

第八十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、乘法公式目的：將N個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率分解為單個(gè)事件的條件概率的乘積，討論的是諸個(gè)事件一起發(fā)生的概率。定理：設(shè)P（A）>0，則，可推廣到n個(gè)事件情形，設(shè)P（AB）>0，如第八十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、乘法公式例1：一批產(chǎn)品100個(gè)，10%次品率，接連兩次無放回抽取，求第二次才取到正品概率。解：A={第一次次品}，B={第二次正品}，

C={第二次才取到正品}因?yàn)椋?/p>

C的發(fā)生要求A，B同時(shí)發(fā)生，而不是A發(fā)生后要求B發(fā)生所以：第八十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、乘法公式例2：設(shè)甲地10條線路，在△t時(shí)間內(nèi)平均有100人用，乙地也有10條，在△t時(shí)間內(nèi)平均有50個(gè)當(dāng)?shù)厝擞谩Ｔ诩椎卮虿涣穗娫挼娜酥杏?0人到乙地去打。問，任一個(gè)在甲地打電話的人，在甲地打不通，且到乙地也打不通電話的概率。解：A={在甲地打不通}，B={由甲地轉(zhuǎn)到乙地}，

C={在乙地也打不通}求P（ABC）第八十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日二、乘法公式則：，P（B/A）=0.2，而在△t時(shí)間內(nèi)由甲地轉(zhuǎn)到乙地的人數(shù)為：（100-10）×0.2=18在甲地打不通，轉(zhuǎn)到乙地后打通電話的概率：所以：故：第八十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（三）全概率公式目的：計(jì)算一類較復(fù)雜事件的概率意義：根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)，推算結(jié)果發(fā)生可能性方法：借助于其它事件組，將這類隨機(jī)事件分解為若干較簡(jiǎn)單的事件，把這些簡(jiǎn)單事件的概率綜合起來。即：全概率公式=加法和乘法公式定理：設(shè)A1，A2，……An構(gòu)成一個(gè)互不相容的完備事件組，即A1+A2+……+An=S，AiAj=，且P（Ai）>0，則對(duì)任意事件B，有第八十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（三）全概率公式全概率公式的證明∵B=BS=B（A1+A2+A3+……+An）

=BA1+BA2+BA3+……+BAn—完備事件組由加法公式和互不相容性：P（B）=P（BA1）+P（BA2）+……P（BAn）（I）由乘法公式：

（II）

（I）中包括了所有可能導(dǎo)致事件發(fā)生的可能性（II）指明了其中任一可能與事件發(fā)生的關(guān)系的概率第八十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（三）全概率公式注意：即使不是完備群，但一定要能蓋住B，使B當(dāng)且僅當(dāng)A1，A2，……An，中某一事件出現(xiàn)時(shí)才發(fā)生；直觀意義：對(duì)一個(gè)試驗(yàn)，某一結(jié)果的發(fā)生可能有多種原因，每一原因都對(duì)這一結(jié)果的發(fā)生作出一定貢獻(xiàn)。不要把全概公式作為一個(gè)計(jì)算公式來理解，以為只要有和和積，就可用全概公式，它是其意義的。Ai是導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的原因，P（Ai）則是各種原因發(fā)生的概率，稱為先驗(yàn)概率，是試驗(yàn)前對(duì)各種原因的認(rèn)識(shí)，B是結(jié)果——由因?qū)Ч诎耸隧?，共一百零八頁，編輯?023年，星期日（三）全概率公式例1：去某地出差，乘飛機(jī)、船、汽車、火車的概率分別為3/10，1/5，1/10和2/5，而乘這些交通工具遲到的概率分別1/4，1/3，1/12，0，求此人遲到的概率。解：設(shè)Ai（i=1，2，3，4）表示乘

{飛機(jī)}、{船}、{汽車}、{火車}

B：{遲到}由題設(shè)：

P(A1)=3/10，P(A2)=1/5，P(A3)=1/10，P(A4)=4/10P（B/A1）=1/4，P（B/A2）=1/3，P（B/A3）=1/12，P（B/A4）=0第八十九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（三）全概率公式例2：五個(gè)球分別標(biāo)1，2，3，4，5，無放回抽兩次，一次一球，求已知第一次取到偶數(shù)球，第二次取到奇數(shù)球的P第二次才取到奇數(shù)球的P第二次取到奇數(shù)球的P解：設(shè)A={第一次取到奇數(shù)球}，B={第二次取到奇數(shù)球}，

={第一次取到偶數(shù)球}第九十頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（三）全概率公式（1）求的是：發(fā)生條件下，B的概率——條件概率（2）第二次才取到奇數(shù)球意味著第一次應(yīng)取到偶數(shù)球，兩者同時(shí)發(fā)生——乘法公式（3）由于B包括了第一次取到奇數(shù)球或偶數(shù)球兩種情況——全概率公式第九十一頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（四）貝葉斯公式全概公式根據(jù)對(duì)各原因Ai的認(rèn)識(shí)或已知知識(shí)，推斷結(jié)果B發(fā)生可能性大小—

由因?qū)Ч艚Y(jié)果B在一次試驗(yàn)中果然出現(xiàn)了，則有必要反過來估計(jì)它是由各種原因Ai造成的可能性大小，并從中比較，判別哪種原因可能性最大—

執(zhí)果導(dǎo)因

若：事件B能且僅能與兩兩環(huán)不相容的事件

A1、A2，……An，中之一事件同時(shí)發(fā)生，即則由條件概率和乘法定理，可知第九十二頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（四）貝葉斯公式例1：用某種方法普查肝癌，設(shè)：

A={用此方法判斷被檢查者患有肝癌}，

D={被檢查者確實(shí)患有肝癌}，已知且：P（D）=0.0004

現(xiàn)有一人用此法檢驗(yàn)患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．第九十三頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日例1（續(xù)）解：由已知，得

所以，由Bayes公式，得（四）貝葉斯公式第九十四頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日（四）貝葉斯公式第九十五頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日§3.獨(dú)立性一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性一般講，若要兩者相等，則意味著即A的發(fā)生對(duì)B是否發(fā)生不產(chǎn)生任何影響，或不提供任何信息。習(xí)慣上稱“無關(guān)”，數(shù)學(xué)上稱“獨(dú)立”，如產(chǎn)品有放回抽樣。定義：若P（AB）=P（A）P（B）成立，則事件A，B是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。第九十六頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日§3.獨(dú)立性★注：①定義雖有，但用其判斷事件獨(dú)立性往往較難，且不必要。許多實(shí)際問題本身給出的條件就能顯示獨(dú)立性。實(shí)際上，數(shù)學(xué)獨(dú)立性與物理工程上的獨(dú)立性是一致的；②獨(dú)立性與互斥有區(qū)別，二者間無必然聯(lián)系；獨(dú)立—A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率，關(guān)鍵要把握定義，以定義為準(zhǔn)；互斥—AB=，說明A，B間有聯(lián)系（三種情況）互斥：和的概率=概率之和；獨(dú)立：積的概率=概率之積第九十七頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日§3.獨(dú)立性設(shè)P（A）＞0，P（B）＞0（1）若A，B互斥，則A，B獨(dú)立因?yàn)椋夯コ狻鶤B=，則P（B/A）=P（AB）/P（A）=0/P（A）=0≠P（B），即，所以，A，B不獨(dú)立；（2）若A，B獨(dú)立，則A，B不互斥只有在P（A）或P（B）至少有一個(gè)為零，才可能同時(shí)獨(dú)立與互斥（3）A，B不獨(dú)立，并不能導(dǎo)致A，B不互斥（4）既不獨(dú)立又不互斥的事件組是存在的第九十八頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日§3.獨(dú)立性③事件的獨(dú)立性不具有傳遞性即，若A，B獨(dú)立，且B，C獨(dú)立，但不能推出A，C獨(dú)立;即，兩兩相互獨(dú)立不能忽略任一等式由事件的獨(dú)立性可直接推出下列命題1）必然事件與任意事件A相互獨(dú)立∵P（AS）=P（A/S）P（S）=P（A）P（S）2）不可能事件與任意事件A相互獨(dú)立3）若A，B獨(dú)立，則也獨(dú)立推廣成定理：4對(duì)事件，有一對(duì)對(duì)立，其余3對(duì)亦獨(dú)立。第九十九頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日§3.獨(dú)立性二、多個(gè)事件的獨(dú)立性定義：對(duì)A，B，C三事件，若下列各事件同時(shí)成立，則A，B，C為相互獨(dú)立事件。P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）上式：三事件兩兩獨(dú)立

——

必要條件下式：A，B，C中任一個(gè)事件與其它事件的積相互獨(dú)立

——

充分條件第一百頁，共一百零八頁，編輯于2023年，星期日注意：(1)多個(gè)事件相互獨(dú)立與多個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立并非一回事，兩兩獨(dú)立并不能保證它們是相互獨(dú)立的，一定要加上條件2）例如:一個(gè)均勻四面體，三面各涂R，B，Y色，第四面涂R，B，Y色，投擲此四面體，觀察出現(xiàn)顏色記：A={R色}，B={B色}，C={Y色}P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（ABC）=1/4，P（AB）=P（AC）=P（BC）=1/4顯然