材料力學(xué) 第八章 - 彎曲變形

材料力學(xué)第八章-彎曲變形第一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮第八章彎曲變形

材料力學(xué)第二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一回顧：彎曲內(nèi)力——在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。彎曲應(yīng)力——在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。

本章:

彎曲變形——在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。第八章彎曲變形

第三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一研究彎曲變形的目的（1）剛度計(jì)算；（2）解簡單的超靜定梁。本章的基本內(nèi)容：一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定；二、撓曲線及其近似微分方程三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

(1)積分法(2)疊加法四、剛度條件提高梁彎曲剛度的措施五、用變形比較法解簡單的超靜定梁。第八章彎曲變形

第四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定第八章彎曲變形

第五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一梁的撓度和轉(zhuǎn)角ypxcw1、度量彎曲變形的兩個(gè)量：（1）撓度：梁軸線上的點(diǎn)在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移ω稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）（2）轉(zhuǎn)角：梁變形后的橫截面相對于原來橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角位移θ稱為轉(zhuǎn)角。第八章彎曲變形/一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定

第六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一梁的撓度和轉(zhuǎn)角ypxcw（2）撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。2、符號規(guī)定：（1）坐標(biāo)系的建立：坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。（3）轉(zhuǎn)角的符號規(guī)定：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。W（-）θ（-）第八章彎曲變形/一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定

第七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第八章彎曲變形

二、撓曲線及其近似微分方程第八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一1、撓曲線：在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。軸線縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線（撓曲線）第八章彎曲變形/二、撓曲線及其近似微分方程

第九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一MAB＝MCD＝0MBC＝const答案D2、撓曲線的特征：光滑連續(xù)曲線(1)第十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一2、撓曲線的特征：光滑連續(xù)曲線(2)FA＝0FB＝0MCD＝const答案DABCD第十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一2、撓曲線的特征：光滑連續(xù)曲線(3)

pplpplpplpplFA＝0pplABCDMBD＝constFB＝P答案C第十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一力學(xué)公式數(shù)學(xué)公式1＝MEI純彎曲橫力彎曲（l／h＞5）1（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－3、撓曲線的近似微分方程(1)曲率與彎矩、抗彎剛度的關(guān)系第十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一小撓度情形下此即彈性曲線的小撓度微分方程橫力彎曲1（x）M（x）EI＝max＝（0.01－0.001）l；(ddx)2<<1＝1（x）d2dx2[1+(ddx)2]3/2＋－MEI＝d2dx2＋－（x）第十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一2owxMM選取如圖坐標(biāo)系，則彎矩M與恒為同號(2)撓曲線近似微分方程符號及近似解釋MEI＝d2dx2（x）近似解釋：（1）忽略了剪力的影響；（2）由于小變形，略去了曲線方程中的高次項(xiàng)。第十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一22(3)選用不同坐標(biāo)系下的撓曲線近似微分方程＝d2dx2M(x)EIM(x)EI＝d2dx2第十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第八章彎曲變形

三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法第十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一1、積分法——基本方法利用積分法求梁變形的一般步驟：（1）建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；分段的原則:①凡載荷有突變處（包括中間支座），應(yīng)作為分段點(diǎn)；②凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；③中間鉸視為兩個(gè)梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)；第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一(2)分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分兩次對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次，得撓曲線方程：第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一(3)利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)

①積分常數(shù)的數(shù)目——取決于的分段數(shù)

M(x)——n段積分常數(shù)——2n個(gè)舉例：分2段，則積分常數(shù)2x2=4個(gè)第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一②積分常數(shù)的確定——邊界條件和連續(xù)條件：

邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。

連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個(gè)不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。邊界條件積分常數(shù)2n個(gè)=2n個(gè)連續(xù)條件第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一邊界條件：連續(xù)條件：例題：列出圖示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一例題：列出圖示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。解：邊界條件：

連續(xù)條件：

第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一④積分常數(shù)的物理意義和幾何意義物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的轉(zhuǎn)角，它的EI倍就是積分常數(shù)C；即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。幾何意義：C——轉(zhuǎn)角D——撓度(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程；(5)計(jì)算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意和及其所在截面。第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一AqBL例題懸臂梁受力如圖所示。求和。X``yx取參考坐標(biāo)系A(chǔ)xy。解：1、列出梁的彎矩方程2、積分一次：積分二次：（1）（2）第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一3、確定常數(shù)C、D.由邊界條件：代入（1）得：代入（2）得：代入（1）（2）得：第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一代入得：將（與C比較知：）（與D比較知：）常數(shù)C表示起始截面的轉(zhuǎn)角×剛度(EI)因此常數(shù)D表示起始截面的撓度×剛度(EI)第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一例題

一簡支梁受力如圖所示。試求和。ALFCabyx解：1、求支座反力x2、分段列出梁的彎矩方程BC段xAC段B第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一BC段AC段3、確定常數(shù)由邊界條件：（1）（2）由光滑連續(xù)條件：（3）（4）可解得：第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第二十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一則簡支梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為BC段AC段4、求轉(zhuǎn)角代入得：代入得：第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一5、求。求得的位置值x。則由解得：第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一代入得：若則：在簡支梁情況下，不管F作用在何處（支承除外），可用中間撓度代替，其誤差不大，不超過3%。第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一積分法求梁變形舉例：用積分法求圖示梁的、、、：第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一分段建立彎矩方程：AB段：

（0<x1≤)BC段：

（）第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一二、分段建立近似微分方程，并對其積分兩次：AB段：即：

……………（1）……（2）第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一BC段：………（3）…（4）第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一三、利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)由邊界條件確定C1、D1：當(dāng)當(dāng)時(shí)，,由（1）式得C1=0；時(shí)，,由（2）式得D1=0。由連續(xù)條件確定C2、D2：第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)時(shí)，,即聯(lián)立(1)、(3)式子：，當(dāng)時(shí)，，即聯(lián)立(2)、(4)式：

即得：D2=0第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一四、分段建立轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程：AB段：………（5）

……（6）BC段：…………（7）……（8）第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第三十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一五．求梁指定截面上的轉(zhuǎn)角和撓度當(dāng)時(shí)，由（5）式得，由（6）式得，

當(dāng)時(shí)，由（7）式得，

由（8）式得，

第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第四十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一

疊加法前提小變形

力與位移之間的線性關(guān)系撓度、轉(zhuǎn)角與載荷（如P、q、M）均為一次線性關(guān)系軸向位移忽略不計(jì)。2、疊加法——簡捷方法須記住梁在簡單荷載作用下的變形——撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、撓度計(jì)算公式。第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第四十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一疊加法的兩種處理方法：（1）荷載疊加：疊加原理：在小變形和線彈性范圍內(nèi)，由幾個(gè)載荷共同作用下梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，應(yīng)等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用下同一截面產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。第八章彎曲變形/三、計(jì)算彎曲變形的兩種方法

第四十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一www已知：q、l、EI求：wC,B例題第四十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一www第四十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第四十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一例題

怎樣用疊加法確定C和wC?w第四十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一wwww第四十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一ww第四十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一w第四十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一（2）逐段剛化法：第五十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一例題:試用疊加法求圖示階梯形變截面懸臂梁自由端C的撓度由于梁的抗彎剛度EI在B處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大?？捎茂B加法求解。假定AB段剛化，研究自由端C對截面B的相對撓度;2.解除AB段的剛化，并令BC段剛化。ABC2EIEIl/2l/2ppcBwc1)(243)2(331-=-=EIPlEIlPwcwBPMB=Pl/2ABCwc2wB懸臂梁BC第五十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一由梁的變形連續(xù)條件，直線BC因AB段的彎曲變形而移位到的位置，使C點(diǎn)有相應(yīng)的撓度將圖（b）和（c）兩種情況的變形疊加后，即可求得自由端C的撓度這種分析方法叫做梁的逐段剛化法。APMB=Pl/2BCwc2wBpcBwc1第五十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一p

例題:用疊加法求AB梁上E處的撓度第五十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一wE=wE1+wE2

=wE1+wB/2wE1pwE2pwB=?第五十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一wB=wB1PPpl+wB2+wB3WB2=CC'WB3=C‘C''第五十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第八章彎曲變形

四、剛度條件提高梁彎曲剛度的措施第五十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一剛度條件：[w]——許用撓度，[]——許用轉(zhuǎn)角工程中，[w]常用梁的計(jì)算跨度l的若干分之一表示，例如：對于橋式起重機(jī)梁：對于一般用途的軸：在安裝齒輪或滑動軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：第八章彎曲變形/四、剛度條件提高梁彎曲剛度的措施

第五十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一梁的變形除了與載荷與梁的約束有關(guān)外，還取決于以下因素：材料——梁的變形與彈性模量E成反比；截面——梁的變形與截面的慣性矩成反比；跨長——梁的變形與跨長l的n次冪成正比第八章彎曲變形/四、剛度條件提高梁彎曲剛度的措施

第五十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一(1)減小跨度，增加支座，或加固支座。例如受q作用的簡支梁：方法：增加支座：LABqLABq第八章彎曲變形/四、剛度條件提高梁彎曲剛度的措施

第五十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一加固支座：LABqLABq(2)選用合理截面，。常采用工字形、箱形截面，以提高慣性矩。與強(qiáng)度不同的是要提高全梁或大部分梁的慣性矩，才能使梁的變形有明顯改善。第六十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一(3)合理安排載荷作用點(diǎn)，以降低。方法：使載荷盡量靠近支座，載荷大多數(shù)由支座承擔(dān)。例如：AlFCa(4)其它：因鋼的E基本相同，所以材料的楊氏模量對變形影響不大。第六十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第八章彎曲變形

五、用變形比較法解簡單超靜定梁第六十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一1、超靜定的概念2、用變形比較法解簡單超靜定梁的基本思想：(1)解除多余約束，變超靜定梁為靜定梁；(2)用靜定梁與超靜定梁在解除約束處的變形比較，建立協(xié)調(diào)方程；(3)通過協(xié)調(diào)方程（即補(bǔ)充方程），求出多余的約束反力。3、簡單超靜定梁求解舉列。第八章彎曲變形/五、用變形比較法解簡單超靜定梁第六十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一超靜梁—未知力的數(shù)目多于能列出的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，僅利用平衡方程不能解出全部未知力，則稱為超靜定問題（或靜不定問題）。超靜次數(shù)=未知力的數(shù)目-獨(dú)立平衡方程數(shù)BqL4個(gè)約束反力，3個(gè)平衡方程，靜不定次數(shù)=11、超靜定的概念第八章彎曲變形/五、用變形比較法解簡單超靜定梁第六十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一2、用變形比較法解簡單超靜定梁的基本思想：(1)確定超靜定次數(shù)。(2)選擇基本靜定梁。

靜定梁(基本靜定基)—

將超靜定梁的多余約束解除，得到相應(yīng)的靜定系統(tǒng)，該系統(tǒng)僅用靜力平衡方程就可解出所有反力以及內(nèi)力。

多余約束—

桿系在維持平衡的必要約束外所存在的多余約束或多余桿件。多余約束的數(shù)目=超靜定次數(shù)BqL多余約束的數(shù)目=1第八章彎曲變形/五、用變形比較法解簡單超靜定梁第六十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一靜定梁(基本靜定基)選取(2)解除A端阻止轉(zhuǎn)動的支座反力矩作為多余約束,即選擇兩端簡支的梁作為基本靜定梁。BqLA(1)解除B支座的約束,以代替，即選擇A端固定B端自由的懸臂梁作為基本靜定梁。BqLA第八章彎曲變形/五、用變形比較法解簡單超靜定梁第六十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一(2)基本靜定基要便于計(jì)算，即要有利于建立變形協(xié)調(diào)條件。一般來說，求解變形時(shí)，懸臂梁最為簡單，其次是簡支梁，最后為外伸梁?；眷o定基選取可遵循的原則：(1)基本靜定基必須能維持靜力平衡，且為幾何不變系統(tǒng)；第八章彎曲變形/五、用變形比較法解簡單超靜定梁第六十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一ABqLBqLABqLA3、列出變形協(xié)調(diào)條件。比較原靜不定梁和靜定基在解除約束處的變形，根據(jù)基本靜定梁的一切情況要與原超靜定梁完全相同的要求，得到變形協(xié)調(diào)條件。第八章彎曲變形/五、用變形比較法解簡單超靜定梁第六十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一本例：(1)4、用積分法或疊加法求變形，并求出多余未知力。僅有q作用，B點(diǎn)撓度為：僅有作用，B點(diǎn)撓度為：因此解得:BqlA第八章彎曲變形/五、用變形比較法解簡單超靜定梁第六十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一5、根據(jù)靜力平衡條件在基本靜定梁上求出其余的約束反力。本例：(1)BqLA（）第八章彎