材料力學能量法

材料力學能量法第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日能量原理功能原理用途：計算結(jié)構(gòu)的變形求解超靜定結(jié)構(gòu)數(shù)值計算——計算力學——固體力學中利用功與能之間的關(guān)系建立的一些定理第十章

能量法§10.1

概述能量法——利用能量原理求解可變形固體的位移、變形、內(nèi)力或外力的計算方法。第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日對變形固體：外力功即：彈性范圍內(nèi)應(yīng)變能可逆§10.1

概述桿件應(yīng)變能＝不計動能和其它能量靜載：能量原理第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、線彈性問題的應(yīng)變能

即：

§10.2

彈性應(yīng)變能的計算第十章

能量法變形能是外力或位移的二次函數(shù)

線彈性體的應(yīng)變能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日（一）、軸向拉伸或壓縮1、應(yīng)變能（1）軸力沿軸線不變二、桿件應(yīng)變能的計算

§10.2彈性應(yīng)變能的計算第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日（2）軸力沿軸線變化2、比能§10.2彈性應(yīng)變能的計算第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日（二）、扭轉(zhuǎn)1、應(yīng)變能（1）扭矩沿軸線不變（2）扭矩沿軸線變化§10.2彈性應(yīng)變能的計算第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能§10.2彈性應(yīng)變能的計算第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日（三）、彎曲（1）純彎曲§10.2彈性應(yīng)變能的計算第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日（2）橫力彎曲微段dx整個梁§10.2彈性應(yīng)變能的計算第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日（四）、組合變形下的應(yīng)變能

§10.2彈性應(yīng)變能的計算第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日因為是彈性體，所以應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于外力功，即Ve=W

，但必須注意F-D以及s-e的非線性關(guān)系，不能再用線彈性體的公式計算外力功。(2)非線性彈性體(3-1)應(yīng)變能為（F-D

曲線和D軸之間的面積）應(yīng)變能密度為（s-e

曲線和e

軸之間的面積）(3-2)1.軸向拉伸與壓縮第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日應(yīng)變能密度式中，Me為扭轉(zhuǎn)力偶矩，j為扭轉(zhuǎn)角，t為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，g為切應(yīng)變。2.扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日式中，Me為外力偶矩，q為彎曲轉(zhuǎn)角，s為正應(yīng)力，e為線應(yīng)變。應(yīng)變能密度應(yīng)變能和應(yīng)變能密度之間的關(guān)系為式中，V為體積。3.梁應(yīng)變能第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日原為水平位置的桿系如圖a所示，試計算在荷載F1作用下桿系的應(yīng)變能。兩桿的材料均線彈性彈性模量均為E,橫截面面積均為A。例題3-1第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

(1)將(1)式代入上式得

(2)首先分析力F和位移D之間的關(guān)系，求出F=f(D)的表達式，然后利用求Ve。設(shè)兩桿的軸力均為FN

，兩桿的伸長量和A點的位移分別為例題3-1解:第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日由結(jié)點A的平衡方程，得由于a為小角度，(3)(4)所以(5)將(4)式代入(3)式，得例題3-1第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日或?qū)懗?7)F

和D的關(guān)系如圖b所示。將(5)式代入(2)式，得(6)桿的應(yīng)變能為例題3-1第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

(1)由于力F

引起的變形l，對FN產(chǎn)生影響，形成F

和D的非線性關(guān)系，而應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)詾榫€性關(guān)系——幾何非線性。當材料為非線性彈性體時，即應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性時——物理非線性。例題3-1

(2)幾何非線性時，不能用求應(yīng)變能，而只能用求應(yīng)變能。第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

Ⅱ.余能圖a為非線性體彈性體的受拉桿，其F-D和s-e關(guān)系如圖b、c所示。(1)余功的定義為(3-6)第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日其大小為曲面OF1a的面積如圖d所示。Wc

和外力功W具有相同的量綱，且Wc

為矩形OF1aD1

的面積與曲面OaD1

的面積（W）之差（圖d）,故稱Wc

為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無物理概念，即沒有什么力作的功為Wc。FF1WcaWD1Do(d)第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日余能密度為

(3-8)VcVeF1

FD

D1

a(e)o(3)線彈性體(圖e)

Ve

和Vc

數(shù)值相等仿照Ve=W，余能為(3-7)(2)余能(3-9)余能為第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日圖a中兩桿的長度均為l，橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時的

s~e關(guān)系如圖b

所示。求結(jié)構(gòu)的余能。例題3-2第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日由結(jié)點C的平衡方程，得二桿的軸力為應(yīng)力為解:該題為物理非線性問題，需用求Vc。其中。例題3-2第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日余能密度為結(jié)構(gòu)的余能為由b圖所示的單軸拉伸時的s~e的關(guān)系可得例題3-2第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例1

求圖示簡支梁的變形能，并求yC

解：

1.求支反力

2.列彎矩方程

AC段：

CB段：

第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例1

求圖示簡支梁的變形能，并求fC

解：

1.求支反力

2.列彎矩方程

AC段：

CB段：

3.求梁的變形能

4.求fC第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、功的互等定理

§10.3

互等定理以圖示梁為例證明如下：第十章

能量法第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.先在1點作用F1

再在2點作用F2

外力功：

外力功：

變形能：

§10.3互等定理第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.先在1點作用F1

§10.3互等定理2.先在2點作用F2

再在1點作用F1

外力功：

外力功：

變形能：

第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.先在1點作用F1

§10.3互等定理2.先在2點作用F2

變形能只決定于力與位移的最終值，

與加載次序無關(guān)

即：功的互等定理第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日二、位移互等定理

由功的互等定理

位移互等定理注意：1.上述互等定理對于所有的線性結(jié)構(gòu)都適用2.力和位移應(yīng)理解為廣義力和廣義位移§10.3互等定理

當F1=F2=F時（力與位移成線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)）第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例3

試求圖示梁的跨中撓度fC

解：

1.當Me作用時設(shè)想在C點作用F

2.

由功的互等定理3.查表討論：若應(yīng)用位移互等定理任何求解？第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第十章

能量法§10.4

卡氏第二定理已知：彈性體受一組相互獨立的廣義力F1、F2、…、Fi、…作用

求：任一廣義力Fi的作用點沿Fi方向的廣義位移i

，例如：第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、推導(dǎo)

給：

總變形能：

§10.4卡氏第二定理有：

第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、推導(dǎo)

§10.4卡氏第二定理改變加載次序

總變形能：先加dFi：再加F1,F2,…,Fi,…：第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、推導(dǎo)

§10.4卡氏第二定理由卡氏定理：

說明：1.卡氏定理適用于線彈性結(jié)構(gòu)；2.Fi為廣義集中力，I為廣義位移。得到第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日二、應(yīng)用

1.梁的彎曲

§10.4卡氏第二定理第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

2.桁架

§10.4卡氏第二定理第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

3.求沒有集中力作用的點的位移

在該點沿要求位移的方向，作用一個假想的力F0(附加力)，

計算出在載荷和附加力共同作用時的變形能，在求得U對F0的偏§10.4卡氏第二定理導(dǎo)數(shù)后，再令F0=0，即0——廣義位移

F0——廣義力第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例4

圖示剛架的EI為常量，不計軸力和剪力影響，解：

1.求B(1)列彎矩方程，并求導(dǎo)

DC段：

求B、D。CB段：BA段：(2)求B第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例4

圖示剛架的EI為常量，不計軸力和剪力影響，解：

2.求D

(1)加附加力

DC：

求B、D。CB：BA：(3)求D(2)列彎矩方程第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第十章

能量法§10.6

單位載荷法已知：彈性體受一組相互獨立的廣義力F1、F2、…、Fi、…作用

求：任一點C的廣義位移，第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、定理推導(dǎo)圖(a)：

圖(b)：

§10.6單位載荷法圖(c)：

圖(d)：

第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日——廣義位移——實際載荷引起的彎矩——單位廣義力引起的彎矩莫爾定理：

這種計算位移的方法稱為單位載荷法

§10.6單位載荷法式中

莫爾積分

第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.扭轉(zhuǎn)

2.桁架

§10.6單位載荷法二、莫爾定理的其它情形第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.組合變形情況

§10.6單位載荷法3.求相對位移第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日卡氏定理：

莫爾定理：

§10.6單位載荷法三、莫爾定理與卡氏第二定理的關(guān)系以彎曲為例說明兩者之間的關(guān)系若i=，則有：

第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日解：

1.

求yC

(1).列彎矩方程(2).求yC

由對稱性例5

求圖示梁的yC和B。第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例5

求圖示梁的yC和B。解：

1.

求yC

(1).列彎矩方程(2).求B

2.

求B

第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日上述積分可以簡化第十章

能量法§10.7

圖乘法（維利沙金法）必為直線或折線

對于等直桿在單位力或單位力偶的作用下，第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日§10.7圖乘法一、為直線情況

第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日§10.7圖乘法一、為直線情況

——M圖的面積

——M圖的形心坐標

——圖中與M圖形心所對應(yīng)的值

式中

圖乘法——上述計算莫爾積分的方法第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

1.以折線的轉(zhuǎn)折點為界，將積分分成若干段

2.逐段使用圖乘法

3.求和

§10.7圖乘法二、為折線情況

第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日§10.7圖乘法三、積分值的符號

M圖的形心C與在同側(cè)，積分值為+

異側(cè)，積分值為-

第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日四、幾種常用圖形的面積及其形心位置

1.三角形

§10.7圖乘法第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日§10.7圖乘法四、幾種常用圖形的面積及其形心位置

2.二次拋物線

第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日§10.7圖乘法3.n次拋物線四、幾種常用圖形的面積及其形心位置

第五十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日五、M圖由幾種常用圖形組合情況

1.將M圖分解為幾種常用圖形的組合

2.分別應(yīng)用圖乘法

3.疊加§10.7圖乘法第五十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日六、一般情況

若一個為直線或折線，

可使用圖乘法。

§10.7圖乘法第六十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例6

用圖乘法求圖示梁的yC

分為AC和CB兩段使用圖乘法

解：1.作M圖

2.作圖3.求解第六十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例7

圖乘法求圖示外伸梁A端轉(zhuǎn)角A

解：1.疊加法作M圖2.作圖3.求解A

第六十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.確定超靜定次數(shù)，選定靜定基2.作出相當系統(tǒng)3.寫出相當系統(tǒng)的應(yīng)變能4.根據(jù)多余約束處的位移條件，5.聯(lián)立求解補充方程，得到全部多余約束力6.按靜定結(jié)構(gòu)求其余約束力、內(nèi)力、應(yīng)力和位