彈性力學第五章差分法

彈性力學第五章差分法第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分法簡介12340567891011121314hhyxBA差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解法。它不是去尋求函數(shù)式的解答，而是尋求函數(shù)在一些網(wǎng)格結點上的數(shù)值。差分法就是把微分用有限差分代替，把導數(shù)用有限差商代替，從而把基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示，從而把求解微分方程的問題轉化成求解代數(shù)方程的問題。第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分公式的推導（1）12340567891011121314hhyxBA設函數(shù)f為彈性體內(nèi)的某一個連續(xù)函數(shù)（可以是應力函數(shù)，應力分量函數(shù)，位移函數(shù)…），將函數(shù)f在0點處沿3-0-1這條平行于x軸的直線展開：第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分公式的推導（2）12340567891011121314hhyxBA網(wǎng)格間距h很小：聯(lián)立求解：第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分公式的推導（3）12340567891011121314hhyxBA第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分公式的推導（4）12340567891011121314hhyxBA第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（1）12340567891011121314hhyxBA對于邊界內(nèi)距邊界距離大于h的結點可建立如下方程：第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（2）12340567891011121314hhyxBA對于距邊界內(nèi)一行的結點建立的方程須用到邊界上的結點以及邊界外一行上的結點的應力函數(shù)值。因此首先我們要用邊界條件確定邊界上的點的應力函數(shù)值。第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（3）s-dxdyo(xB,

yB)xydsnAB第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（4）s-dxdyo(xB,

yB)xydsnAB從基點A到邊界上任意點B對s積分第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（5）s-dxdyo(xB,

yB)xydsnAB由于：對應力函數(shù)在s上利用分部積分做積分：聯(lián)合下式：得到：第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（6）s-dxdyo(xB,

yB)xydsnAB代入得到：（1）（2）（3）第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（7）s-dxdyo(xB,

yB)xydsnAB由于在應力函數(shù)中加上一個線性函數(shù)不影響應力的解，因此我們可以假想通過在應力函數(shù)中加上一個特殊的線性函數(shù)使得應力函數(shù)在A點的值以及對x和y的一階偏導都為零。從而使1-3式有如下簡化形式：第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（8）s-dxdyo(xB,

yB)xydsnAB第一式：表示A與B之間的x方向的面力之和。第二式：表示A與B之間的y方向的面力之和的負數(shù)。第三式：表示A與B之間的面力對B點的力矩之和，在如右圖的坐標系中，順時針為正。第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（9）s-dxdyo(xB,

yB)xydsnAB對于多連體問題，在一條邊界上可以采用以上三個公式，對另一條邊界則需要通過位移單值條件求得邊界上一個基點的應力函數(shù)及其對應的偏導值，然后再利用未簡化的1-3式求解。第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（10）12340567891011121314hhyxBA對于邊界外一行，利用下面的差分公式：可得到：第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（11）12340567891011121314hhyxBA1）在邊界上任意選定一個結點作為基點使。2）然后由式計算面力的矩及面力之和計算邊界上各結點的值及必需的一些，值。3）將邊界外一行各虛結點的值用邊界內(nèi)相應的結點處的值表示。4）對邊界內(nèi)各結點建立差分方程，求解方程并計算應力分量。差分法解平面問題的步驟：第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日應力函數(shù)的差分解（12）邊界內(nèi)邊界外019B將應力函數(shù)在B點周圍泰勒展開：將0，1以及9點的坐標代入上式：第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分法實例（1）123413567891011122419hhyxA25262322202119181716qJKLMIHGFEBCD1415問題：正方形的深梁，上邊受有均布向下的鉛直載荷q，由下角點處的反力維持平衡，試求應力分量。解答：取坐標軸如圖所示，并取網(wǎng)格間距為六分之一邊長。利用對稱性，只取左邊一半做研究。1）取A點為基點，計算P90頁表中各值。2）計算邊界外一行各結點處的值。第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分法實例（2）123413567891011122419hhyxA25262322202119181716qJKLMIHGFEBCD14153）對邊界內(nèi)各結點可列15個差分方程。如對結點1：4）解方程并計算邊界外一行各結點值。5）計算應力。如對結點M：第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分法實例（4）如果彈性體的形狀對稱于xz平面和yz平面，而且面力分布也對稱于這兩個面，如右圖。為了減少未知數(shù)的個數(shù)，我們采用對稱的網(wǎng)格，但是按照通常方法計算各結點的值不能保證其具有對稱性。試以C點為基點計算G結點和H結點的應力函數(shù)值。654321yxCqEBDAqqqFFFFGH第二十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期日差分法實例（5）y654321xCEBDAFFFF654321yxC