第18章++平行四邊形++期末壓軸題訓練 人教版八年級數(shù)學下冊

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第18章平行四邊形期末壓軸題訓練1．如圖1，在正方形中，為邊上一點（不與點、重合），垂直于的一條直線分別交、、于點、、．（1）求證；（2）如圖2，若垂足恰好為的中點，連接，交于點，連接，并延長交邊于點．求的度數(shù)；（3）如圖3，若該正方形邊長為11，將正方形沿著直線翻折，使得的對應邊恰好經(jīng)過點，過點作，垂足分別為，若，則______．2．在平行四邊形中，于，于，為上一動點，連接，交于，且．（1）如圖1，若，求、的長；（2）如圖2，當時，求證：；（3）如圖3，若，點是直線上任一點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段，請直接寫出的最小值_____．3．（1）如圖1，正方形ABCD中，AC為對角線，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，將正方形ABCD沿CE，CF所在直線折疊，使點B，D都落在AC上，則∠ECF＝；（2）如圖2，矩形ABCD中，AC為對角線，AB＝6，AD＝8，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，將矩形ABCD沿CE，CF所在直線折疊，使點B，D分別落在AC上的點M，N處，求EF的長；（3）如圖3，矩形ABCD中，點P在BC上，將矩形ABCD沿PA所在直線折疊，使點B落在AD上的點Q處，點E在AB上，將矩形ABCD沿PE所在直線折疊，使點B落在折痕PA上的點M處，再將矩形ABCD沿PD所在直線折疊，此時點C落在折痕PA上的點N處，若AE＝4，請直接寫出BC的長．4．如圖，在矩形中，，的平分線交于點，于點，連接并延長交于點，連接．（1）求證：；（2）與相等嗎？請說明理由，并求當時矩形的面積；（3）判斷、、三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．綜合與實踐動手、發(fā)現(xiàn)：（1）數(shù)學活動課上，小聰進行了下列操作：“如圖①，矩形紙片ABCD中，BD為對角線，將△BCD沿BD折疊，使點C落在點E處，BE交AD于點F．”則線段BF=，△ABF≌△；問題解決:（2）在圖①中，若AB=6，BC=8，請你求出線段AF的長；再動手、延伸:（3）小聰在（2）的條件下，找到DE上的點G及BD上的點H，將△GDH沿GH折疊，使點D落在點A處（如圖②），則線段GH的長為：．6．正方形中，點、分別在、上動點（與頂點不重合），且滿足（1）如圖1，連與對角線交于點，求證（2）如圖2，連，過點作的平行線，分別交、于點M、G．過點M作交的延長線于點，連、，若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）如圖3，過點作直線，垂足為點，連，若正方形邊長為8，則線段的最大值為__________________．7．自主探究：在中，，，點D在射線上（與B、C兩點不重合），以為邊作正方形，使點E與點B在直線的異側(cè)，射線與直線相交于點G．（1）當點D在線段上時，如圖（1），判斷：線段與線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（2）當點D在線段的延長線上時，如圖（2），寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，不必證明；（3）在（2）的基礎上，隨著點D位置的變化，當G為中點，時，求出正方形的邊長．8．問題探究：（1）如圖1，平行四邊形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分別為AD、DC上的點，且DM+DN＝4，則四邊形BMDN的面積最大值是．（2）如圖2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，連接AB，則△ABC的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由．問題解決（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，則△AOD與△BOC的周長之和是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．9．如圖，將平行四邊形沿折疊，點恰好落在的延長線上點處，連接交于點．（1）證明：四邊形是菱形；（2）若．①求的面積；②若直線上有一點，當為等腰三角形時，直接寫出線段為的長．10．在中，的平分線交于點．交的延長線于點，連接（1）如圖1，若，是的中點，連接、．①求證：．②請判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接、，請判斷的形狀，并說明理由．（3）如圖3，，作的角平分線交于點，已知，，求的長．11．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P為線段AB上一動點．將△BPC沿PC翻折至△EPC，延長CE交射線AD于點D．（1）如圖1，當P為AB的中點時，求出AD的長；（2）如圖2，延長PE交AD于點F，連接CF，求證：∠PCF＝45°；（3）如圖3，∠MON＝45°，在∠MON內(nèi)部有一點Q，且OQ＝8，過點Q作OQ的垂線GH分別交OM、ON于G、H兩點．當QG＝2時，求QH的值．12．在正方形ABCD中，點P是CD邊上點，點E在AP的延長線上，將線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，到線段AF，連接DE（1）如圖1，連接BF，求證：BF＝DE；（2）如圖2，若EF正好經(jīng)過點B，①求證：DE⊥EF；②探究BE、BF、BA三條線段的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當EF經(jīng)過點C時，若CF＝4，CE＝2，請直接寫出此時正方形邊的長度）．13．已知：菱形中，過點作，垂足為點，．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接、，點在上，于點，交于點，點在上，連接、，，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，分別連接、，、交于點，交于點，若，，求菱形的面積．14．如圖，P是正方形的邊右側(cè)一點，，為銳角，連，．（1）如圖1，若，則的度數(shù)為；（2）如圖2，作平分交于E．①求的度數(shù)；②猜想，，之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若，則四邊形的面積為平方單位15．在矩形ABCD中，BC＝CD，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上時，交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；（3）當AB＝5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，直接寫出點G運動路線長．16．在中，，點為所在平面內(nèi)一點，過點分別作交于點，交于點，交于點．（1）如圖1，當點在邊上時，請?zhí)剿骶€段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖2，當點在內(nèi)部時，線段，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，當點在外部時，線段，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．17．如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE的延長線與BC交于點F，過點E作DF的垂線交邊AB，CD于點H，G．（1）求證：；（2）延長BC，HG交于點M，求證：；（3）若，，求CF的長（用含有m的式子表示）．18．如圖，是正方形邊上一個動點，線段與關(guān)于直線對稱，連接并延長交直線于點，連接．（1）如圖1，，①求的大?。虎谇笞C：；（2）如圖2，試猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．（1）見解析；（2）45°；（3）【分析】（1）過點B作BF∥MN交CD于點F，則四邊形MBFN為平行四邊形，得出MN=BF，BF⊥AE，由ASA證得，得出AE=BF即可得出答案；（2）連接AQ，過點Q作HI∥AB，分別交AD、BC與點H、I，則四邊形ABIH為矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI=AB=AD，由HL證明，得，證明即可得出答案；（3）延長交于點，由折疊的性質(zhì)可知，，再根據(jù)勾股定理計算出的長度即可得出答案.【解析】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，，過點作交于點，如圖1所示∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴∵，∴，在和中，∴∴，∴；（2）解：連接，過點作，分別交、于點、，如圖2所示：∵四邊形是正方形，∴四邊形為矩形，∴，，，∵是正方形的對角線，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵是的垂直平分線，∴，在和中，∴，∴，∴∴，∴是等腰直角三角形，∴，即；（3）解：延長交于點，如圖3所示，由折疊的性質(zhì)可知，∴∴∴【點評】本題考查的是正方形的綜合，運用到了全等三角形的判定、勾股定理以及正方形的性質(zhì)等知識點，掌握旋轉(zhuǎn)前后的圖形是完全重合的是解決本題的關(guān)鍵.2．（1），；（2）見解析；（3）．【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)可得，利用30°直角三角形性質(zhì)開得，根據(jù)勾股定理，設，則，根據(jù)勾股定理，解得即可；（2）方法1補短：如圖3，延長到使，連接、，由平行四邊形ABCD性質(zhì)，可得AB∥CD，AB=CD，可證（SAS），可得，，由垂直平分，，可證，再證即可；方法2截長：如圖4，過點作于點，連接，先證（SAS），再證（AAS），最后證（HL），可得即可，（3）在上截取，連接、，先證是等邊三角形，可得，，可證（SAS），可證，設PH′交AE與Q，點H′在射線PQ上運動，當點H′運動到點Q是AH′最短由，先求，由勾股定理即可．【解析】（1）由平行四邊形性質(zhì)可得，在中，，，，∴，根據(jù)勾股定理，在中，，，，設，則，根據(jù)勾股定理，即，解得，∴，；（2）方法1補短：如圖3，延長到使，連接、，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵∴AE⊥AB，∴，在△ADE和△BMA中，，∴（SAS），∴，，∵，，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．方法2截長：如圖4，過點作于點，連接，∵CF⊥AD，∴，在△CFH和△CFD中，∴（SAS），∴，∵，∴，在△BNC和△AED中，∴（AAS），∴，，∵，∴，∵，于，∴=∠BNG，在Rt△ABG和Rt△NBG中∴（HL），∴，∴．（3）在上截取，連接、，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，在△CDH和△CPH′中，∴（SAS），∴，∴，∴，∵，∴，設PH′交AE與Q，點H′在射線PQ上運動，當點H′運動到點Q是AH′最短∵由（1）得：，，，∴，，∴的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查平行四邊形性質(zhì)，30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，垂線段最短，掌握平行四邊形性質(zhì)，30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，垂線段最短是解題關(guān)鍵．3．（1）45°；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BCD=90°，進而問題可求解；（2）由折疊的性質(zhì)可得，則有，設DF=x，AE=y，然后根據(jù)勾股定理可建立方程求解x、y的值，進而根據(jù)勾股定理可求解EF的長；（3）由題意易得四邊形ABPQ是正方形，則有△AME是等腰直角三角形，然后可得EM=4，由折疊性質(zhì)可得EM=BE=4，進而可得△ABP是等腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可進行求解．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴；故答案為45°；（2）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，∴，，設FN=DF=x，AE=y，則有，∴在Rt△ANF中，由勾股定理可得，解得：，在Rt△AME中，由勾股定理可得，解得：，∴AF=8-3=5，∴在Rt△AEF中，由勾股定理可得；（3）由將矩形ABCD沿PA所在直線折疊，使點B落在AD上的點Q處，可得四邊形ABPQ是正方形，，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴△AME是等腰直角三角形，∵AE＝4，∴，∴，∴，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴，∴，∵，∴△ABP是等腰直角三角形，∴，∴．【點評】本題主要考查勾股定理、矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理、矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（1）見解析；（2）相等；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件可得是等腰直角三角形，然后證明，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件證明，即可證明與相等，過點E作AB，CD的平行線，與AD，BC交于G，N，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)結(jié)合求出矩形的長和寬計算面積即可；（3）設HE為x，則，然后根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，中位線定理表示出各線段的值，寫出關(guān)系即可．【解析】解：（1）∵在矩形中，平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，，（2）由（1）得，∴是等腰三角形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；過點作與AD，BC交于G，N，則為等腰直角三角形，，N分別為AD和BC的中點，為等腰直角三角形，,，為等腰直角三角形，，，，則,則，；（3）設HE為x，則，，則，為BC的中點，，為的中位線，，，．【點評】本題主要考查四邊形的綜合運用，涉及的知識點有矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理等知識點，根據(jù)所設線段的長度表示出其它線段的長度是解決問題的關(guān)鍵．5．（1）DF，EDF；（2）；（3）．【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得∠CBD=∠EBD，由平行線的性質(zhì)得∠CBD=∠ADB，結(jié)合折疊性質(zhì)即可證明∠ADB=∠EBD，可得BF=DF；再根據(jù)AAS可證△ABF≌△EDF；(2)在Rt△ABF中，設AF=x，由勾股定理得方程(8-x)2=62+x2，解方程可得AF的值；(3)分別延長BA，DE，并交于點O，利用矩形及折疊性質(zhì)可得AB=DE=6．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及已得結(jié)論可推出OA=OE，則可由勾股定理求出OA，并得OB的長，最后由折疊性質(zhì)可得GH是△OBD的中位線，從而可得GH的值．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=∠C=90°．∴∠CBD=∠ADB．由折疊性質(zhì)可得∠CBD=∠EBD，∠C=∠E=90°，∴∠ADB=∠EBD，∠A=∠E．∴BF=DF．∵∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF．故答案為：DF，EDF；（2）∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，∴AD=BC=8．設AF為x，BF=DF=8-x，由勾股定理可得：BF2=AB2+AF2．即（8-x）2=62+x2．解得x=．∴AF=．（3）分別延長BA，DE，并交于點O，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6．由折疊性質(zhì)可得DE=CD，∴AB=DE=6．∵△ABF≌△EDF，∴∠ABF=∠EDF∵∠EBD=∠ADB，∴∠ABF+∠EBD=∠EDF+∠ADB，即∠OBD=∠ODB，∴OB=OD．∴OA=OE．由勾股定理可得：OA2=（OE+DE）2-AD2．即OA2=（OA+6）2-82．解得OA=，∴OB=AB+OA=6+=．∵△AGH是△GDH翻折而成，∴GH垂直平分AD．∵AB⊥AD，∴KH是△ABD的中位線．同理可得：KG是△OAD的中位線．∴GH是△OBD的中位線．∴GH=．故答案為：．【點評】本題考查了翻折變化、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及三角形中位線性質(zhì)等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．6．（1）見解析；（2），證明見解析；（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，，證明，得出，證得四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）求出，取的中點，連接，，過點作于點，由直角三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理求出，則可得出答案．【解析】解：（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，；（2）解：．理由如下：四邊形是正方形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，，，四邊形是平行四邊形，．（3）由（1）可知，，，，，取的中點，連接，，過點作于點，，，，，，，，即的最大值為．故答案為．【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．7．（1），，理由見解析；（2），；（3）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性質(zhì)得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACF=∠B=45°，證得BC⊥CG，再利用，得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，證得BC⊥CG，再利用，得到，即可得到結(jié)論；（3）由（1）（2）可知：與為等腰直角三角形，得，根據(jù)已知條件G為中點，得，證，得．再過點A作AP⊥BD于P，，在中，利用勾股定理可得AD=．【解析】（1），．∵，，∴正方形中，，∴∵∴∵∴，∴∴，∴∵，，，∴（2），．仍然成立四邊形是正方形，，，，，，，，.（3）由（1）（2）可知：與為等腰直角三角形，∴．又∵G為中點∴又∵∴∴∵∴∴∴過點A作于點P，∴∴在中答︰正方形的邊長為．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)解題的關(guān)鍵．8．（1）；（2）存在，4+2；（3）不是，周長之和的最小值為15【分析】（1）先求出平行四邊形的面積，利用面積和差關(guān)系可得四邊形的面積，則當有最小值時，四邊形的面積有最大值，即可求解；（2）在中，由勾股定理可求的長，由線段的和差關(guān)系可求解；（3）如圖3，過點作，交的延長線于，過點作于，可證四邊形是平行四邊形，可，，則與的周長之和為，由直角三角形的性質(zhì)可求的長，即可求解．【解析】解：（1）過點作，交延長線于，過點作，交的延長線于，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，四邊形的面積，，，∴四邊形的面積，四邊形的面積，則當有最小值時，四邊形的面積有最大值，，，，，，當時，四邊形的面積，故答案為；（2）存在，設，，，，的周長，當時，的周長的最小值為；（3）與的周長之和不是定值，理由如下：如圖3，過點作，交的延長線于，過點作于，，，四邊形是平行四邊形，，，，設，則，，，，，，，，，與的周長之和不是定值，當時，與的周長之和的最小值為15．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（1）見解析；（2）；（3）線段的長為2、18、或5．【分析】（1）由題意可得，∥，，結(jié)合，得到，得，可證四邊形是平行四邊形，再由折疊可知，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，得證；（2）利用菱形的面積的兩種求解方式：①對角線乘積的一半②底×高，列出方程，，即可得到的高，再利用，求出面積；（3）分三種情況討論，①以E點為圓心，CE為半徑畫弧，與直線AE相交于、，即②以C點為圓心，CE為半徑畫弧，與直線AE相交于，即③，畫出圖形，分別求解即可．【解析】（1）證明：∵平行四邊形沿折疊，點恰好落在的延長線上點處，連接交于點∴∥，，∴∴∴∴四邊形是平行四邊形又∴平行四邊形是菱形．（2）∵平行四邊形是菱形，∴∴∵四邊形是菱形，∴∵平行四邊形，∴∴菱形的面積=即解得（3）由（2）∵平行四邊形，∴如圖所示，以E點為圓心，CE為半徑畫弧，與直線AE相交于、，①，此時為等腰三角形∴；②，此時為等腰三角形∴；如圖所示，以C點為圓心，CE為半徑畫弧，與直線AE相交于，③，此時為等腰三角形，由（2）可知∴④由（2）可知∵四邊形是菱形，∴∴∴即B點，此時為等腰三角形，綜上所述：當為等腰三角形時，線段的長為2、18、或5．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10．（1）①見解析；②等腰直角三角形，理由見解析（2）等邊三角形（3）【分析】（1）①先判定四邊形ABCD是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，再根據(jù)DF是∠ADC的平分線，利用角平分線的定義得到∠ADF＝∠FDC，從而得到∠F＝∠BEF，然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明；②連接BG，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠F＝∠BEF＝45°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG＝CG，再求出∠GAC＋∠ACG＝90°，然后求出∠AGC＝90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可；（2）連接BG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BFG是等邊三角形，再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出AF＝AD，平行四邊形的對角相等求出∠ABC＝∠ADC＝60°，然后求出∠CBG＝60°，從而得到∠AFG＝∠CBG，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG＝CG，全等三角形對應角相等可得∠FAG＝∠BCG，然后求出∠GAC＋∠ACG＝120°，再求出∠AGC＝60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可．（3）在BH上截取BN＝BE，連接NE，由等腰三角形的性質(zhì)可求HN＝NE＝，可求BN的長，即可求解．【解析】解：（1）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，∵DF是∠ADC的平分線，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠F＝∠BEF，∴BF＝BE；②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：連接BG，由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∵G是EF的中點，∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，∵∠FAD＝90°，∴AF＝AD，又∵AD＝BC，∴AF＝BC，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG(SAS)，∴AG＝CG，∴∠FAG＝∠BCG，又∵∠FAG＋∠GAC＋∠ACB＝90°，∴∠BCG＋∠GAC＋∠ACB＝90°，即∠GAC＋∠ACG＝90°，∴∠AGC＝90°，∴△AGC是等腰直角三角形；（2）連接BG，∵FB繞點F順時針旋轉(zhuǎn)60°至FG，∴△BFG是等邊三角形，∴FG＝BG，∠FBG＝60°，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°∴∠CBG＝180°?∠FBG?∠ABC＝180°?60°?60°＝60°，∴∠AFG＝∠CBG，∵DF是∠ADC的平分線，∴∠ADF＝∠FDC，∵AB∥DC，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG(SAS)，∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，在△ABC中，∠GAC＋∠ACG＝∠ACB＋∠BCG＋∠GAC＝∠ACB＋∠BAG＋∠GAC＝∠ACB＋∠BAC＝180°?60°＝120°，∴∠AGC＝180°?（∠GAC＋∠ACG）＝180°?120°＝60°，∴△AGC是等邊三角形．（3）如圖，在BH上截取BN＝BE，連接NE，∵AB＝9，BH＝2AH，∴AH＝3，BH＝6，∵∠BEF＝45°，∴∠BED＝135°，∵EH平分∠BED，∴∠BEH＝67.5°，∴∠BHE＝22.5°，∵BE＝BN，∠ABC＝90°，∴∠BEN＝∠BNE＝45°，NE＝BN，∵∠BNE＝∠BHE＋∠HEN＝45°，∴∠BHE＝∠NEH＝22.5°，∴HN＝NE＝BN，∵BH＝BN＋NH＝（＋1）BN＝6，∴BN＝＝BE，∴BF＝，∴BC＝AD＝AF＝AB＋BF＝．【點評】本題是四邊形綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，在（1）中充分利用矩形的對邊分別平行是解題的關(guān)鍵，在（2）構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（3）中求出BN的長是關(guān)鍵．11．（1）；（2）證明過程見解析；（3）．【分析】（1）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠B=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．作于，設，根據(jù)AB＝BC＝12，得到，，根據(jù)勾股定理求出AD的長；（2）如圖2，過C作CK⊥AD交AD的延長線于K，推出四邊形ABCK是正方形，求得CK=CB，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CEP=∠B=90°，BC=CE，∠BCP=∠ECP，得到CE=CB=CK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖3，將△OQG沿OM翻折至△OUG，將△OQH沿ON翻折至△OWH，延長UG，WH交于V，根據(jù)已知條件和折疊的性質(zhì)，利用有三個角是直角的四邊形是矩形和鄰邊相等的矩形是正方形，推出四邊形UOWV是正方形，設QH=y，在中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）如圖1，連結(jié)，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A=∠B=90°∵將△BPC沿PC翻折至△EPC，∴∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，∴∠DEP=90°∵當P為AB的中點，∴AP=BP∴PA=PE∵PD=PD∴，∴作于，設，AB＝BC＝12，則，由勾股定理得，解得，∴（2）如圖2，作交延長線于，∴∴四邊形為矩形又∵AB＝BC∴矩形為正方形∴CK=CB，∠BCK=90°∵將△BPC沿PC翻折至△EPC，∴∠FED=90°，CE=CB=CK，又∵CF=CF∴，∴∠ECF=∠KCF∴∠BCP+∠KCF=∠PCE+∠FCE=45°∴∠PCF=45°(3)如圖3，將△OQG沿OM翻折至△OUG，將△OQH沿ON翻折至△OWH，延長UG，WH交于V，∴∠UOG=∠QOG，∠WOH=∠QOH，OU=OQ=OW=8，UG=QG=2，設QH=WH=y∴∠UOW=2∠MON=90°，∵GH⊥OQ∴∠OQG=∠OQH=90°．∴∠U=∠W=90°=∠UOW，∴四邊形UOWV是正方形∴UV=WV=8，∠V=90°，∴GV=6，HV=8-y，GH=y+2∴∴解得，即．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（1）見解析；（2）①見解析；②BE2+BF2=2AB2，理由見解析；（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD，由“SAS”可證△ABF≌△ADE，可得BF=DE；（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠AFE=∠AEF=45°，由全等三角形的性質(zhì)可得∠AFB=∠AED=45°，可得結(jié)論；②由正方形的性質(zhì)和勾股定理可求BD2=2AB2，在Rt△DBE中，BE2+DE2=DB2，可得結(jié)論；（3）連接AC，過點A作AH⊥EF于H，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AH=FH=EH=3，由勾股定理可得AH2+CH2=AB2+BC2，即可求解．【解析】解：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，∵將線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，到線段AF，∴AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD，∴∠BAF=∠DAE，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴BF=DE；（2）①∵AE=AF，∠EAF=90°，∴∠AFE=∠AEF=45°，∵△ABF≌△ADE，∴∠AFB=∠AED=45°，∴∠DEF=∠AED+∠AEF=90°，∴DE⊥DF；②BE2+BF2=2AB2；理由如下：如圖2，連接DB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴AB2+AD2=BD2，∴BD2=2AB2，∵∠DEF=90°，∴BE2+DE2=DB2，∴BE2+BF2=2AB2；（3）如圖4，連接AC，過點A作AH⊥EF于H，∵CF=4，CE=2，∴EF=6，∵AE=AF，∠EAF=90°，AH⊥EF，∴AH=FH=EH=3，∴CH=1，∵AC2=AH2+CH2=AB2+BC2，∴9+1=2AB2，∴AB=，∴正方形的邊長為．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（1）；（2）見解析；（3）菱形的面積為．【分析】（1）連接，根據(jù)三線合一性質(zhì)解得，再由菱形性質(zhì)解得，繼而解題；（2）由菱形性質(zhì)解得平分，解得，再由含30°角的直角三角形性質(zhì)解得，繼而證明（SAS），最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題；（3）在上取點，使，連接，先證明（ASA），據(jù)此解得，即，再證明，解得，設，則，過點作于點，交于點，連接，，由勾股定理解得的值，繼而解得的值，在中，利用勾股定理解得的值，最后根據(jù)菱形的面積公式解題【解析】解：（1）連接，∵四邊形為菱形，∴，，∵，，∴∴∴，；（2）∵四邊形為菱形，∴平分∴∵，∴在中，，∴又∵，∴∵為等邊三角形，，∴∴∴（SAS）∴；（3）在上取點，使，連接，∵四邊形為菱形，∴，∴又∵，∴∴，∵，∴∴∴∴（ASA）∴，∴，即∵，，∴∴，∴∴，∵，設，則過點作于點，交于點，連接，∴在中，.∴，∴在中，∴∵垂直平分，∴，又由（2）得，∴，又∵，∴∵，∴∴∴∴在中，∴在中，∴，易解得在中，解得：∴易求得∴菱形的面積為：.【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.14．（1）45°；（2）①45°；②；見解析；（3）9【分析】（1）由題意可證△PCD是等邊三角形，可得∠PCD＝60°＝∠DPC，由正方形的性質(zhì)可得BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；（2）①設，∠PCD=2α，由，可得，平分，得到，知道，可得，即，即可求解；②如圖2，連接DE，過點C作CF⊥CE交BP于點F，由“SAS”可證△BCF≌△DCE，△DCE≌△PCE，可得BF＝DE，∠BFC＝∠DEC＝135°，DE＝EP，由線段的和差關(guān)系可求解；（3）如圖3，過點C作CE平分∠DCP，交BP于E，連接DE，過點C作CF⊥CE，交BP于F，CH⊥BP于H，由（2）可知，DE＝EP＝BF，△CEF是等腰直角三角形，由面積的和差關(guān)系可求解．【解析】（1）解：（1）∵CP＝CD＝PD，∴△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝60°＝∠DPC，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，∴∠BCP＝150°，∴∠CPB＝15°，∴∠BPD＝45°，故答案為：45°；（2）①設，∠PCD=2α，，平分．即，即②連，作交于F，則為等腰直角三角形,,,,,,，為公共邊,,；（3）如圖3，過點C作CE平分∠DCP，交BP于E，連接DE，過點C作CF⊥CE，交BP于F，CH⊥BP于H，由（2）可知：DE＝EP＝BF，△CEF是等腰直角三角形，∵CH⊥BP，∴CH＝EF，∵四邊形PCBD的面積＝S△BDP+S△BCP，∴四邊形PCBD的面積＝×6×DE+×6×CH＝3DE+3×（6﹣2DE）＝9，故答案為9．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）欲證明PE=PF，只要證明∠PEF=∠PFE．（2）連接AC交EF于O，連接PM，PO．首先證明P，M，O共線，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決問題即可．（3）如圖3中，由題意，點E由點A移動到AD中點的過程中，點G運動的路徑是圖中弧BC，結(jié)合圓心角的度數(shù)計算即可．【解析】解：（1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，由翻折變換可知，∠DEF=∠PEF，∴∠PEF=∠PFE，∴PE=PF．（2）證明：如圖2中，連接AC交EF于O，連接PM，PO．∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，∵AE=CF，∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，∵PE=PF，∴PO平分∠EPF，∵PE=PF，AD=BC，AE=FC，∴ED=BF，由折疊的性質(zhì)可知ED=EH，所以BF=EH，∴PE-EH=PF-BF，∴PB=PH，∵∠PHM=∠PBM=90°，PM=PM，∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），∴PM平分∠EPF，∴P，M，O共線，∵PO⊥EF，OE=OF，∴點M在線段EF的垂直平分線上．（3）如圖3中，由題意，點E由點A移動到AD中點的過程中，點G運動的路徑是圖中弧BC．∵AB=CD=5，∴BC=CD=，∴BD=，.∴∠CBD=30°，∴∠ABO=∠OAB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠BOC=120°，OB=OC=5，∴點G運動的路徑的長為=．【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．16．（1），證明見解析；（2）；理由見解析；（3）【分析】（1）先證明四邊形FPEA為平行四邊形，得到PF=AE，PE=AF，再證明∠EPB=∠B，得到BF=FP，進而通過線段的和與等量代換可得到結(jié)論；（2）先證明四邊形FPEA為平行四邊形，得到PF=AE，PE=AF，再證明∠EDC=∠C，得到ED=EC，進而通過線段的和與等量代換和可得到結(jié)論；（3）先證明四邊形FPEA為平行四邊形，得到