2024屆河南省八市學評數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆河南省八市學評數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”假設(shè)內(nèi)容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1個不能被5整除2．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.且3．橢圓：的左焦點為，橢圓上的點與關(guān)于坐標原點對稱，則的值是（）A.3 B.4C.6 D.84．已知中，內(nèi)角所對的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.5．若數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.6．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.87．設(shè)點關(guān)于坐標原點的對稱點是B，則等于（）A.4 B.C. D.28．若正實數(shù)、滿足，且不等式有解，則實數(shù)取值范圍是（）A.或 B.或C. D.9．經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.10．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或11．數(shù)列中前項和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足：且，則此數(shù)列的前20項的和為（）A.621 B.622C.1133 D.1134二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是_________.14．已知，，，，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________.15．已知△ABC的周長為20，且頂點，則頂點A的軌跡方程是______16．已知、雙曲線的左、右焦點，A、B為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在一個盒子中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為，將球放回盒子中，然后再從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）求“”的概率.18．（12分）已知雙曲線的左焦點為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點，，當直線經(jīng)過的右焦點且垂直于軸時，.（1）求的方程；（2）是否存在軸上的定點，使得直線過點時，恒有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線(t為參數(shù)).以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)點的直角坐標為，直線與曲線的交點為，求的值.20．（12分）已知正三棱柱底面邊長為，是上一點，是以為直角頂點的等腰直角三角形（1）證明：是中點；（2）求點到平面的距離21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：22．（10分）求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經(jīng)過點，；（2）長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設(shè)其否定成立進行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考點：反證法2、A【解題分析】根據(jù)雙曲線定義，且焦點在y軸上，則可直接列出相關(guān)不等式.【題目詳解】若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：3、D【解題分析】令橢圓C的右焦點，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計算作答.【題目詳解】令橢圓C的右焦點，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長半軸長，所以.故選：D4、B【解題分析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【題目詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.5、C【解題分析】利用前項積與通項的關(guān)系可求得結(jié)果.【題目詳解】由已知可得.故選：C.6、C【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求數(shù)列的公差.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.7、A【解題分析】求出點關(guān)于坐標原點的對稱點是B，再利用兩點之間的距離即可求得結(jié)果.【題目詳解】點關(guān)于坐標原點的對稱點是故選：A8、A【解題分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【題目詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，即，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，即的最小值為，因為不等式有解，則，即，即，解得或.故選：A.II卷9、A【解題分析】根據(jù)點斜式求得正確答案.【題目詳解】直線的斜率為，經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A10、D【解題分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【題目詳解】由圓可得圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.11、B【解題分析】由已知求得，再根據(jù)當時，，，可求得范圍.【題目詳解】解：因為，則，兩式相減得，因為是遞增數(shù)列，所以當時，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.12、C【解題分析】這個數(shù)列的奇數(shù)項是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項是公比為2的等比數(shù)列，只要分開來計算即可.【題目詳解】由于，所以當n為奇數(shù)時，是等差數(shù)列，即：共10項，和為；，共10項，其和為；∴該數(shù)列前20項的和；故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解題分析】畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【題目詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，平移基準直線到點時，取得最大值為.故答案為：14、【解題分析】由題可得，求導可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得.【題目詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實數(shù)的取值范圍是故答案為：.15、.【解題分析】由周長確定，故軌跡是橢圓，注意焦點位置和摳除不符合條件的點即可.【題目詳解】解：，所以，，則頂點A的軌跡方程是.故答案為：.【題目點撥】考查橢圓定義的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.16、【解題分析】可得四邊形為矩形，運用三角函數(shù)的定義可得，，由雙曲線的定義和矩形的性質(zhì)，可得，由離心率公式求解即可.【題目詳解】、為雙曲線的左、右焦點，可得四邊形為矩形，在中，，∴，在中，，可得，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：.【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：得出四邊形為矩形，利用雙曲線的定義解決焦點三角形問題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】（1）利用列舉法列出試驗的樣本空間，（2）由（1）可知共有16種情況，其中和為5的有4種，然后利用古典概型的概率公式求解即可【小問1詳解】由題意可知試驗的樣本空間為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）【小問2詳解】由（1）可知共有16種等可能情況，其中滿足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4種，所以“”的概率為18、（1）；（2）存在，理由見解析.【解題分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，解得，則橢圓方程得解；（2）假設(shè)存在點滿足題意，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理以及，即可求解.【小問1詳解】雙曲線的左焦點，其中一條漸近線，則；對雙曲線，令，解得，則，解得，故雙曲線方程為：.小問2詳解】根據(jù)（1）中所求可知，假設(shè)存在軸上的點滿足題意，若直線的斜率不為零，則設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得，則，即，此時直線與雙曲線交于兩點，則，則，即，即，則，此時滿足題意；若直線的斜率為零，且過點，此時，滿足題意.綜上所述，存在軸上的一點滿足.【題目點撥】本題考察雙曲線方程的求解，以及雙曲線中存在某點滿足條件的問題；解決問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，利用韋達定理進行求解，屬綜合中檔題.19、（1）；（2）3.【解題分析】（1）把展開得，兩邊同乘得,再代極坐標公式得曲線的直角坐標方程.（2）將代入曲線C的直角坐標方程得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義和韋達定理求解.【題目詳解】（1）把展開得，兩邊同乘得①將代入①，即得曲線的直角坐標方程為②（2）將代入②式，得，點M的直角坐標為（0，3），設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根分別為t1，t2，則∴t1＜0，t2＜0則由參數(shù)t的幾何意義即得.【題目點撥】本題主要考查極坐標和直角坐標的互化、直線參數(shù)方程t的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）證明出平面，可得出，再利用等腰三角形的幾何性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）計算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】證明：在正三棱柱，平面，平面，則，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，，則平面，平面，所以，，因為為等邊三角形，故點為的中點.【小問2詳解】解：因為是邊長為的等邊三角形，則，平面，平面，則，即，所以，，，，設(shè)點到平面的距離為，，，解得.因此，點到平面距離為.21、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）利用和項可求得的通項公式，注意別漏了說明；（2）先用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，從而可知【題目詳解】（1）,①當時，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【題目點撥】本題主要考查給出的一個關(guān)系式求數(shù)列的通項公式以及用錯位相減法求