2024屆山西省運(yùn)城市芮城縣三校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆山西省運(yùn)城市芮城縣三校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，橢圓C上有一點(diǎn)P，則的周長(zhǎng)為（）A.8 B.10C. D.122．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.93．過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（）A.10 B.12C.14 D.164．邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，、分別為、的中點(diǎn)，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.6．若，在直線l上，則直線l一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.7．是首項(xiàng)和公差均為3的等差數(shù)列，如果，則n等于（）A.671 B.672C.673 D.6748．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.9．已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.11．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.12．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，圖①是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成；圖③是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成；圖④是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成.若幾何體能夠穿過(guò)直徑為的圓，則該幾何體的展開(kāi)圖可以是______（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）.14．已知雙曲線兩焦點(diǎn)之間的距離為4，則雙曲線的漸近線方程是___________.15．總書(shū)記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛(ài)好者的探究欲望．如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角中，第10行第8個(gè)數(shù)是______16．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）雙曲線的離心率為，虛軸的長(zhǎng)為4.（1）求的值及雙曲線的漸近線方程；（2）直線與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值與極小值；（2）若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.21．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點(diǎn)O，點(diǎn)P在棱SD上，且△SAC的面積為1（1）若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，求證：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一點(diǎn)P使得二面角P?AC?D的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由22．（10分）已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-m.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有最小值g(m)，證明：g(m)在上恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)橢圓的定義可得：，所以的周長(zhǎng)等于【題目詳解】因?yàn)?，，所以，故的周長(zhǎng)為故選：B2、D【解題分析】先求得，然后求得.【題目詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.故選：D3、B【解題分析】設(shè)出l1的方程為，與拋物線聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，用弦長(zhǎng)公式表達(dá)出，同理表達(dá)出，利用基本不等式求出的最小值.【題目詳解】拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F為，直線l1的方程為，則聯(lián)立后得到，設(shè)，，，則，同理設(shè)可得：，因?yàn)閨k1·k2|=2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，故選：B4、B【解題分析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求的大小即可解決.【題目詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，又，則故選：B5、B【解題分析】畫(huà)出圖形，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解，關(guān)系，利用，解得，即可得到雙曲線的方程【題目詳解】由題意雙曲線的圖形如圖，連接與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，則，因?yàn)辄c(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，，由勾股定理可得：，即，解得，則，所以雙曲線的方程為：故選：B6、C【解題分析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【題目詳解】因?yàn)?，在直線l上，所以直線l的一個(gè)方向向量為.故選：C.7、D【解題分析】根據(jù)題意，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，令，解得.故選：D8、D【解題分析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【題目詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.9、D【解題分析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷【題目詳解】若，，也可以有，A錯(cuò)；若，，也可以有，B錯(cuò)；若，，則或，C錯(cuò)；若，，則，這是線面垂直的判定定理之一，D正確故選：D10、A【解題分析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【題目詳解】，，，，，解得：.故選：A.11、A【解題分析】由得，為邊的中點(diǎn)得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項(xiàng)；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項(xiàng)；代入可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)可判斷D選項(xiàng).【題目詳解】由得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以，由得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為的中點(diǎn)，與重合，即，，故D錯(cuò)誤.故選：A.12、B【解題分析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【題目詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解題分析】根據(jù)幾何體展開(kāi)圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【題目詳解】①由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正四面體，該正四面體可放入一個(gè)正方體中，且正方體的棱長(zhǎng)為，該正四面體的外接球半徑為，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正四棱錐，如下圖所示：設(shè)，連接，則為、的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點(diǎn)為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正八面體，該正八面體可由兩個(gè)共底面，且棱長(zhǎng)均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正方體，其外接球半徑為，不滿足要求；故答案為：①.14、.【解題分析】根據(jù)條件求出c，進(jìn)而根據(jù)求出a，最后寫(xiě)出漸近線方程.【題目詳解】因?yàn)殡p曲線兩焦點(diǎn)之間的距離為4，所以，解得，所以，，雙曲線的漸近線方程是.故答案為：.15、120【解題分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式系數(shù)的相關(guān)知識(shí)即可求解.【題目詳解】因?yàn)?，二?xiàng)式展開(kāi)式第項(xiàng)的系數(shù)為，所以，第10行第8個(gè)數(shù)是.故答案為：12016、【解題分析】求導(dǎo)，根據(jù)可得答案.【題目詳解】由題意，可得，令，即，解得，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.詳解】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）可得，即.利用累加法得【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.18、（1），，雙曲線的漸近線方程為和；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式，結(jié)合虛軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用方程解的個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以有ca而該雙曲線的虛軸的長(zhǎng)為4，所以，所以，因此雙曲線的浙近線方程為：y=±x?x-y=0或；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，與直線聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，所以有：且，所以的取值范圍為：.19、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）求得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)即可判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋士傻?，令，可得或；?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.則的最小值；又，當(dāng)時(shí)，的最大值，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，的最大值，此時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以；所以的取值范圍為.20、（1）的極大值為0,的極小值為（2）2【解題分析】（1）先求導(dǎo)可得，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求解；（2）由（1）可得在上的最小值為，由，，可得的最大值為，進(jìn)而根據(jù)求解即可.【題目詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，則或，則當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以極大值為；的極小值為.（2）由題,，由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值即為的極小值；因?yàn)?,所以，因?yàn)?，則，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值,考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值,考查運(yùn)算能力.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)【解題分析】（1）由的面積為1，得到，，由，點(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面PAC，再由面面垂直的判斷定理可得答案；（2）存在，分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P，設(shè)，求出平面PAC、平面ACD的一個(gè)法向量，由二面角的向量法可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)S在底面ABCD上的射影為O，所以平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，又因?yàn)榈拿娣e為1，所以，，所以，因?yàn)?，點(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，因?yàn)?，AP，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小問(wèn)2詳解】存在，連接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得兩兩垂直，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P使二面角的余弦值為，設(shè)，，，所以，，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)椋?，所以，令，得，，因?yàn)槠矫鍭CD的一個(gè)法向量為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以存在P點(diǎn)符合題意，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)22