2023學年完整公開課版角平分線

13.5.3角平分線（一）知識回顧1、角平分線的概念一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.oBCA12符號語言：∵射線OC是∠AOB的角平分線∴∠1=∠2（一）知識回顧2、點到直線距離:從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離.OPAB垂線段PO的長度

在紙上任意畫一個∠BAC，把它沿經(jīng)過點A的某條直線對折，使角的兩邊AB與AC重合，然后把紙展開后鋪平，記折痕為

AD.你發(fā)現(xiàn)∠BAC是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？

CBAD活動一：結論：角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.探究角的軸對稱性（二）探究新知

請同學們用尺規(guī)做出一個任意角的角平分線，在角平分線上任意取一點P，過點P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分別是點M，N，用圓規(guī)比較PM與PN的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？說明你的理由.結論：角平分線上的點，到這個角的兩邊的距離相等.探索角平分線的第一個性質(zhì)（二）探究新知活動二：CBMAPND已知：AD是∠BAC的角平分線點P是AD上任意一點，PM⊥ABPN⊥AC求證：PM=PNCBMAPND12證明：∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2

∵PM⊥ABPN⊥AC∴∠AMP=∠ANP=90o

在△AMP與△ANP中

∵∠1=∠2∠AMP=∠ANPAP=AP∴△AMP≌△ANP（AAS）∴PM=PN角平分線的性質(zhì)1角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.CBMAPND應用所具備的條件：

（1）AD為角的平分線；

（2）點P在該平分線上；

（3）PM⊥ABPN⊥AC作用：判斷線段相等的依據(jù).符號語言：∵AD平分∠BAC

PM⊥ABPN⊥AC∴PM=PN判斷正誤，并說明理由：1.如圖，P是∠AOB的平分線OC上的一點，D、E分別在OA、OB上，則PD=PE()2.如圖，P在射線OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，則

PE=PF.()3.如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點P，若P到OA

的距離為3cm，則P到OB的距離邊為3cm.()測試一:（1題）（2題）（3題）×√×

反過來，角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？思考B結論：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.自學探究三：證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴點Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．角平分線的性質(zhì)2角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.應用所具備的條件：

（1）點P在∠BAC的內(nèi)部；

（2）PM⊥ABPN⊥AC；

（3）PM=PN作用：判斷點是否在角平分線上的依據(jù).符號語言：∵PM⊥ABPN⊥ACPM=PN∴點P在∠BAC的角平分線上∴∠1=∠2CBMAPND12所以：

角的平分線可以看作是

的集合

在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的所有點1、如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等ABCPMNDEF證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∵BM為△ABC的角平分線∴PD=PE

同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等用一用（1）走進生活1、如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處修建?想一想

在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?

課堂小結1、角是軸對稱圖形,角的平分線所在的直線是它的對稱軸.2、角平分線上的點，到這個角的兩邊的距離相等.3、角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.（四）達標測試1.∠AOB的平分線上一點M，M到OA的距離為1.5㎝，則M到OB的距離為

㎝。3.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足為A，PA=2.Q是邊OM上的一個動點,則線段PQ的最小值（）

A．1B.2C.3D.42.如圖，在△ABC中，∠C=90°，

DE⊥AB，∠1=∠2，且

AC=6cm，那么線段BE是∠ABC

的

，AE+DE=

。1.5角平分線6cmB4.如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥O