2024屆云南省石林彝族自治縣民族中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆云南省石林彝族自治縣民族中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．二項式的展開式中，各項二項式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.322．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和3．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.144．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓5．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.6．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.27．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與8．中國明代商人程大位對文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》．這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書A.76石 B.77石C.78石 D.79石9．函數(shù)在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.10．用1，2，3，4這4個數(shù)字可寫出（）個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.6411．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.812．已知半徑為2的圓經(jīng)過點（5，12），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.14．在公差不為0的等差數(shù)列中，為其前n項和，若，則正整數(shù)______15．關(guān)于曲線，給出下列三個結(jié)論：①曲線關(guān)于原點對稱，但不關(guān)于軸、軸對稱；②曲線恰好經(jīng)過4個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；③曲線上任意一點到原點的距離都不大于.其中，正確結(jié)論的序號是________.16．阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓經(jīng)過點，則當(dāng)取得最大值時，橢圓的面積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)與在x=1處的切線平行，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值20．（12分）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當(dāng)m=0時，求曲線在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)m的值.21．（12分）已知橢圓過點，且離心率，為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.22．（10分）某學(xué)校高一、高二、高三的三個年級學(xué)生人數(shù)如下表，按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學(xué)生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經(jīng)檢測她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5分的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】根據(jù)給定條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)直接計算作答.【題目詳解】二項式的展開式的各項二項式系數(shù)的和是.故選：D2、C【解題分析】求導(dǎo)后，由可解得結(jié)果.【題目詳解】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，即可得.【題目詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.4、C【解題分析】根據(jù)兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【題目詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：5、B【解題分析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【題目詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)；故時，，∴；故選：B.6、B【解題分析】由向量平行，先求出的值，再由模長公式求解模長.【題目詳解】由，則，即則，所以則故選：B7、C【解題分析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法進行求解即可.【題目詳解】因為，所以，所以，，故選：C8、C【解題分析】設(shè)出未知數(shù)，列出方程組，求出答案.【題目詳解】設(shè)甲、乙、丙分得的米數(shù)為x+d，x，x-d，則，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故選：C9、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)在處有極值為，由，求解.【題目詳解】因為函數(shù)，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B10、A【解題分析】由題意，從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列即可.【題目詳解】由題意，從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列，共可寫出個三位數(shù).故選：A11、D【解題分析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【題目詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.12、B【解題分析】由條件可得圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【題目詳解】因為半徑為2的圓經(jīng)過點（5，12），所以圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,求出a的最小值.【題目詳解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因為“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案為:3.【題目點撥】本題考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.14、13【解題分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項公式、前n項和公式及可求k.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.15、①③【解題分析】設(shè)為曲線上任意一點，判斷、、是否滿足曲線方程即可判斷①；求出曲線過的整點即可判斷②；由條件利用即可得，即可判斷③；即可得解.【題目詳解】設(shè)為曲線上任意一點，則，設(shè)點關(guān)于原點、軸、軸的對稱點分別為、、，因為；；；所以點在曲線上，點、點不在曲線上，所以曲線關(guān)于原點對稱，但不關(guān)于軸、軸對稱，故①正確；當(dāng)時，；當(dāng)，.此外，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故曲線過整點，，，，，，故②錯誤；又，所以恒成立，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以曲線上任一點到原點的距離，故③正確.故答案為：①③.【題目點撥】本題考查了與曲線方程有關(guān)的命題真假判斷，屬于中檔題.16、【解題分析】利用基本不等式得出取得最大值時的條件結(jié)合可知，再利用點在橢圓方程上，故可求得、的值,進而求出橢圓的面積.詳解】由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，由可知，∵橢圓經(jīng)過點，∴，解得，，則橢圓的面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線平行求出a，即可求出切線方程；（2）先把已知條件轉(zhuǎn)化為，令,，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切線方程是:，即；（2）當(dāng)時，恒成立等價于,令,.則，令，解得：；令，解得：；所以在上單減，在上單增，所以,所以.即實數(shù)a的取值范圍為.18、（1）（2），，【解題分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，進而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面積.【小問1詳解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小問2詳解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，，所以平面PBD因為平面PBD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點O，連接PO，因為，所以，因為平面，平面底面，平面底面，所以底面,以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以，因為是平面的一個法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為20、（1）（2）【解題分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進而求出切線方程；（2）對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合隱零點求出其最小值，列出方程，求出實數(shù)m的值.【小問1詳解】當(dāng)時，因為，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因為，令，因為，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)實數(shù)時，，；當(dāng)實數(shù)時，，；當(dāng)實數(shù)時，，所以總存在一個，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，令，因為，所以單調(diào)遞減，又，所以時，所以，即.21、（1）；（2）存在，方程為和.【解題分析】（1）根據(jù)橢圓上的點、離心率和關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達(dá)定理中可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得，進而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設(shè)，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.22、（1）400（2）（3）【解題分析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，列出關(guān)系式計算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數(shù)，進而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據(jù)古典概型的概率公式計算即可；（3）求出樣本平均數(shù)，進而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的數(shù)，從而利于古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】設(shè)該?？?cè)藬?shù)為n人，由題意得，所以