2024屆上海市比樂中學高二數(shù)學第一學期期末調研試題含解析

2024屆上海市比樂中學高二數(shù)學第一學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某校初一有500名學生，為了培養(yǎng)學生良好的閱讀習慣，學校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選《三國演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢》，若采用分層抽樣的方法隨機抽取40名學生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學生抽取的人數(shù)為（）A.5 B.10C.12 D.152．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或3．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A B.C. D.5．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.6．復數(shù)，且z在復平面內對應的點在第二象限，則實數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.07．若存在過點（0，－2）的直線與曲線和曲線都相切，則實數(shù)a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－28．已知事件A，B相互獨立，，則（）A.0.24 B.0.8C.0.3 D.0.169．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.1210．已知數(shù)列的通項公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.1811．直線的傾斜角是（）A. B.C. D.12．若（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.14．已知橢圓的右頂點為，直線與橢圓交于兩點，若，則橢圓的離心率為___________.15．已知平面向量均為非零向量，且滿足，記向量在向量上投影向量為，則k=______．(用數(shù)字作答)16．已知數(shù)列滿足：，，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.18．（12分）在2016珠海航展志愿服務開始前，團珠海市委調查了北京師范大學珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務禮儀培訓和賽會應急救援培訓的情況，數(shù)據(jù)如下表：單位：人參加志愿服務禮儀培訓未參加志愿服務禮儀培訓參加賽會應急救援培訓88未參加賽會應急救援培訓430（1）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個培訓的概率；（2）在既參加志愿服務禮儀培訓又參加賽會應急救援培訓的8名同學中，有5名男同學A，A，A，A，A名女同學B，B，B現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A被選中且B未被選中的概率.19．（12分）已知函數(shù)（1）解關于的不等式；（2）若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當時，求證：；（2）當平面平面時，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值21．（12分）已知拋物線E：過點Q(1，2)，F(xiàn)為其焦點，過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A，B兩點，動點P滿足△PAB的垂心為原點O.（1）求拋物線E的方程；（2）求證：動點P在定直線m上，并求的最小值.22．（10分）設：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.【題目詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學生抽取的人數(shù)為故選：B.2、D【解題分析】根據(jù)斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設直線方程，由圓心到直線距離等于半徑求解【題目詳解】圓心為，半徑為2，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設直線方程為，即，由，得，直線方程為，即故選：D3、B【解題分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.【題目詳解】.故選：B.4、D【解題分析】根據(jù)導函數(shù)大于，原函數(shù)單調遞增；導函數(shù)小于，原函數(shù)單調遞減；即可得出正確答案.【題目詳解】由導函數(shù)得圖象可得：時，，所以在單調遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.5、B【解題分析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關系.【題目詳解】如圖：依題意，假設斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點坐標為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.6、B【解題分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【題目詳解】解：當z在復平面內對應的點在第二象限時，則有，可得，結合選項可知，B正確故選：B7、A【解題分析】在兩曲線上設切點，得到切線，又因為（0，－2）在兩條切線上,列方程即可.【題目詳解】的導函數(shù)為，的導函數(shù)為，若直線與和的切點分別為（，），，∴過（0，－2）的直線為、，則有，可得故選：A.8、B【解題分析】利用事件獨立性的概率乘法公式及條件概率公式進行求解.【題目詳解】因為事件A，B相互獨立，所以，所以故選：B9、B【解題分析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后求解其表面積即可.【題目詳解】由題意知，該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B10、D【解題分析】利用給定的通項公式直接計算即得.【題目詳解】因數(shù)列的通項公式為，則有，所以.故選：D11、A【解題分析】將直線方程化為斜截式，由此確定斜率；根據(jù)斜率和傾斜角關系可得結果.【題目詳解】設直線的傾斜角為，則，由得：，則斜率，.故選：A.12、A【解題分析】根據(jù)復數(shù)運算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可求解.【題目詳解】，z對應的點在第一象限.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.5②.【解題分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結果.【題目詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【題目點撥】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結構，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結構，利用分組求和法；（4）對于結構，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.解答題14、【解題分析】求出右頂點坐標，然后推出的縱坐標，利用已知條件列出方程，求解橢圓的離心率即可【題目詳解】解：橢圓的右頂點為，直線與橢圓交于，兩點，若，可知，不妨設在第一象限，所以的縱坐標為：，可得：，即，可得，，所以故答案為：15、##1.5【解題分析】由兩邊平方可得，，，設，向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，，由余弦定理可得，向量在向量上投影向量為，化簡可得答案.【題目詳解】因為，所以，，兩邊平方整理得，，兩邊平方整理得，即，可得，，設，所以向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，如圖，即，因為，，平行四邊形即為的菱形，所以，由余弦定理可得，可得，，向量在向量上投影向量為，即.故答案為：.16、【解題分析】令n=n-1代回原式，相減可得，利用累乘法，即可得答案.【題目詳解】因為，所以，兩式相減可得，整理得，所以，整理得，又，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，周長為考點：正余弦定理解三角形.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)知未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，列出其一切可能的結果，從而求得被選中且未被選中的概率.【題目詳解】解：由調查數(shù)據(jù)可知，既未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個培訓的概率為；從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：，，，共15個，根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共2個，被選中且未被選中的概率為.19、（1）當時，或；當時，；當時，或（2）【解題分析】（1）由題意得對的值進行分類討論可得不等式的解集；（2）將條件轉化為，，再利用基本不等式求最值可得的取值范圍；【小問1詳解】，即，所以，所以，①當時不等式的解為或，②當時不等式的解為，③當時不等式的解為或，綜上：原不等式的解集為當時或，當時，當時或【小問2詳解】不等式在上有解，即在上有解，所以在上有解，所以，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以.20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）取的中點E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質即可得證；（2）取的中點M，連接，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】解：取的中點E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】解：取的中點M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，由，，有，取，可得，設平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為21、（1）；（2）證明見解析，的最小值為.【解題分析】（1）將點的坐標代入拋物線方程，由此求得的值，進而求得拋物線的方程.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，寫出韋達定理，設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程求得的坐標，由此判斷出動點在定直線上.求得的表達式，利用基本不等式求得其最小值.【題目詳解】（1）將點坐標代入拋物線方程得，所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，所以，設直線的方程為，設，由消去得，所以.由于為三角形的垂心，所以，所以直線的方程為，即.同理可求得直線的方程為.由，結合，解得，所以在定直線上.直線的方程為，到直線的距離為，到直線的距離為.所以，當