初中數(shù)學(xué)滬科版八年級上冊軸對稱圖形與等腰三角形15．4角的平分線同課異構(gòu)

中物理滬科版數(shù)學(xué)八年級上冊第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.4.3角平分線的判定

點到角兩邊垂線段的長度知識回顧PBAＯCD角平分線的性質(zhì)：定理：到角兩邊角平分線上的點的距離相等.特別提醒：①點一定要在角平分線上②點到角兩邊的距離性質(zhì)定理的作用：

可用來證明兩條線段相等.是指幾何語言：∵OP是∠AOB的平分線，∴PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)且PC⊥OA，PD⊥OB推理的理由有三個，必須寫完整，不能少了任何一個.逆命題它是真命題嗎？你能證明嗎？創(chuàng)設(shè)情境角平分線的性質(zhì)：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上定理：到角兩邊角平分線上的點的距離相等.求證：點P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP∴

點P在∠AOB角的平分線上在Rt△PCO和Rt△PDO中（全等三角形的對應(yīng)角相等）OP=OPPC=PD∵

PC⊥OA，PD⊥OB∴∠PCO=∠PDO=90°∴Rt△PCO≌Rt△PDO∴

∠AOP=∠BOP證明命題角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上PBAＯCD已知：如圖，點P在∠AOB的內(nèi)部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是D、E，（公共邊）（已知）(HL)（角平分線的定義）PC=PD.∵判定定理：特別提醒：(1)位置關(guān)系：(2)數(shù)量關(guān)系：判定定理的作用：幾何語言：∵PC⊥OA，∴

點P在∠AOB的平分線上知識總結(jié)角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上點在角的內(nèi)部；該點到角兩邊的距離相等.判斷點是否在角平分線上.(或OP平分∠AOP)PBAＯCD(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)PD⊥OB，且PC=PD.1、如圖，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE相交于點D，BE＝CF.求證：AD平分∠BAC.鞏固練習(xí)∴

AD平分∠BAC證明：∵

BF⊥AC，CE⊥AB∴∠BED＝∠CFD＝90°在△BED和△CFD中∠BDE=∠CDF∠BED＝∠CFDBE=CF∵∴

△BED≌△CFD∴

DE＝DF又∵

DF⊥AC，DE⊥AB(AAS)(垂直的定義)(對頂角相等)(已證)(已知)(全等三角形的對應(yīng)邊相等)(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)

設(shè)集貿(mào)市場距交點O為xm，

2、如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）DCS作夾角的角平分線OC，0.025m＝2.5cmx500120000=解得x＝0.025根據(jù)題意得

在角平分線上截取OD=2.5cm，O則D點即為所求點.解：ABCPEF3、已知：如圖：△ABC中，∠B和∠C的角平分線相交于點P求證：AP平分∠BAC遇到角的平分線如何作輔助線：見角平分線就向角兩邊作垂線.ABCPEF3、已知：如圖：△ABC中，∠B和∠C的角平分線相交于點P∵點P在∠ABC的平分線上，求證：AP平分∠BAC證明：∴

PQ=PM∴

PN=PQ∴

PN=PM∴AP平分∠BACNMQ垂足分別為M，N，Q.過點P分別作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB,∵點P在∠ACB的平分線上，PM⊥BC且PQ⊥AB，(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)(等量代換)且PN⊥AC，PM⊥BC又∵

PN⊥AC，PQ⊥ABABCPEF3、已知：如圖：△ABC中，∠B和∠C的角平分線相交于點P求證：AP平分∠BACNMQ三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點，

這點到三角形三邊的距離相等.規(guī)律：4、利用結(jié)論，解決問題想一想：如圖，為了促進當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?ABC5、如圖，已知三角形的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．證明：垂足分別為G，H，M.∴FG＝FM∴

FM＝FH∴FG＝FH∴點F在∠DAE的平分線上.

過點F分別作FG⊥AE，F(xiàn)H⊥AD，GHMABCFEDFM⊥BC，∵點F在∠BCE的平分線上，且FG⊥AE，F(xiàn)M⊥BC(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)又∵點F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)M⊥BC且FH⊥AD，

(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)(等量代換)又∵

FG⊥AE，F(xiàn)H⊥AD(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)5、如圖，已知三角形的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．三角形兩外角平分線的交點GHMABCFED規(guī)律：到三邊的距離相等6、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處C.三處D.四處D比一比圖形已知條件結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)ABCEFD7、如圖，△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，且BE＝CF.求證：AD是△ABC的角平分線.證明：∵

D是BC的中點∴

BD＝CD在Rt△BED和Rt△CFD中BD=CDBE=CF∵(中點的定義)(已證)(已知)又∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠EBD=∠CFD=90°∴

AD平分∠BAC∴△BED≌△CFD∴

DE＝DF又∵

DE⊥AB，DF⊥AC(HL)(全等三角形的對應(yīng)邊相等)(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)(垂直的定義)8、已知：如圖,在△ABC中，BD＝CD,∠1=∠2.求證：AD平分∠BACDEFABC12證明：垂足分別為E，F(xiàn).過點D分別作DF⊥AC，DE⊥AB，在△BED和△CFD中∠BDE=∠CDF∠1=∠2BD＝CD∵∴△BED≌△CFD∴

DE＝DF又∵

DE⊥AB，DF⊥AC(AAS)(全等三角形的對應(yīng)邊相等)則∠BDE=∠CDF=90°(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)∴

AD平分∠BACAOBP12EF9、已知PA=PB，∠1+∠2=180°,求證：OP平分∠AOB證明：垂足分別為E，F(xiàn).過點P分別作PF⊥OB，PE⊥OA，則∠PEA=∠PFB=90°∵

∠1+∠2=180°，

∠PBF+∠2=180°在△PEA和△PFB中∠PEA=∠PFB∠1=∠PBFPA=PB∵∴△PEA≌△PFB∴

PE＝PF又∵

PE⊥OA，PF⊥OB(AAS)(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴

OP平分∠AOB∴

∠1=∠PBF(同角的補角相等)(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)10、如圖,D,E,F分別是△ABC三邊上的點,CE=BF,△DCE和△DBF的面積相等,DH⊥AB于H,DG⊥AC于G.求證:AD平分∠BAC.∵DH⊥AB,證明：∴S△DBF=12BFS△DCH=12CE又∵△DCE和△DBF的面積相等，且CE=BF∴DG=DH又∵

DH⊥AB，DG⊥AC∴

AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)DG⊥AC×DG×DH11、如圖，O是三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，若OD=3，△ABC的周長為15，求S△ABC.ABCOFDE證明：垂足分別為E，F(xiàn)，過點O分別作DF⊥AC，OE⊥AB，連接AO.∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，且OD⊥BC∴OD=OE=OF∴S△ABC=S△ABO=12OE×ABOD×BC+12OF×AC+12=12OD×ABOD×BC+12OD×AC+12=12OD×(AB+BC+AC)又∵OD=3，△ABC的周長為15∴S△ABC=12×3×15=22.5+S△BOC+S△AOC∴OD=OE，OD=OF12、如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC.求證：AM平分∠DABDABCME如圖，C、D兩點在∠AOB的內(nèi)部.(1)那些點到點C、D的距離相等？請你把符合條件的點畫出來；(2)那些點到∠AOB兩邊的距離相等？請你把符合條件的點畫出來；(3)是否存在一點P,既有PC＝PD,又有點P到∠AOB的兩邊的距離相等？如果存在,請把符合條件的點畫出來.BAOOCD拓展練習(xí)本節(jié)課你有什么收獲？判定定理：特別提醒：(1)位置關(guān)系：(2)數(shù)量關(guān)系：判定定理的作用：幾何語言：∵PC⊥OA，∴

點P在∠AOB的平分線上知識總結(jié)角