第三章桿件的內(nèi)力

第三章桿件的內(nèi)力1第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四前兩章，將物體視為剛體，討論其平衡。事實上，總有變形發(fā)生，還可能破壞。本章討論的研究對象是變形體。屬于固體力學的范疇。不再接受剛體假設(shè)。以變形體為研究對象的固體力學研究基本方法,包括下述三個方面的研究：

1)力和平衡條件的研究。2)變形幾何協(xié)調(diào)條件的研究。3)力與變形之關(guān)系的研究。

研究主線變形固體的力學分析方法第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四物體內(nèi)部某一部分與相鄰部分間的相互作用力。必須截開物體，內(nèi)力才能顯示。內(nèi)力分布在截面上。向截面形心簡化，內(nèi)力一般可表示為六個，由平衡方程確定。

處于平衡狀態(tài)的物體，其任一部分也必然處于平衡狀態(tài)。1.內(nèi)力:沿C截面將物體截開，A部分在外力作用下能保持平衡，是因為受到B部分的約束。B限制了A部分物體在空間中相對于B的任何運動(截面有三個反力、三個反力偶)。MF1F2F3BAACFxMxFyFzMyMzF1F23.1內(nèi)力、截面法第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四最一般情況：ABabxyzx1CF截面內(nèi)力有六個分量。軸向拉壓—內(nèi)力為軸力。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。扭轉(zhuǎn)—內(nèi)力為扭矩。如各種傳動軸等。(軸)剪切—內(nèi)力為剪力。彎曲—內(nèi)力為彎矩。如橋梁、房梁、地板等。(梁)基本變形軸向拉壓彎曲扭轉(zhuǎn)MyFsyFNFszMzT返回主目錄剪切2.內(nèi)力分量扭轉(zhuǎn)第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四軸力FN

作用于截面法向。剪力FS

作用于截面切向。扭矩T作用于截面切向。彎矩M使物體發(fā)生彎曲。受拉伸FN順時針錯動FS上凹下凸MABabxyzx1CFMyFsyFNFszMzT取截面左端研究，截面在研究對象右端，則規(guī)定：內(nèi)力右截面正向左截面正向微段變形（正）內(nèi)力的符號規(guī)定右手螺旋T第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四3.截面法無論以截面左端或右端為研究對象，都應得到相同的截面內(nèi)力。因為，二部分上作用的內(nèi)力互為作用力與反作用力。適當?shù)姆栆?guī)定可保證其一致性。用假想截面將物體截開，并由平衡方程確定截面上內(nèi)力的方法。截面法求解內(nèi)力的步驟為：求約束反力截取研究對象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求解內(nèi)力，負號表示與假設(shè)反向注意：所討論的是變形體，故在截取研究對象之前，力和力偶都不可像討論剛體時那樣隨意移動。第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例作圖示拉壓桿的內(nèi)力分量。5kNFN1=5kN2）求各截面內(nèi)力(軸力)。截面法、平衡方程解：1）求約束反力。

FA=8+2-5=5kN5kN2kN8kNAFA5kN2kNFN2=3kN5kN2kN8kNFN3=-5kN第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例：具有縱向?qū)ΨQ面得懸臂梁受力如圖所示，外力均作用在該平面（xy平面）內(nèi)。試求m-m截面上的內(nèi)力分量。2）FS等于左側(cè)所有外力在同一坐標軸方向投影的代數(shù)和，正。1）Fn等于左側(cè)所有外力沿截面法線方向投影的代數(shù)和，正3）M等于左側(cè)所有外力對該截面同一坐標軸之矩的代數(shù)和，正.第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四3.2.1軸力圖5kNFN1=5kN5kN5kN3kNFN圖+-5kN2kN8kN5kN+向軸力圖的簡捷畫法：

取左端拉力方向為軸力圖參考正向，畫水平線；遇集中力作用則軸力相應增減；至右端回到零。5kN2kN8kNAFA5kN2kNFN2=3kN5kN2kN8kNFN3=-5kN3.2內(nèi)力方程和內(nèi)力圖第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例截面積為A的等直桿，單位體積重量為，求桿在自重作用下的內(nèi)力。解：考慮任一距O點為x的橫截面上的內(nèi)力，受力如圖。重力為W=Ax,由平衡方程得：軸力方程：FN=W=Ax繪出軸力圖，可見：A截面處內(nèi)力FN(=AL)最大。AOxLxOxWFN第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四研究對象：圓截面直桿受力特點：作用在垂直于軸線的不同平面內(nèi)的外力偶，且滿足平衡方程:

SMx=0變形特征：相對扭轉(zhuǎn)角fAB圓軸各橫截面將繞其軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。xyz0M0M變形前變形后fAB汽車轉(zhuǎn)向軸傳動軸1扭轉(zhuǎn)的概念與實例返回主目錄3.2.2軸的扭轉(zhuǎn)與扭矩圖第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四扭矩：T是橫截面上的內(nèi)力偶矩。內(nèi)力—由截面法求得。取左邊部分平衡由平衡方程：

M0M0假想切面外力偶

M0內(nèi)力偶

T2扭矩與扭矩圖返回主目錄第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四由平衡方程：

取右邊部分T和T是同一截面上的內(nèi)力，應當有相同的大小和正負。M0M0假想切面取左邊部分平衡外力偶

M0扭矩

T扭矩外力偶

平衡TM0第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負。負M0TM0T正第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四以平行于桿軸線的坐標x表示截面的位置，以垂直于x軸的坐標表示截面扭矩值，即得到扭矩圖。

2010畫扭矩圖：xoCABABCAB段：BC段：第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四5kN5kN3kNFN圖+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向簡捷畫法：2010ABC在左端取參考正向，按載荷大小畫水平線；遇集中載荷作用則內(nèi)力相應增減；至右端回到零。FN圖（軸力）按右手法確定+向xoCABT圖第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四試作扭矩圖2010T圖按右手法確定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010T圖按右手法確定+向ABCD20返回主目錄第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四截面法求內(nèi)力的步驟：求約束反力截取研究對象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求解內(nèi)力，負號表示與假設(shè)反向內(nèi)力右截面正向左截面正向微段變形（正）內(nèi)力的符號規(guī)定yx左上右下，F(xiàn)Q為正左順右逆，M為正xFSMMFS順時針錯動FS向上凹M用截面法作梁的內(nèi)力圖3梁的剪力圖和彎矩圖第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例求懸臂梁各截面內(nèi)力并作內(nèi)力圖。解：1）求約束力。畫受力圖。由平衡方程得：

FAx=0;FAy=F;MA=Fl2）求截面內(nèi)力。截面x處內(nèi)力按正向假設(shè)，在0x<l內(nèi)，有平衡方程：

SFy=FAy-FS=0

SMC(F)=MA+M-FAyx=0得到：FS=F；M=-F(l-x)xFSo+F剪力圖xMo_Fl彎矩圖ABlFMAFAyFAxcMFSFAyAxMA3)畫內(nèi)力圖。懸臂梁在固定端A處彎矩值最大。第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例：簡支梁受集中力F作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。解：（1）求得梁的支反力AC段的剪力和彎矩方程CB段的剪力和彎矩方程從圖看出，剪力值在集中力作用的C處有突然變化，其突變量等于集中力F的數(shù)值；而C處的彎矩值并沒有突然變化，但彎矩圖斜率在C處發(fā)生了突變，故最大彎矩值就發(fā)生在截面C。第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例：簡支梁在C處受一集中力偶Mo的作用，試作內(nèi)力圖。求得梁的支反力為AC段的剪力和彎矩方程CB段的剪力和彎矩方程任一截面的剪力值均為常量，故剪力圖是一條平行于軸x的直線圖；左右兩段的彎矩方程均為x的一次函數(shù)，故左右兩段的彎矩圖均為斜直線，但在集中力偶作用的截面C處發(fā)生突變其突變量就等于Mo。第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例：簡支梁承受集度為q的均布載荷，試列出內(nèi)力方程并作內(nèi)力圖。剪力圖為一斜直線；彎矩圖為一拋物線，在A、B兩截面的彎矩值均等于零，在梁跨度中點橫截面上有最大彎矩值。解：（1）求支反力（2）剪力和彎矩方程為：第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例：位于水平面內(nèi)的曲桿，AB與BC互成直角，A端固定，在自由端C處承受鉛垂力F作用。試作桿AB的內(nèi)力圖。解：(1)化簡,分析桿AB的內(nèi)力，可將F向截面B的形心簡化，簡化后的等效力系為作用于桿端B得集中力F和力偶矩為Fa的力偶.(2)內(nèi)力分量有剪力、彎矩和扭矩,由截面法求得第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例求外伸梁AB的內(nèi)力。解：1）求約束反力：受力如圖。截面法求內(nèi)力(取坐標如圖)0x<a:aaaA

B

3F

45yx0F

FAy

FAx

FB

有平衡方程：MA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0FB=F2Fx=FAx-FBsin45=0FAx=FFy=FAy+FBcos45-F-3F=0FAy=3FMFSxFFN0FN=0;FS=-F;M=-Fx第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例求外伸梁的內(nèi)力。ax<2a:

2a

x<3a:

2)截面法求內(nèi)力0x<a:FN=0;FS=-F;M=-FxaaaA

B

3F

45yx0F

3F

F

FB

MFSxFFN0MFSxFFN03FFMFSxFFN0

3FF3FFN=-F；FS=3F-F=2FM=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)FN=-F；FS=3F-F-3F=-FM=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)=F(3a-x)第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)力方程：截面法給出的描述內(nèi)力與截面位置關(guān)系。3)

畫內(nèi)力圖：內(nèi)力圖：按內(nèi)力方程繪出各截面內(nèi)力的圖。ax<2a:FN=-F；FS=2F

M=F(2x-3a)0x<a:FN=0;FS=-F;

M=-F

x

2ax<3a:FN=-F

；FS=-F

M=F(3a-x)3P

B45x0FFAxFAyFBAMFaFa+-x2F+-FS

-FFx-FNFx第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四作梁的內(nèi)力圖的一般步驟求約束反力截取研究對象受力圖列平衡方程求解內(nèi)力畫內(nèi)力圖靜力平衡方程載荷突變處分段。內(nèi)力按正向假設(shè)。矩心取截面形心。內(nèi)力方程圖形應封閉。aaaA

B

3F

45yx0F

FAy

FAx

FB

xF0MFSFN第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kNm，求梁的內(nèi)力。解：1）求約束反力：

MA(F)=12FE+M0-8F-2×4q=0FAy=49kN；FE=32kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0FEFx=FAx=0

Fy=FAy+FE-F-4q=0截面法求內(nèi)力AB段:0x1<4mx1FAy0qFy=FAy-qx1-FS1=0

FS1=49-9x1

M1FS1c22Mc(F)=M1+qx1/2-FAyx1=0

M1=49x1-4.5x1第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四例已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kNm，求梁的內(nèi)力。2)截面法求內(nèi)力BC段:4mx2<6mFy=FAy-4q-FS2=0FS2=13kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx2FAy0BqM2FS2cMc(F)=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0M2=13x2+72(kNm)CD段:6mx3<8mx3FAy0BqCM0M3FS3cDE段:8mx4<12mx4FAy0BqCM0FDM4FS4cFS3=13kN;M3=13x3+24(kNm)FS4=-32kN;M4=384-32x4(kNm)第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四取右邊部分如何?DE段:8mx4<12mBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx4FAy0BqCM0FDFS4=-FE=-32kNM4=FE(12-x4)=384-32x4DE段:8mx4<12mFS4=-32kN;M4=384-32x4(kNm)FEM4FS4c0x4M4FS4c內(nèi)力同樣要按正向假設(shè)!結(jié)果應當相同。可以用于驗算。第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE分段處的剪力彎矩值：x1=0:FSA=49；MA=0內(nèi)力方程:AB段:0x<4mFS1=49-9x1;M1=49x1-4.5x1BC段:4mx<6mFS2=13;M2=13x2+72FS3=13;M3=13x3+24FS4=-32;M4=384-32x42CD段:6mx<8mDE段:8mx<12mx4=8:FSD=-32；MD=128x2=4:FSB=13；MB=124x3=6:FSC=13；MC=150x36:MC102x48:FSD13注意：集中力(力偶)作用處左右二側(cè)FS(M)不同。第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFS/kNx-+491332+M/kNmBACDEx124128150剪力、彎矩圖：分段處的剪力彎矩值：x1=0:FSA=49；MA=0x4=8:FSD=-32；MD=128x2=4:FSB=13；MB=124x3=6:FSC=13；MC=102x36:MC150x48:FSD13注意：C、D處左右二側(cè)M、FS之差等于該處的集中力偶、集中力。還有什么一般規(guī)律？返回主目錄第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四一、剪力、彎矩與分布載荷間的關(guān)系考察承受分布載荷、長dx的微梁段的受力與平衡。假定q(x)向上為正，截面內(nèi)力FS、M均按正向假設(shè)。

BAFyxdxxq(x)FS+dFSM+dMdxcq(x)MFS平衡方程：SFy=FS+q(x)dx-(FS+dFS)=0

在x+dx截面上，F(xiàn)S、M均有相應的增量。SMC(F)=M+dM-M-FSdx-q(x)dx2/2=02利用平衡微分關(guān)系作梁的內(nèi)力圖返回主目錄第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四分布載荷集度、剪力和彎矩之間的關(guān)系整理并略去二階小量，得到：平衡方程：SFy=FS+q(x)dx-(FS+dFS)=0

SMC(F)=M+dM-M-FSdx-q(x)dx2/2=0q(x)dx=dFS(x)dM(x)=FS(x)dxdFS(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FS(x)梁的平衡微分方程：)()()(22xqdxxdFSdxxMd==第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四討論：q–FS-M關(guān)系:結(jié)論一：剪力延坐標x的變化率等于分布載荷集度，即FS圖中曲線上某點的斜率等于梁上對應截面處的載荷集度q。q=0，F(xiàn)S圖為水平線。結(jié)論二：彎矩M延坐標x的變化率等于剪力FS，即M圖曲線某點的斜率等于對應截面上的剪力。平衡微分方程qdxdFSdxMd==22BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFS/kNx-+491332+M/kNmBACDEx124128150第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四結(jié)論三：二截面間剪力的增量等于該段梁上分布載荷圖形的面積。結(jié)論四：二截面間的彎矩增量等于該段梁上剪力圖的面積。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFS/kNx-+491332+M/kNmBACDEx124128150平衡微分方程qdxdFSdxMd==22若梁段AB只有q作用的，則()dxxqFFBASASBò=-()dxxFMMBASABò=-FSBMBcq(x)MAFSA第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四

q

q=0q=const.>0q=const.<0FS圖FS>0FS<0FS>0FS<0FS>0FS<0M圖M圖轉(zhuǎn)折突變集中力(偶)FS圖突變無變化FS等于分布載荷左邊圖形面積+向上的集中力M等于FS圖左邊面積+順時針集中力偶由此，可給出梁剪力、彎矩圖的簡捷畫法。第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四FS、M圖的簡捷畫法：3）依據(jù)微分關(guān)系判定控制點間各段FS、M圖的形狀，連接各段曲線。2）計算控制點處FS、M值。左邊面積+集中載荷力、力偶為正。A、B、C、D、E1）確定控制點。約束力、集中力(偶)作用點，分布載荷起止點。BA4845q=94m4m2m2mxCDE4932-+BACDEFS/