第七章相關和回歸

第七章相關和回歸第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四第七章相關和回歸Spearman秩相關檢驗1235Kendall秩相關系數(shù)檢驗Theil非參數(shù)回歸和幾種穩(wěn)健回歸第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四一、適用范圍Spearman秩相關系數(shù)是最早、最著名評秩統(tǒng)計量,主要用于研究兩變量間的相關程度及其顯著性檢驗,其資料要求兩變量都至少是以定序尺度測量的。二、理論依據(jù)和方法1．理論依據(jù)：Spearman秩相關系數(shù)，用rs代表。是對容量為n的xi和yi的秩(i=1,2,…,n)進行相關性測量。如兩變量x與y完全正相關，則應有xi=yi；如完全負相關，應有x1=yn，x2=yn-1，…，xn=y1。Spearman秩相關系數(shù)通過di=xi—yi研究總的偏離程度。第一節(jié)Spearman秩相關第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四在計算相關系數(shù)時，直接研究di是不合適的，因為正的di與負的di相互抵消，因此采用∑di2，當di越大時，∑di2也越大。rs的計算公式為：(7.1)當∑di2為0時，rs=1，可認為兩個變量完全正相關。rs所量度的是兩個等級之間的聯(lián)系強度，rs處于+1和-1之間。第一節(jié)Spearman秩相關第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四2.顯著性檢驗假設組Ho：X和Y相互獨立(X和Y正或負相關)H1：X與Y相互不獨立(X與Y負或正相關)檢驗rs的顯著性,在小樣本情況下，即n從4到30時，可查附表13來檢驗。該表列出了在H0成立時相伴概率分別為a＝0.05和a＝0.01的rs值。這是一個單尾表適合用于檢驗單側(cè)假設。即當rs大于或等于表中臨界值時，拒絕Ho。第一節(jié)Spearman秩相關第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四在大樣本情況下，即n≥10時，在零假設成立時得到的rs的顯著性可用統(tǒng)計量t來檢驗：

t統(tǒng)計量近似服從df=n-2的T分布。如n很大時，即n≥30,還可用統(tǒng)計量Z來檢驗。近似服從正態(tài)分布。(7.2)3.耦合修正。兩變量的秩相等即耦合。這時用它們的平均秩作耦合項的秩。第一節(jié)Spearman秩相關第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四在耦合現(xiàn)象出現(xiàn)的比例不大時，可以忽略它們對rs的影響；但當其比例較大時，rs用下式來修正：(7.3)

式中,Tx=(t3-t)/12,t等于x變量中同一個秩的耦合數(shù);Ty=(t3-t)/12，t代表y變量中耦合的觀察數(shù)。第一節(jié)Spearman秩相關第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四三、檢驗步驟1.據(jù)題意，作正確假設；2.將變量X和Y的觀察值分別從1到n評秩，如觀察值相同，用平均秩代替。3.將兩樣本配對成(xi，yi),xi，yi分別代表兩變量的秩。4.定出di=xi-yi；算出∑di2。5.如無耦合現(xiàn)象或比例較小時，用公式(7.1)算出rs，如耦合現(xiàn)象比例較大，則用(7.3)公式計算rs。6.小樣本4≤n≤30時,查附表13;大樣本時,N≥30用公式(7.2)。第一節(jié)Spearman秩相關第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四四、例7.1(小樣本舉例)學習時間長短與學生考試成績間是否有關。調(diào)查某大學10個學生每周學習的時間與期末平均成績的資料如表7-1所示．解：假設H0：學習時間X與平均成績等級Y之間是相互獨立的；H1：學習時間X與平均成績等級Y之間是正相關。根據(jù)(9.22)式計算得到:取a=0.05的顯著性水平，樣本容量n＝10，查附表13臨界值rs(n，a)=0.5515第一節(jié)Spearman秩相關第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四表7-1大學生的學習時間與期末成績調(diào)查表變量秩次di=xi-yidi2周學習時期末平均成績時間排秩成績等級（x）（y）（xi）（yi）248467.5-1.52.2517402.511.52.2520584400418487.50.50.25528510911238055004690910-1117552.53-0.50.25154812-1129827611合計9.00第一節(jié)Spearman秩相關第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四因為rs=0.946＞0.5515（臨界值）故拒絕Ho假設,而接受H1假設，即學生的學習時間與學生的平均成績等級之間存在著正相關關系。這里變量x和y中都分別有一對存在耦合即t＝2，所占比例不大，可以不必進行修正。但為說明方法，在此作一修正。用公式(7.3),首先要算出代入公式得：修正后比修正前略有減小。第一節(jié)Spearman秩相關第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例7.2(大樣本舉例)從一個大企業(yè)的生產(chǎn)線上抽出15名雇員組成一個隨機樣本，然后讓這些雇員的同事和管理人員根據(jù)他們對工作的興趣及合作精神分別對他們進行排序，結(jié)果列于表7-2，企業(yè)當局想知道同事和管理人員的看法是否正相關。解：假設Ho：同伴對雇員的等級評定與管理人員對雇員的等級評定間相互獨立；H1：同伴對雇員的等級評定與管理人員對雇員的等級評定正相關由(7.1)式算得rs=1-(6×148)/(15×(152-1))=0.7357查附表13得r15，0.05＝0.446＜rs。因此我們以0.05的顯著性水平否定零假設,作出“兩種等級正相關”的結(jié)論第一節(jié)Spearman秩相關第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四這里n=15＞10。我們也可用T統(tǒng)計量來檢驗。查T分布表當df＝13，a=0.05時，臨界值ta/2=2.160，因t=3.92>ta/2，所以我們可以在a=0．05的顯著性水平上拒絕Ho，從而得出結(jié)論：同伴和管理人員對這15個雇員的評價正相關。第一節(jié)Spearman秩相關第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四一、適用范圍肯德爾（Kendall）秩相關系數(shù)τ（讀為Tao）是測度兩組秩間的相關程度。二、理論依據(jù)和方法在容量為n的成對樣本(xi，yi)中，如果某對觀察值都比另一對觀察值大，則稱這兩對觀察值為一致對(協(xié)同)。如(1.3,2.2)和(1.6,2.7)就是一致對(用Nc表示在Ｃn2個可能對中一致對的數(shù)目)；反之如果某對觀察值與另一對觀察值以相反的方向變化(即一個減少而另一個增加)，我們稱之為非一致對，并用Nd表示在Ｃn2個可能對中非一致對(不協(xié)同)的數(shù)目。第二節(jié)Kendall相關檢驗第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四如果兩對觀察值相等，就不能算是一致對，也不能算作非一致對?？系聽栔认嚓P系數(shù)的計算公式為：

(7.4)如所有觀察值對都是一致對，則τ＝1；如所有觀察值對都是非一致對，則τ＝－1．在計算τ值時,可以將所有觀察對(xi，yi)按變量值xi的遞增次序排列,將與其對應的yi與后面的每一個yi比較,有多少對yi是按遞增次序排列的,就有多少個一致對；有多少對yi不是遞增次序排列,就有多少個非一致對。第二節(jié)Kendall相關檢驗第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例9.21:雙胞胎兒童間的智力相關程度分析。某幼兒園對9對雙胞胎的智力進行測驗，并按百分制打分。現(xiàn)將資料列示如表7-3：表7-3解：根據(jù)τ計算要求，首先將資料（xi，yi）按xi的遞增次序排列，并將計算結(jié)果列如表7-4所示：雙胞胎的對數(shù)編號（i）123456789先出生的兒童（xi）867768917071858763后出生的兒童（yi）887664966580817260第二節(jié)Kendall相關檢驗第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四表7－4（xi，yi）（xi，yi）以下的一致對（xi，yi）以下的非一致對63，608068，647070，656071，803277，763185，812186，881187，721091，9600-Ｎc=31Ｎd=5第二節(jié)Kendall相關檢驗第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四計算Kendall秩相關系數(shù)即雙胞胎兒童間的智力相關程度為0.722三、顯著性檢驗求出Nc和Nd后,用統(tǒng)計量T(T=Nc-Nd)檢驗下面的假設：Ho：X與Y是相互獨立的;H1：X與Y不是相互獨立的。（正相關或負相關）再根據(jù)樣本大小n和顯著水平a，可查附表14T的臨界值．如果T＞W(wǎng)n(1-a)就接受正相關的備擇假設；如果Ｔ＜Ｗn(a)就接受負相關的備擇假設。第二節(jié)Kendall相關檢驗第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四上例中，T=Nc-Nd=31-5=26。又因n＝9，a=0.05，查附表14，得出雙側(cè)檢驗的兩個臨界值為：W0.975＝18，W0。025＝－18而T＝26＞W(wǎng)0．975＝18，因此以0.05的顯著水平拒絕Ho，接受X與Y之間存在正相關的備擇假設。四、耦合處理在觀察對(Xi，Yi)中有兩個或兩個以上的數(shù)值相等時，用平均秩來代替。這種情況只影響(7.4)式中的分母(7.5)其中Tx=Ty=1/2∑t(t-1),t為觀察對中有相同值X(Y)的數(shù)目.第二節(jié)Kendall相關檢驗第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四五、大樣本檢驗當N＞10時，τ遵從如下的正態(tài)分布：均值Uτ=0,標準差：所以正態(tài)變量：

上例中N＝12于10，可用正態(tài)近似法計算．∵τ=0.822∴查正態(tài)分布表，當Z＝3.72時大于1.96，所以拒絕Ho假設。而接受學生所花的學習時間與取得的學習成績之間存在相關的結(jié)論。第二節(jié)Kendall相關檢驗第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四六、功效討論斯氏秩相關系數(shù)rs與肯氏秩相關系數(shù)τ之間對比，兩者采用兩種不同的方法計算相關系數(shù)，所以即使用同樣的資料，也會得出不同的數(shù)值。在大多數(shù)情況下，斯氏的rs的絕對值比肯氏的τ的絕對值為大（不是所有的情況均如此）。但我們絕不能根據(jù)它們計算的數(shù)值不同，