第9章 平面解析幾何 高考難點突破課2 圓錐曲線的綜合問題 第四課時 證明、探索性問題

高考難點突破課二圓錐曲線的綜合問題第四課時證明、探索性問題內(nèi)容索引核心突破題型剖析分層訓練鞏固提升HEXINTUPOTIXINGPOUXI核心突破題型剖析1題型一探索性問題例1

(2022·合肥模擬)已知F是拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點，直線l：y＝k(x－m)(m>0)與拋物線E交于A，B兩點，與拋物線E的準線交于點N.解設A(x1，y1)，B(x2，y2).∵l與拋物線E交于兩點，∴k≠0.又∵m>0，p>0，∴Δ＝8k2mp＋4p2>0恒成立，化簡得(p＋2m＋2)(p－2)＝0.∵p>0，m>0，∴p＝2.∴拋物線E的方程為y2＝4x.(2)假設存在常數(shù)k滿足題意.∵拋物線E的方程為y2＝2px(p>0)，此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應先求出結(jié)論的表達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論.感悟提升解四邊形ABCD的面積有最大值，理由如下：顯然四邊形ABCD是平行四邊形，當且僅當4m2＝8－4m2，即m＝±1時，等號成立，故四邊形ABCD的面積存在最大值，且最大值為4.題型二證明問題(1)求拋物線C的方程；例2

(2021·貴陽調(diào)研)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，過F且斜率為1的直線與C交于A，B兩點，|AB|＝8.解設A(x1，y1)，B(x2，y2).則x1＋x2＝2p，y1＋y2＝x1＋x2＋p＝3p，所以|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4p＝8，解得p＝2.于是拋物線C的方程為x2＝4y.圓錐曲線中的證明問題常見的有：(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點等.(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運算證明.感悟提升所以拋物線Γ的標準方程為x2＝4y.因為圓E與x軸相切，故半徑r＝|a|＝1，所以圓E的標準方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.證明由題意知，直線l的斜率存在.設l的斜率為k，那么其方程為y＝k(x＋1)(k≠0).因為l與E交于A，B兩點，所以d2<r2，Δ＝16k2＋16k>0恒成立.設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k，F(xiàn)ENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升2(1)求圓C的方程；1.如圖，圓C與x軸相切于點T(2，0)，與y軸正半軸相交于兩點M，N(點M在點N的下方)，且|MN|＝3.解設圓C的半徑為r(r>0)，依題意，圓心C的坐標為(2，r).解得y＝1或y＝4，即點M(0，1)，N(0，4).①當AB⊥x軸時，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②當AB與x軸不垂直時，可設直線AB的方程為y＝kx＋1.解由題意得A(0，b)，B(0，－b)，C(－a，0)，D(a，0)，所以2ab＝4，結(jié)合①可得a＝2，b＝1，證明由(1)得點A(0，1)，直線PA的方程為y＝kx＋1，解假設存在這樣的直線l，因為直線l過拋物線C2的焦點F(1，0)，所以可設直線l的方程為x－1＝my，直線l與C1的兩個交點的坐標分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，(2)請問是否存在直線l滿足下列兩個條件：①過C2的焦點F；②與C1交于不同的兩點M，N，且直線OM與ON(O為坐標原點)垂直.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.Δ＝16(m2＋3)>0，于是拋物線的方程為x2＝4y.解△PAB的面積有最小值，理由如下：由拋物線方程x2＝4y知，F(xiàn)(0，1).易知直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y＝kx＋1.(2)過拋物線焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，分別在點A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點，則△PAB的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應的直線l的方程；若不存在，請說明理由