課件05-層次分析法AHP

第四節(jié)投資項(xiàng)目方案的綜合評價(jià)與選擇

層次分析方法(AHP法)

層次分析法(TheAnalyticHierarchyProcess,即AHP)，又稱多層次權(quán)重解析方法，是20世紀(jì)70年代初期由美國著名運(yùn)籌學(xué)家、匹茲堡大學(xué)薩蒂(T.L.Saaty)教授首次提出來的。

該方法是定量分析與定性分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法，把數(shù)學(xué)處理與人的經(jīng)驗(yàn)和主觀判斷相結(jié)合，能夠有效地分析目標(biāo)準(zhǔn)則體系層次間的非序列關(guān)系，有效地綜合測度評價(jià)決策者的判斷和比較。

層次分析方法的基本原理引例1：在沒有稱量儀器的條件下，如何對一組物體的重量進(jìn)行估計(jì)？假設(shè)有n個(gè)物品，其真實(shí)重量為w1，w2，…，wn，則其重量比矩陣A可以表示為：

顯然:用重量向量W=(w1，w2，…，wn，)T右乘矩陣A,結(jié)果為：w1/w1w1/w2…w1/wnw2/w1w2/w2…w2/wn

…

…

…

wn/w1wn/w2…wn/wnAW=w1w2…wn=nw1nw2

…nwn=nW

由上式及矩陣?yán)碚撝?，向量W是比較判斷矩陣A對應(yīng)于n的特征向量，n為矩陣A唯一非零的最大特征根。

即可以通過逐對比較這組物體相對質(zhì)量的方法，得出每對物體相對重量比的判斷，從而形成比較判斷矩陣，再通過求解判斷矩陣的最大特征根和它所對應(yīng)的特征向量，就能計(jì)算出這組物體的相對重量。

此方法應(yīng)用到復(fù)雜的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和科學(xué)管理等領(lǐng)域中，能夠確定各種方案、措施、政策等相對于總目標(biāo)的重要性排序情況，以供領(lǐng)導(dǎo)者決策。例如，城市交通規(guī)劃方案的選擇問題，決策者可以針對衡量交通規(guī)劃方案的各個(gè)影響因素和總目標(biāo)，通過對各個(gè)方案的重要性進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)建各個(gè)方案之間的相對重要性矩陣，計(jì)算矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，則特征向量就是各個(gè)方案的優(yōu)劣排序結(jié)果。因此，決策者可以選擇出對評價(jià)目標(biāo)最優(yōu)的方案。

層次分析法的分析過程

(1)首先把問題層次化，即根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解為不同的基本組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將它們按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，由高層次到低層次分別包括目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、指標(biāo)層、方案層、措施層等。這樣，就將系統(tǒng)分析歸結(jié)為最低層(供決策的方案、措施等)相對于最高層(總目標(biāo))的綜合相對重要性系數(shù)的確定，即相對優(yōu)劣的排序問題。方案A1方案A2方案A3方案A4目標(biāo)層準(zhǔn)則層指標(biāo)層方案層

(2)分析每一層次的因素相對于上一層次某因素的單排序情況。通過對一系列成對因素的量化判斷比較，并寫成矩陣形式，即構(gòu)成判斷矩陣。通過計(jì)算判斷矩陣的最大特征根及其對應(yīng)的特征向量，得到每一層的各個(gè)因素相對于上一層某因素的相對重要性系數(shù)。

(3)計(jì)算層次總排序系數(shù)。依次由上而下計(jì)算方案層相對于目標(biāo)層的重要性系數(shù)或相對優(yōu)劣次序的排序值，其方法是用下一層各個(gè)因素的相對重要性系數(shù)與上一層因素本身的重要性系數(shù)進(jìn)行加權(quán)綜合。

(4)根據(jù)各個(gè)方案、措施相對于總目標(biāo)的優(yōu)劣排序，可以進(jìn)行問題分析、方案選擇、資源分配等評價(jià)決策工作。層次分析法的特點(diǎn)

(1)AHP法從本質(zhì)上講是一種思維方式。它是一個(gè)將思維數(shù)學(xué)化的過程，把復(fù)雜問題分解成各個(gè)組成因素，又將這些因素按支配關(guān)系分組形成遞階層次結(jié)構(gòu)，通過兩兩比較的方式確定層次間諸因素的相對重要性，然后綜合決策者的判斷，確定決策方案相對重要性的總排序。整個(gè)過程體現(xiàn)了人的決策思維的基本特征，即分解、判斷與綜合。

(2)決策者利用判斷矩陣，能較好地衡量相互關(guān)聯(lián)的事物之間的優(yōu)劣關(guān)系，可以簡化系統(tǒng)分析和計(jì)算，也有助于決策者保持其思維過程的一致性。直接使用AHP法進(jìn)行決策，方法簡便，易于接受。

(3)判斷矩陣所需的尺度設(shè)定便于決策者使用，它改變了評價(jià)決策者與決策分析者之間難于溝通的狀態(tài)，極大地提高了決策的有效性、可靠性和可行性。應(yīng)用AHP法所需信息量極少，但要求分析者對問題的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)，包括的因素及內(nèi)在的關(guān)系要分析清楚。建筑工程項(xiàng)目完整層次結(jié)構(gòu)評標(biāo)模型甲企業(yè)C1乙企業(yè)C2丙企業(yè)C3丁企業(yè)C4

設(shè)備選型評價(jià)分析模型某礦山根據(jù)生產(chǎn)和投資計(jì)劃，需要購買礦用汽車以滿足生產(chǎn)要求。經(jīng)調(diào)研和討論，將價(jià)格、汽車使用性能、汽車維護(hù)性作為選擇礦用汽車的影響因素，并將3種礦用汽車作為備選對象。得到的層次分析結(jié)構(gòu)模型如下：購買礦用汽車使用性能價(jià)格維護(hù)性汽車1汽車2汽車3目標(biāo)層指標(biāo)層方案層

城市競爭力評價(jià)分析模型

在對城市競爭力的評價(jià)研究中，可以從城市實(shí)力、城市能力、城市潛力和城市魅力等5個(gè)方面來衡量，而這5個(gè)方面又可以分解為更具體的因素，然后再用一系列指標(biāo)來體現(xiàn)這些因素。例如，對城市魅力進(jìn)行評價(jià)后建立的模型為：城市魅力評價(jià)城市品牌認(rèn)知度城市形象影響力城市文化聚集力城市游客滿意度知名度指數(shù)美譽(yù)度指數(shù)忠誠度指數(shù)聯(lián)想度指數(shù)城市理念識(shí)別指數(shù)城市行為識(shí)別指數(shù)城市視覺識(shí)別指數(shù)本土文化獨(dú)特性外來文化兼容性文化資源開發(fā)文化市場消費(fèi)指數(shù)文化傳播指數(shù)文化生態(tài)環(huán)境指數(shù)城市信用度指數(shù)城市秩序指數(shù)游客期望值指數(shù)公共服務(wù)質(zhì)量指數(shù)城市文明度指數(shù)城市1城市2城市3目標(biāo)層準(zhǔn)則層指標(biāo)層城市層層次分析模型結(jié)構(gòu)的幾個(gè)概念最高層：表示解決問題的目的，即層次分析要達(dá)到的總目標(biāo)中間層：表示采取某種措施、政策、方案等來實(shí)現(xiàn)預(yù)定總目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，可以分為策略層、約束層和準(zhǔn)則層等。最低層：表示選用解決問題的各種措施、政策、方案等。作用線：用來標(biāo)明上一層因素同下一層因素之間的聯(lián)系。完全層次關(guān)系：如果某個(gè)層次中的某個(gè)因素與下一層次所有因素均有聯(lián)系，則稱這個(gè)因素與下一層次存在著完全層次關(guān)系。不完全層次關(guān)系：如果某個(gè)因素僅與下一層中的部分因素有聯(lián)系，則稱為不完全層次關(guān)系。完全獨(dú)立的結(jié)構(gòu)：如果上一層各個(gè)因素都各自有獨(dú)立的、完全不同的下級(jí)因素，則稱為完全獨(dú)立的結(jié)構(gòu)。非完全獨(dú)立的結(jié)構(gòu)：如果上一層各個(gè)因素不是都各自有獨(dú)立的、完全不同的下級(jí)因素，則稱為非完全獨(dú)立的結(jié)構(gòu)。

除此之外，層次之間可以建立子層次，子層次叢屬于主層次中某個(gè)因素，它的因素與下一層次的因素有聯(lián)系，但不形成獨(dú)立層次?？傊瑢哟畏治鼋Y(jié)構(gòu)模型是一個(gè)多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)。通過對問題的系統(tǒng)分析，分別建立研究目標(biāo)集、影響因素集、衡量標(biāo)準(zhǔn)集和備選對象集，并將之作為多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)中的一個(gè)層次；研究上、下相鄰兩層各個(gè)因素之間的關(guān)系，并用作用線表明這些聯(lián)系，從而構(gòu)造出層次分析的結(jié)構(gòu)模型。

衡量矩陣A的一致程度的數(shù)量指標(biāo)為一致性指標(biāo)C.I.

(consistencyindex)滿足：平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.的計(jì)算過程如下：(1)對于固定的n階矩陣，從1，2，…，9，1/2，…，1/9中獨(dú)立地隨機(jī)抽取n(n-1)/2個(gè)值，作為矩陣上三角元素，主對角線元素取為1，下三角元素取上三角元素的倒數(shù)，得到隨機(jī)正互反矩陣A′；由于判斷矩陣的階數(shù)越大，元素之間的關(guān)系就更難達(dá)到一致性。所以，T.L.Saaty提出用平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.(randomindex)修正C.I.的方法(2)計(jì)算矩陣A′的一致性指標(biāo)R.I.，(3)重復(fù)上述步驟得到足夠數(shù)量的樣本，計(jì)算R.I.的樣本均值，下表給出了樣本容量為1000的R.I.均值。nR.I.nR.I.2345678910111213141500.51490.89311.11851.24941.30501.42001.46161.48741.51561.54051.55831.57791.5894概念：將判斷矩陣的一致性指標(biāo)C.I.與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.的比較稱為隨機(jī)一致性比率并記為，即C.R.

(consistencyratio)，即則判斷矩陣的一致性準(zhǔn)則為：即當(dāng)C.R.<0.10時(shí)，則判斷矩陣有可接受的不一致性；否則，就認(rèn)為初步建立的判斷矩陣是不令人滿意的，需要重新賦值，仔細(xì)修正，直至一致性檢驗(yàn)通過為止。

判斷矩陣的相關(guān)計(jì)算A特征向量和最大特征值λmax計(jì)算

（1）乘積方根法（幾何平均值法）：1）構(gòu)造矩陣2）先按行將各元素連乘并開n次方，即求各行元素的幾何平均值：3）再把bi(i=1,2,…，n)歸一化，即求得最大特征值所對應(yīng)的特征向量：4）由W=(w1，w2，…，wn

)T，則判斷矩陣A的最大特征值滿足：AW=λmaxW。即得到：5）計(jì)算判斷矩陣的最大特征值λmax。（2）和法：

1）構(gòu)造矩陣

2）將判斷矩陣A按列做歸一化處理，得矩陣Q=(qij)nxn，其中

3）將矩陣Q按行相加得向量C=(c1,c2,…,cn)T,其中

4）把C=(c1,c2,…,cn)T歸一化，即求得最大特征值所對應(yīng)的特征向量：5）計(jì)算判斷矩陣的最大特征值例:

利用引例2所給的數(shù)據(jù)計(jì)算判斷矩陣的最大特征值(乘積方根法)3331/31111/31111/3111A(A-B)=bB=(2.28,0.76,0.76,0.76)TWB=(0.49,0.17,0.17,0.17)T所以AW=(2.02,0.67,0.67,0.67)T

則所以該矩陣滿足一致性要求B判斷矩陣調(diào)整若判斷矩陣不滿足一致性條件，則必須對判斷矩陣進(jìn)行重新賦值。（1）利用矩陣的行變換把判斷矩陣中的第n列元素變成1，即（2）觀察矩陣B各列的數(shù)據(jù)是否相近，如果某列中有數(shù)據(jù)互不相近，則可重新考慮判斷矩陣A中相應(yīng)元素的賦值，使之相近。（3）如果B各列在某同一行上的元素都出現(xiàn)偏大或偏小的情況，則可修正矩陣A相應(yīng)行的最后一列元素的賦值。例：A=1/51/51351/31經(jīng)計(jì)算知C.R.=0.126>0.10,不滿足一致性條件，必須對判斷矩陣的賦值進(jìn)行調(diào)整。（1）利用矩陣的行變換把判斷矩陣中的第三列元素變成1A=1/51/51351/315115/31/3151/31=B（2）觀察矩陣B各列的數(shù)據(jù)是否相近，第2列中有數(shù)據(jù)相差較大，重新考慮判斷矩陣A中相應(yīng)元素的賦值。這里B中第2行上的元素都出現(xiàn)偏小的情況，則修正矩陣A第2行的最后一列元素的賦值，即調(diào)整δ23，取為δ23=2，則新判斷矩陣為：

A′=1/51/51251/21（3）再進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，算得結(jié)果如下：

λmax=3.054

C.I.=0.027C.R.=0.052<0.10

即滿足一致性檢驗(yàn)。5.4層次排序5.4.1層次單排序判斷矩陣的特征向量是層次結(jié)構(gòu)圖各個(gè)層次各個(gè)因素對上一層次某因素的相對重要程度，即稱為層次單排序值。引例2中方案層相對于指標(biāo)層的單排序系數(shù)（相對重要程度）為

層次總排序總排序值：計(jì)算方案層各方案相對目標(biāo)層總目標(biāo)的重要性系數(shù)。是自上而下，將單層重要性系數(shù)進(jìn)行合成而來的。假設(shè)已經(jīng)計(jì)算出第k-1層上nk-1個(gè)元素相對于總目標(biāo)的重要性系數(shù)向量第k層上nk個(gè)元素對第k-1層上第j個(gè)元素的相對重要性系數(shù)向量設(shè)為：其中不受元素j支配的元素的相對重要性系數(shù)為零。表示k層上元素對k-1層上各元素的相對重要系數(shù)，那么第k層上元素對總目標(biāo)的合成重要性系數(shù)向量W(k)為：令并且，一般地有：