遼寧省遼陽縣2024屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

遼寧省遼陽縣2024屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會(huì)召開，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.92．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.3．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（）A2 B.3C.4 D.55．已知橢圓的中心為，一個(gè)焦點(diǎn)為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B.C. D.6．函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是（）A. B.C.和 D.7．已知命題：，，命題：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)分別為，，，則△ABC的歐拉線方程為（）A. B.C. D.9．命題“若，都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A.若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B.若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C.若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)10．已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.C.4 D.911．已知：，直線l：，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作的切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.412．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)P在圓上，已知，，則的最小值為___________.14．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________15．某射箭運(yùn)動(dòng)員在一次射箭訓(xùn)練中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：8，9，8，10，6，7，9，10，8，5，則命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為___________.16．如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.18．（12分）已知直線，直線，直線（1）若與的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程21．（12分）已知點(diǎn)，直線，圓.（1）若連接點(diǎn)與圓心的直線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值22．（10分）如圖，是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，分別為棱上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等.(棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大??；（3）設(shè)棱臺(tái)的體積為，是否存在體積為且各棱長(zhǎng)均相等的直四棱柱，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長(zhǎng)和?若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直四棱柱，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【題目詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)?，所以，所以即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C2、C【解題分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【題目詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；故選：C3、B【解題分析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.4、B【解題分析】畫出可行域，找到最優(yōu)解，得最值.【題目詳解】畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如下：平行移動(dòng)直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，.故選：B.5、D【解題分析】根據(jù)是正三角形可得的坐標(biāo)，代入方程后可求離心率.【題目詳解】不失一般性，可設(shè)橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點(diǎn)，因?yàn)榍?，故，故，，整理得到，故，故選：D.6、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，然后由求解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：B7、C【解題分析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”判斷命題的真假.【題目詳解】由題意，，所以，成立，即命題為真命題，，所以不存在，使得，即命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：C8、A【解題分析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線方程.【題目詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故△ABC的歐拉線方程為.故選：A.9、C【解題分析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對(duì)換后分別否定，因此“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)考點(diǎn)：四種命題10、B【解題分析】設(shè)，，根據(jù)向量的數(shù)量積得到，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到答案；【題目詳解】設(shè)，，，與橢圓聯(lián)立，解得：，故選：B11、B【解題分析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線l：垂直求解.【題目詳解】：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：,由切線長(zhǎng)得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時(shí)與直線l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B12、B【解題分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【題目詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】推導(dǎo)出極化恒等式，即，結(jié)合最小值為，求出最小值.【題目詳解】由題意，取線段AB中點(diǎn)，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因?yàn)閳A心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：14、【解題分析】直接利用均值不等式得到答案.【題目詳解】，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、【解題分析】直接利用求平均數(shù)的公式即可求解.【題目詳解】由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故答案為：.16、##30°【解題分析】過點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進(jìn)而（或其補(bǔ)角）是所求角，算出答案即可.【題目詳解】過點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設(shè)所求角為，于是.設(shè)原正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點(diǎn)F，則，所以，即，于是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解題分析】(1)涉及中點(diǎn)弦,用點(diǎn)差法處理即可求得,進(jìn)而求得拋物線方程;(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè),直線,則直線分別和拋物線方程聯(lián)立,解得利用,結(jié)合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.【題目詳解】(1)設(shè),則,兩式相減,得:由弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,得,故.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè)直線由得由點(diǎn)在拋物線上,可知上述方程的一個(gè)根為.即,同理.直線的斜率為定值.【題目點(diǎn)撥】本題考查應(yīng)用點(diǎn)差法處理中點(diǎn)弦問題,直線與拋物線中,斜率為定值問題,考查分析問題的能力,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.18、（1）（2）0，，.【解題分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而求解得答案；（2）根據(jù)題意，分別討論與垂直，與垂直，與垂直求解，并檢驗(yàn)即可得答案【小問1詳解】解：因?yàn)榕c的傾斜角互補(bǔ)，所以，直線變形為，故所以，解得【小問2詳解】解：由題意，若和垂直可得：，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，，構(gòu)不成三角形，當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；故m的值為：0，，.19、（1）見解析（2）見解析（3）【解題分析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，可得為的中點(diǎn)，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；（3）設(shè)，由（1）（2）可得即為平面與平面的距離，求出的長(zhǎng)度，即可得解.【小問1詳解】證明：在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，故，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；【小?詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；【小?詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以平面，所以即為平面與平面的距離，因平面，所以，，所以，即平面與平面的距離為.20、（1）（2）【解題分析】(1)將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入橢圓方程計(jì)算，求出a、b的值即可；(2)設(shè)l的方程為：，，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，直線方程聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而列出關(guān)于k的方程，解之即可.【小問1詳解】橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，【小問2詳解】設(shè)l的方程為：與圓相切設(shè)點(diǎn)，∴（則Δ>0，，，，，，，，，故，21、（1）3（2）實(shí)數(shù)的值為和【解題分析】（1）由直線垂直，斜率乘積為可得值；（2）求出加以到直線的距離，由勾股定理求弦長(zhǎng)，從而可得參數(shù)值【小問1詳解】圓，，，，，，【小問2詳解】圓半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則又由點(diǎn)到直線距離公式得：化簡(jiǎn)得：，解得：或所以實(shí)數(shù)的值為和.22、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構(gòu)造棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解題分析】（1）由棱臺(tái)、棱錐的棱長(zhǎng)和相等可得，再由面面平行有，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征即可證結(jié)論.（2）取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進(jìn)而求其大小.（3）設(shè)直四棱柱的棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結(jié)合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)