2024屆甘肅省武威一中 數學高二上期末預測試題含解析

2024屆甘肅省武威一中數學高二上期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點P(5，3，6)，直線l過點A(2，3，1)，且一個方向向量為，則點P到直線l的距離為()A. B.C. D.2．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，且對，，且總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.3．下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．若直線與曲線只有一個公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或5．設是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.26．設，，，則，，大小關系是A. B.C. D.7．2021年是中國共產黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產黨成立100周年慶?；顒訕俗R（如圖1）.其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為R的相交大圓，分別內含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個圓心向另一個小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）A. B.3C. D.8．若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.9．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件10．“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種11．設雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.412．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經過點，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從正方體的8個頂點中選取4個作為項點，可得到四面體的概率為________14．雙曲線的離心率為2，寫出滿足條件的一個雙曲線的標準方程__________.15．如圖，橢圓的左右焦點為，，以為圓心的圓過原點，且與橢圓在第一象限交于點，若過、的直線與圓相切，則直線的斜率______；橢圓的離心率______.16．命題的否定是____________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞．某機構將關注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構通過調查，從參與調查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數為X，求X的分布列和數學期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．（12分）如圖，菱形的邊長為4，，矩形的面積為8，且平面平面（1）證明：；（2）求C到平面的距離.19．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為，且，，成等比數列(1)求的通項公式(2)求數列的前n項和20．（12分）已知橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于長軸的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）點為橢圓的長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，證明為定值.21．（12分）已知圓，其圓心在直線上.（1）求的值；（2）若過點的直線與相切，求的方程.22．（10分）已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據向量和直線l的方向向量的關系即可求出點P到直線l的距離.【題目詳解】由題意，，，，，，到直線的距離為.故選：B.2、D【解題分析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【題目詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數圖象上各點處的切線的斜率，由函數圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【題目點撥】本題考查以數學文化為背景，導數的幾何意義，根據函數的單調性比較函數值的大小，屬于中檔題型.3、C【解題分析】先舉例說明ABD不成立，再根據不等式性質說明C成立.【題目詳解】當時，滿足，但不成立，所以A錯；當時，滿足，但不成立，所以B錯；當時，滿足，但不成立，所以D錯；因為所以，又，因此同向不等式相加得，即C對；故選：C【題目點撥】本題考查不等式性質，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.4、D【解題分析】根據曲線方程的特征，發(fā)現(xiàn)曲線表示在軸上方的圖象，畫出圖形，根據圖形上直線的三個特殊位置，當已知直線位于直線位置時，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去得到關于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時對應的的值；當已知直線位于直線及直線的位置時，分別求出對應的的值，寫出滿足題意得的范圍，綜上，得到所有滿足題意得的取值范圍【題目詳解】根據曲線，得到，解得：；，畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當直線在直線的位置時，直線與橢圓相切，故只有一個交點，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡得：，解得或(舍去)，則時，直線與曲線只有一個公共點；當直線在直線位置時，直線與曲線剛好有兩個交點，此時，當直線在直線位置時，直線與曲線只有一個公共點，此時，則當時，直線與曲線只有一個公共點，綜上，滿足題意得的范圍是或故選：D5、B【解題分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.【題目詳解】由已知，不妨設，則，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題.6、A【解題分析】構造函數，根據的單調性可得（3），從而得到，，的大小關系【題目詳解】考查函數，則，在上單調遞增，，（3），即，，故選：【題目點撥】本題考查了利用函數的單調性比較大小，考查了構造法和轉化思想，屬基礎題7、C【解題分析】作出圖形，進而根據勾股定理并結合圓與圓的位置關系即可求得答案.【題目詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.8、C【解題分析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【題目詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【題目點撥】解答本題的關鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面9、A【解題分析】根據直線垂直求出值即可得答案.【題目詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.10、B【解題分析】根據題意，分2步進行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計數原理計算可得答案.【題目詳解】根據題意，分2步進行分析：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B11、B【解題分析】根據可得關于的方程，解方程即可得答案.【題目詳解】因為可化為，所以，則.故選：B.【題目點撥】本題考查已知雙曲線的焦距求參數的值，考查函數與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎題.12、B【解題分析】根據題意得到，，解得答案.【題目詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經過點，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【題目點撥】本題考查了雙曲線方程，意在考查學生對于雙曲線基本知識的掌握情況.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】計算出正方體的8個頂點中選取4個作為項點的取法和分從上底面取一個點下底面取三個點、從上底面取二個點下底面取二個點、從上底面取三個點下底面取一個點可得到四面體的取法，由古典概型概率計算公式可得答案.【題目詳解】正方體的8個頂點中選取4個作為項點，共有取法，可得到四面體的情況有從上底面取一個點下底面取三個點有種；從上底面取二個點下底面取二個點有種，其中當上底面和下底面取的四個點在同一平面時共有10種情況不符合，此種情況共有種；從上底面取三個點下底面取一個點有種；一個有種，所以可得到四面體的概率為.故答案為：.14、（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）【解題分析】根據離心率和的關系，可得到，只要滿足以上關系的即可【題目詳解】由題可知，又，所以，只要滿足以上關系即可.,答案不唯一例如：等故答案為：（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）15、①.②.【解題分析】根據直角三角形的性質求得，由此求得，結合橢圓的定義求得離心率.【題目詳解】連接，由于是圓的切線，所以.在中，，所以，所以，所以直線的斜率.，根據橢圓的定義可知.故答案為：；【題目點撥】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.16、##【解題分析】根據全稱量詞命題的否定的知識寫出正確答案.【題目詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，要注意否定結論，所以命題否定是：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有（2）分布列見解析，【解題分析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應的概率，從而得到分布列與數學期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關.【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P18、（1）證明見解析.（2）【解題分析】（1）利用線面垂直的性質證明出；（2）利用等體積轉換法，先求出O到平面AEF的距離，再求C到平面的距離.【小問1詳解】在矩形中，.因為平面平面，平面平面,所以平面，所以.【小問2詳解】設AC與BD的交點為O,則C到平面AEF的距離為O到平面AEF的距離的2倍.因為菱形ABCD的邊長為4且，所以.因為矩形BDFE的面積為8，所以BE=2.,,則三棱錐的體積.在△AEF中,,所以.記O到平面AEF的距離為d.由得：,解得：，所以C到平面AEF的距離為.19、（1）；（2）【解題分析】（1）根據等差數列的通項公式，分別表示出與，由等比中項定義即可求得首項，進而求得的通項公式（2）根據等差數列的首項與公差，求出的前n項和，進而可知，再用裂項法可求得【題目詳解】（1）由題意，得，，所以由，得，解得，所以，即（2）由（1）知，則，，【題目點撥】本題考查了等差數列通項公式的應用，等比中項的定義，裂項法求數列前n項和的簡單應用，屬于基礎題20、(1)；(2)證明見解析.【解題分析】(1)借助題設條件建立方程組求解；(2)依據題設運用直線與橢圓的位置關系探求.試題解析：（1）由，可得橢圓方程.（2）設的方程為，代入并整理得：.設，，則，同理則.所以，是定值.考點：橢圓的標準方程幾何性質及直線與橢圓的位置關系等有關知識的綜合運用【易錯點晴】本題考查的是橢圓的標準方程等基礎知識及直線與橢圓的位置關系等知識的綜合性問題.解答本題的第一問時,直接依據題設條件運用橢圓的幾何性質和橢圓的有關概念建立方程組,進而求得橢圓的標準方程為；第二問的求解過程中,先設直線的方程為,再借助二次方程中根與系數之間的關系，依據坐標之間的關系進行計算探求，從而使得問題獲解.21、（1）（2）或【解題分析】（1）將圓的一般方程化為標準方程，求出圓心，代入直線方程即可求解.（2）設直線的方程為：，利用圓心到直線的距離即可求解.【小問1