第五章彎曲應(yīng)力正式

第五章彎曲應(yīng)力正式第一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四2§5-1引言

§5-2

純彎曲時的正應(yīng)力

§5-3

橫力彎曲時的正應(yīng)力§5-4

梁的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件§5-5提高梁強(qiáng)度的主要措施第五章彎曲應(yīng)力第二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四3mmFSM一、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力

當(dāng)梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩M，又有剪力FS?！?-1

引言FFaaCDAB第三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四4mmFSMmmFSmmM

只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩.彎矩M

正應(yīng)力s剪力FS

切應(yīng)力t內(nèi)力

只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=dA

才能合成剪力；

所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力.第四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四5平面彎曲時橫截面

純彎曲梁(橫截面上只有M而無FS的情況)平面彎曲時橫截面

橫力彎曲(橫截面上既有FS又有M的情況)ss

t

簡支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.

若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.三、純彎曲++FF+FaFFaaCDAB第五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四6

觀察變形，提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式

§5-2

純彎曲時的正應(yīng)力

第六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四7一、實驗1.變形現(xiàn)象縱向線且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長.相對轉(zhuǎn)過了一個角度，仍與變形后的縱向弧線垂直.各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線第七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四82.提出假設(shè)1）平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線；推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層中性軸橫截面對稱軸⊥

中性層橫截面對稱軸中性軸2）縱向纖維間無正應(yīng)力。第八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四9應(yīng)變分布規(guī)律：直梁純彎曲時縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比.dx二、變形幾何關(guān)系o′b′dxMMdo′

b′y第九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四10三、物理關(guān)系所以Hooke’sLawMyzOx

直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應(yīng)力，與它到中性軸的距離成正比，即：沿截面高度正應(yīng)力按直線規(guī)律變化。應(yīng)力分布規(guī)律：待解決問題中性軸的位置中性層的曲率半徑r第十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四11yzxOMdAzyσdA四、靜力關(guān)系

橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡化得到三個內(nèi)力分量.FNMzMy內(nèi)力與外力相平衡可得（1）（2）（3）第十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四12將應(yīng)力表達(dá)式代入（1）式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入（2）式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入(3)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足（對稱軸）第十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四13將代入得到純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離；Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩.EIz為梁的抗彎剛度.第十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四14討論

（1）以中性軸（過形心軸）為界，梁變形后凸出側(cè)的應(yīng)力為拉應(yīng)力(

為正號).凹入側(cè)的應(yīng)力為壓應(yīng)力（為負(fù)號）；（2）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點處.則公式改寫為引用記號—抗彎截面系數(shù)（3）與截面是否矩形無關(guān)，但須有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在這個平面內(nèi)。第十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四15（1）當(dāng)中性軸為對稱軸時矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdy第十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四16zy（2）對于中性軸不是對稱軸的橫截面M

應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離和直接代入公式拉Tension壓Compression第十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四17

當(dāng)梁上有橫向力作用時，橫截面上既有彎矩又有剪力，梁的彎曲稱為橫力彎曲.§5-3

橫力彎曲時的正應(yīng)力

橫力彎曲時，梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力.一、橫力彎曲切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲，引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力，純彎曲時所作的平面假設(shè)和縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)都不成立.第十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四18橫力彎曲時，等直桿橫截面上的最大正應(yīng)力在彎矩最大截面、離中性軸最遠(yuǎn)處：其中，抗彎截面系數(shù)為:

雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進(jìn)一步的分析表明，當(dāng)時，用純彎曲時的正應(yīng)力公式計算橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力，精度可以滿足工程要求。第十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四19二、強(qiáng)度條件1.數(shù)學(xué)表達(dá)式

梁內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力.第十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四202.強(qiáng)度條件的應(yīng)用（2）設(shè)計截面（3）確定許可載荷（1）強(qiáng)度校核

注意：對于鑄鐵等脆性材料制成的梁，材料的以及梁橫截面的中性軸不是對稱軸情況（T形截面等），所以梁的（兩者有時并不發(fā)生在同一橫截面上，如彎矩方向變化）

則要求分別不超過材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力第二十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四21例題1螺栓壓板夾緊裝置如圖所示.已知板長3a＝150mm，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力[s]＝140MP.試計算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F.ACBFa2a2030φ14FRA=F/2FRB+Fa解：（1）作出彎矩圖最大彎矩為Fa；（2）求慣性矩、抗彎截面系數(shù)（3）求許可載荷B截面第二十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四2280y1y22020120z例題2T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的許用拉應(yīng)力為[t]=30MPa，許用壓應(yīng)力為[c]=160MPa.已知截面對形心軸z的慣性矩為Iz

=763cm4，y1=52mm，校核梁的強(qiáng)度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m第二十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四23FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN·m2.5kN·m解：最大正彎矩在截面C上最大負(fù)彎矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z[t]=30MPa[c]=160MPay1=52mm梁的強(qiáng)度滿足安全要求。第二十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四24例題3由n片薄片組成的梁，計算正應(yīng)力。當(dāng)每片間的摩擦力甚小時，每一薄片就獨立彎曲。近似地認(rèn)為每片上承擔(dān)的外力等于。zbFlh解：每一薄片中的最大正應(yīng)力zbFlh若用剛度足夠的螺栓將薄片聯(lián)緊，桿就會象整體梁一樣彎曲最大正應(yīng)力等于第二十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四25一、梁橫截面上的切應(yīng)力1.矩形截面梁

§5-4

梁的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件（1）兩個假設(shè)（a）切應(yīng)力與剪力平行；（b）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離處切應(yīng)力相等）.q(x)F1F2第二十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四26（2）分析方法（a）用橫截面m-m,n-n從梁中截取dx一段.兩橫截面上的彎矩不等.所以兩截面同一y處的正應(yīng)力也不等；（b）假想地從梁段上截出體積元素mB1，在兩端面mA1，nB1上兩個法向內(nèi)力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyym?FN2FN1第二十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四27mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hττ’（c）在縱截面上必有沿x

方向的切向內(nèi)力dFS′.故在此面上就有切應(yīng)力τ’.

根據(jù)假設(shè)，橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點處切應(yīng)力大小相等.各點的切應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?取分離體的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’m?第二十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四28ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’（3）公式推導(dǎo)

假設(shè)m-m，n-n上的彎矩為M和M+dM，兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為1和2.A1為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積.式中：為面積A1對中性軸的靜矩.A1第二十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四29由平衡方程ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’A1又因：第二十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四30b矩型截面的寬度.yz整個橫截面對中性軸的慣性矩.距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩.（4）切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定.mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’根據(jù)切應(yīng)力互等：第三十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四31y1nBmAxyzOyA1B1m1可見，切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.zτmaxy=±h/2（即在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處）t=0y=0（即在中性軸上各點處），切應(yīng)力達(dá)到最大值式中，A=bh為矩形截面的面積.第三十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四32z截面靜矩的計算方法A*為截面面積為截面的形心坐標(biāo)A*2.工字形截面梁腹板為狹長矩形。矩形截面切應(yīng)力分布的兩個假設(shè)仍然使用，因此腹板上到中性軸距離為y的點的切應(yīng)力計算公式亦為：HoyxbzhBb

—腹板的厚度第三十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四33O—距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A*對中性軸的靜矩.tminozytmaxτmax（a）腹板上的切應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化；ydxBzybOH/2h/2第三十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四34Otminozytmaxτmax（b）最大切應(yīng)力在中性軸上,也是整個橫截面上的最大切應(yīng)力.ydxBzybO（c）腹板最小切應(yīng)力：（d）因腹板寬度b遠(yuǎn)小于B第三十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四35zyτmaxtmintmaxo（e）翼緣上有平行于Fs的切應(yīng)力分量，也有平行于翼緣寬度的切應(yīng)力分量，較為復(fù)雜，與腹板切應(yīng)力比較是次要的，因此剪應(yīng)力強(qiáng)度計算時一般不予考慮。（f）工字梁翼緣的全部面積都在離中性軸最遠(yuǎn)處，每一點的正應(yīng)力都很大，因此翼緣承擔(dān)了截面上的大部分彎矩。第三十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四36ydzO假設(shè)：（a）沿寬度k-k'上各點處的切應(yīng)力均匯交于O'點；（b）各點處切應(yīng)力沿y方向的分量沿寬度相等.

在截面邊緣上各點的切應(yīng)力的方向與圓周相切.3.圓截面梁*第三十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四37最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上ydzO式中為圓截面的面積.4.圓環(huán)形截面梁*

圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁.環(huán)壁厚度為，環(huán)的平均半徑為r0，由于

?r0故可假設(shè)（a）橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化；（b）切應(yīng)力的方向與圓周相切.zyr0δ第三十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四38式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生中性軸上，其值為zyr0δmax第三十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四39二、彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況（1）梁的跨度較短，M

較小，而FS較大時,要校核切應(yīng)力；（2）鉚接或焊接的組合截面、腹板較?。ǜ拱宓暮穸扰c高度比小于型鋼的相應(yīng)比值），要校核切應(yīng)力；（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力.第三十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四40F例題4一簡易起重設(shè)備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F=30kN.跨長l=5m.吊車大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應(yīng)力[]=170MPa,許用彎曲切應(yīng)力[]=100MPa，試校核梁的強(qiáng)度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊車梁可簡化為簡支梁，力F

在梁中間位置時有最大正應(yīng)力.（a）正應(yīng)力強(qiáng)度校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應(yīng)力為第四十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四41+FSmax5mABFC（b）切應(yīng)力強(qiáng)度校核

在計算最大切應(yīng)力時，應(yīng)取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示，因為此時該支座的支反力最大，而梁的最大切應(yīng)力也就最大.查型鋼表中，20a號工字鋼，有b=7mm據(jù)此校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度以上兩方面的強(qiáng)度條件都滿足，所以此梁是安全的.[]=100MPa第四十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四42例題5簡支梁AB如圖所示.l＝2m，a＝0.2m.梁上的載荷為q為10kN/m，F(xiàn)＝200kN.材料的許用應(yīng)力為[]=160MPa，[]＝100MPa，試選擇工字鋼型號.解：（1）計算支反力做內(nèi)力圖.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m（2）根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號查型鋼表，選用22a工字鋼，其Wz＝309cm3FRAFRB第四十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四43（3）校核梁的切應(yīng)力

腹板厚度b=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN查表得22a工字鋼:τmax超過[t]很多，應(yīng)重新選擇更大的截面.現(xiàn)以25b工字鋼進(jìn)行試算查表得b=1cm所以應(yīng)選用型號為25b的工字鋼.第四十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四44例題6圖中所示吊車大梁，現(xiàn)因移動荷載F增加達(dá)到50kN，故在20a號工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm10mm、長度為2.2m的鋼板加強(qiáng)，橫截面尺寸如圖所示.已知許用彎曲正應(yīng)力[]=152MPa，許用切應(yīng)力[]=95MPa.試校核此梁的強(qiáng)度.2.2m200z22012010解：加強(qiáng)后的梁是階梯狀變截面梁.所以要校核：（3）F移至未加強(qiáng)的梁段在截面變化處的正應(yīng)力.（2）F靠近支座時支座截面上的切應(yīng)力；（1）F位于跨中時跨中截面上的彎曲正應(yīng)力；第四十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四45（1）校核F位于跨中截面時的彎曲正應(yīng)力查表得20a工字鋼62.5kN·m2.2mF1.4m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA最大彎矩值為跨中截面對中性軸的慣性矩為200z22012010抗彎截面系數(shù)50kN[]=152MPa第四十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四46（2）校核突變截面處的正應(yīng)力，也就是校核未加強(qiáng)段的正應(yīng)力強(qiáng)度.2.2mF1.4m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA50.4kN·m該截面上的最大彎矩為從型鋼表中查得20a工字鋼梁不能滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件.為此應(yīng)將加強(qiáng)板適當(dāng)延長.（3）校核階梯梁的切應(yīng)力F靠近任一支座時，支座截面為不利荷載位置請同學(xué)們自行完成計算.50kN[]=152MPa第四十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期四47§5-5提高梁強(qiáng)度的主要措施一、降低梁的最大彎矩值1.合理地布置梁的荷載

按強(qiáng)度要求設(shè)計梁時，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件FlF