第八章二次型

第八章二次型第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四8.1二次型和對稱矩陣(4學(xué)時)一、教學(xué)目標：了解二次型和二次型矩陣的概念，二次型的矩陣表示,矩陣合同的概念和性質(zhì)，會用合同變換化二次型為一個只含平方項的二次型二、重點：

掌握對稱矩陣都與一個對角形式矩陣合同的關(guān)系，會用合同變換和配方法配方化二次型為一個只含平方項的二次型的方法.三、難點：

二次型的秩與二次型的等價，合同的關(guān)系四、教學(xué)過程：第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四定義1設(shè)F是一個數(shù)域，F(xiàn)上n元二次齊次多項式叫做F上一個n元二次型。F上n元多項式總可以看成F上n個變量的函數(shù)。二次型（1）定義了一個函數(shù):(函數(shù)思想)

所以n元二次型也稱為n個變量的二次型。在（1）中令因為所以(1)式可以寫成以下的形式:第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四(2)令是（2）式右端的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣，稱為二次型的矩陣。因為所以A是F上一個n階對稱矩陣，利用矩陣的乘法,（2）式可以寫成（3）第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四二次型（3）的秩就是A的秩;如果對二次型（3）的變量施行如下的一個變換:（4）那么就得到一個關(guān)于和二次型(4)式稱為變量和線性變換,令是(4)的系數(shù)構(gòu)成的矩陣,則(4)式可以寫成(5)第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四將(5)代入(3)就得到(6)矩陣P稱為線性變換（4）的矩陣。如果P是非奇異的，就稱（4）是一個非奇異線性變換。A對稱矩陣

也是對稱矩陣。第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四定理8.1.1設(shè)是數(shù)域F上一個以A為矩陣的n元二次型,對它的變量施行一次以P為矩陣的線性變后所得到的二次型的矩陣是推論8.1.2一個二次型的秩在變量的非奇異線性變換之下保持不變。第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四研究性問題1：為什么要取二次型的矩陣是對稱矩陣（否則導(dǎo)致推論9.1.2不成立）例：二次型的矩陣是:若取作為該二次型的矩陣，那么經(jīng)過變量的非奇異線性變換就得到二次型它的矩陣是秩為2，而的秩為1。第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四定義2設(shè)是數(shù)域F上兩個n階矩陣。如果存在F上一個非奇異矩陣p，使得A與B合同。矩陣的合同關(guān)系具有以下性質(zhì)：（等價關(guān)系）:1．自反性：2．對稱性：由3．傳遞性：由和矩陣可得第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四研究性問題2：合同的矩陣等價的二次型具有相同的秩。有相同的秩，反之如何？與一個對稱矩陣合同的矩陣仍是對稱的？教材中。矩陣的等價關(guān)系有那些？定義F上兩個二次型叫做等價的，如果可以通過變量的非奇異線性變換將其中一個變成另一個。定理9.1.3數(shù)域F上兩個二次型等價的必要且充分條件是它們的矩陣合同。第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四研究性問題3：二次型對稱矩陣對角形矩陣有何關(guān)系？以平面上以圓點為中心的二次曲線的方程為例并由以下定理給出這個問題完滿的回答。

第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四定理8.1.4設(shè)是數(shù)域F上一個n階對稱矩陣?？偞嬖贔上一個n階非奇異矩陣P，使得

即F上每一個n階對稱矩陣都與一個對角形式矩陣合同。第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四證我們將利用矩陣的初等變換來證明這個定理?；貞浺韵?.2里所定義的三種初等矩陣。容易看出：現(xiàn)在對矩陣A的階n作數(shù)學(xué)歸納法，n=1時定理顯然成立。設(shè)并且假設(shè)對于n-1階對稱矩陣來說，定理成立。設(shè)是一個n階對稱矩陣。如果本身就是對角形式，設(shè)這時A我們分兩種情形來考慮。（特殊到一般）第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四的左上角的元素那么交換A的第1列與第i列，再交換第1行與第i行，(a)設(shè)A的主對角線上元素不全零。例如如果就可以把換到左上角。這樣做相當于用初等矩陣右乘A，再用左乘A。于是不等于零。因此，我們不妨設(shè)第j行，就可以把第1行第j列和第j行第1列位置的元素變成用乘A的第1列加到第j列，再用乘第1行加到零。這樣做相當于用左乘A，用左乘A，這樣，總可以選取初等矩陣使得第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四(1)(2)這里是一個n階對稱矩陣，由歸納法假設(shè)，存在n-1階可逆矩陣使得第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四取

（請學(xué)生注意Q的取法）那么這里.第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四(b)如果由于所以一定有某一個元素。把A的第j列加到第i列，再把第j行加到第i行，這相當于用初等矩陣右乘A，再用左乘A。而經(jīng)過這樣的變換后所得的矩陣第i行第j列的元素是于是情形(b)就歸結(jié)到情形(a)。注意1、在定理8.1.2的主對角形矩陣中，主對角線上的元素的不為零的的個數(shù)等于A的秩，如果秩A等于r>0，可知

而第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四2、給了數(shù)域F上一個n階對稱矩陣A，由定理8.1.2的證明過程可以看出，我們可以具體地求出一個可逆矩陣P，使得有對角形式，只要在對A施行一對列初等變換和行初等變換的同時，僅對n階單位矩陣I施行同樣的列初等變換，那么當A化為對角形式時，I就化為P。例1設(shè)(演算過程省略)第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四

定理8.1.5數(shù)域F上每一個n元二次型可以通過變量的非奇線性變換化為例如，以例1中對稱矩陣A為矩陣的二次型是第十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四通過變量的非奇線性變換化為第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四8.2復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型一、教學(xué)目標：了解復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型的概念，實數(shù)域上的二次型的秩、慣性指標、符號差等概念的關(guān)系和性質(zhì)，復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型等價的充要條件及其典范形式及其種類。二、重點：掌握復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型等價的充要條件及其典范形式三、難點：實數(shù)域上的二次型等價的充要條件及其典范形式第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四四、教學(xué)過程：我們只限于討論復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型，前者特別簡單，而后者在應(yīng)用上特別重要。定義：復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型分別叫做復(fù)二次型和實二次型。提出問題：兩個復(fù)二次型和兩個實二次型等價的充分必要條件是什么？復(fù)數(shù)域上兩個對稱矩陣和實數(shù)域上兩個對稱矩陣合同的充分且必要條件是什么？1、對于復(fù)二次型回答這個問題：定理9.2.1復(fù)數(shù)域上兩個n階矩陣合同的充分且必要條件是它們有相同的秩。兩個復(fù)二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩。第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四證顯然只要證明第一個論斷。條件的必要性明顯。我們只證條件的充分性。設(shè)A,B是復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣，且A與B有相同的秩r，由定理8.1.2，分別存在復(fù)可逆矩陣P和Q，使得第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四當r>0時，取n階復(fù)矩陣第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四這里分別表示復(fù)數(shù)的一個平方根，那么，而.因此，矩陣A,B都與矩陣合同，所以A和B合同。第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四2、現(xiàn)在來看實數(shù)域上的情形。首先證明定理8.2.2實數(shù)域上每一n階對稱矩陣A都合同于如下形式的一個矩陣：（1）這里r等于A的秩。證有定理8.1.2，存在實可逆矩陣P使得

第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四如果r>0,必要時交換兩行和兩列（這里相當于右乘以左乘以我們總可以假定

取那么與定理8.2.2平行，我們有：定理8.2.3實數(shù)域上每個n元二次型都與如下形式的一個二次型等價：第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四（1）這里r是所給二次型的秩。二次型（1）叫做實二次型的典范形式，由定理8.2.3可得：1、實數(shù)每一個二次型都與一個典范形式等價。

2、在典范形式里,平方項的個數(shù)r等于二次型的秩,因而是唯一確定的。

3、進一步證明在典范形式(1)里,系數(shù)是1的項的個數(shù)p也是唯一確定的，因而系數(shù)是-1的項的個數(shù)r-p也是唯一確定的。這就是以下的定理8.2.4(慣性定律)

設(shè)實數(shù)域R上n元二次型等價于兩個典范形式(2)

(3)

那么：第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四證（反證法）設(shè)(2)和(3)分別通過變量的非奇異線性變換(4)(5)化為所給的二次型如果不妨設(shè)構(gòu)造個方程的齊次線性方程組(6)í?n??=?=jjijxt10??ì=nj1=?jijxs0本定理證明的關(guān)鍵第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四因為所以因此,方程組(6)在R內(nèi)有非零解.令是(6)的一個非零解.把這一組值代入和的表示式(4)和(5).記有然而所以第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四因為和都是非負實數(shù),所以必須又所以是齊次線性方程組的一個非零解.這與矩陣的非奇異性矛盾.這就證明了同理可證所以在(1)中,稱正平方項的個數(shù)p叫做所給二次型的慣性指標.

正項的個數(shù)p與負項的個數(shù)r-p的差s=p-(r-p)=2p-r叫做所給的二次型的符號差。由定理8.2.3和8.2.4容易得到

第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四定理8.2.5（重點2）實數(shù)域上兩個n元二次型等價的充分且必要的條件是它們有相同的秩和符號差.證設(shè)和是實數(shù)域上兩個n元二次型.令和分別是它們的矩陣.那么由定理9.2.2,存在實可逆矩陣P,使得如果與等價,那么與合同.于是存在實可逆矩陣Q使得.取.那么第三十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四因此與都與同一個典范形式等價,所以它們有相同的秩和符號差.反過來,如果,有相同的秩r和符號差,那么它們也有相同的慣性指標.因此,都與矩陣合同.由此推出與合同,從而與等價.第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四推論8.2.6

證給定.令由定理9.2.4,R上每一n元二次型恰與一個以為矩陣的典范形式等價.當r取定后,p可以取;而又可以取中任何一個數(shù).因此這樣的

共有個實數(shù)域R上一切n元二次型可以分成類,。（二次型的等價類）第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四對于每一個,就有一個典范形式與它相當.把與同一個典范形式等價的二次型放在一類,于是R上一切n元二次型恰可分成類,屬于同一類的二次型彼此等價,屬于不同類的二次型互不等價.第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四8.3正定二次型(等價類中最重要的一類)一、教學(xué)目標：了解正定二次型和正定矩陣的概念，二次型的主子式的概念,掌握二次型和正定矩陣正定的充分必要條件二、重點：，正定二次型和正定矩陣的判定三、難點：正定二次型和正定矩陣的判定四、教學(xué)過程：(利用函數(shù)概念研究正定二次型)第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四

定義:可以看成定義在實數(shù)域上n個變量的實函數(shù)。如果對于變量的每一組不全為零的值，函數(shù)值都是正數(shù)，那么就稱是一個正定二次型。定理8.3.1實數(shù)域上二次型是正定的充分且必要條件是它的秩和符號差都等于n。第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四證設(shè)A是二次型的矩陣。如果A的秩和符號差都等于n，那么存在實可逆矩陣P，使得令(1)

,那么第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四由（1）可以看出不全為零時，也不全為零。因此，對于任意不全為零的實數(shù)，都有反過來，如果，不論哪一種情形都有。因此存在實可逆矩陣P,使得第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四取一組實數(shù)，使得不全為零，并且令那么也不全為零。然而下面再給出一個直接從所給的二次型的矩陣來判斷這個二次型是不是正定的判斷法。首先引入一個概念。第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四定義：設(shè)是一個階實對稱矩陣。位于A的前k行和前k列的子式叫做A的k階主子式。令，就得到A的一切主子式。以A為矩陣的二次型的k階主子式指的是A的k階主子式第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四定理8.3.2

(主子式判別法)實二次型是正定的,必要且只要它的一切主子式都大于零。證如果二次型的某一k階主子式不大于零，，令

是一個k階實對稱矩陣，所以存在k階實可逆矩陣Q，使得第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四由于，所以，因此s<k，于是對于n不全為零的個實數(shù)來說，我們有所以二次型不是正定的第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四反過來,設(shè)n個變量二次型的所有主子式都大于零,當n=1時,論斷是正確的,因為當時,對于任意實數(shù)都有,設(shè)n>1,并且假定對于n-1個變量的實二次型來說,論斷成立設(shè)是一個n個變量的二次型,它的矩陣是,并且假設(shè)A的一切主子式都大于零,對A作如下的分塊：第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四這里一切主子式都大于零，由歸納假設(shè)和定理9.3.1，存在n-1階可逆矩陣使得是n-1階單位矩陣，取

則這里，再取第四十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四則

這里，然而所以為矩陣的二次型是正定的，因而與它等價的二次型是正定的。第四十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四

習(xí)題

第四十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四8.4主軸問題(幾何背景：將有心二次曲線或二次曲面的方程化為標準形式的自然推廣)一、教學(xué)目標：了解正定二次型和正定矩陣的概念，二次型的主子式的概念,掌握二次型和正定矩陣正定的充分必要條件二、重點：，正定二次型和正定矩陣的判定三、難點：正定二次型和正定矩陣的判定四、教學(xué)過程：(利用函數(shù)思想研究正定二次型)第五十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期四我們已經(jīng)看到，實數(shù)域上一個二次型可以經(jīng)過變量的非奇異線性變換

化為二次型