第一章計數(shù)原理歸納整合課件人教版選修

知識網(wǎng)絡(luò)本章歸納整合要點歸納1．兩個計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類加法計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題

時，用分類的方法可以有效的將之分解，達(dá)到求解的目

的．正確地分類與分步是用好兩個原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，這是選用計數(shù)原理的關(guān)鍵．注意有些復(fù)雜的問題往往在分步中有分類，分類中有分步，兩個原理往往交錯使用．2．排列與組合主要是排列數(shù)與組合數(shù)計算公式、性質(zhì)的應(yīng)用以及排列組合應(yīng)用題．排列數(shù)與組合數(shù)計算公式主要應(yīng)用于求值和證明恒等式，其中求值問題應(yīng)用連乘的形式，證明恒等式應(yīng)用階乘的形式，在證明恒等式時，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡的原則，有時也會從兩邊向中間靠攏．對于應(yīng)用題，則首先要分清是否有序，即是排列問題還是組合問題．有限制條件的排列問題，通常從以下兩種途徑考慮：(1)元素分析法：先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素．(2)位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置．組合應(yīng)用題的難點是與幾何圖形有關(guān)的問題，此時一般要與兩個原理結(jié)合應(yīng)用，還要結(jié)合圖形的實際意義．排列與組合綜合應(yīng)用題中也有很多重點和難點，比如分配問題，一般方法是先分組，后分配，分組問題又要注意均勻分組和不均勻分組的區(qū)別，均勻分組在各組逐一滿足后還要除以均勻分組組數(shù)的全排列；而有公共元素的分配問題，則可以利用圖示法求組數(shù)，這樣可以避免分組中的重復(fù)．3．二項式定理這部分?？贾R、題型、主要方法以及注意點大體如下：(1)與二項式定理有關(guān)，包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、近似計算、證明一些簡單的組合恒等式

等，此時主要是要構(gòu)造二項式，合理應(yīng)用展開式；(3)與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果，在求各項系數(shù)的絕對值的和時，則要先根據(jù)絕對值里面數(shù)的符號賦值求解．(2)與通項公式有關(guān)，主要是求特定項，比如常數(shù)項、有理項、x的某次冪等，此時要特別注意二項式展開式中第k＋1

項的通項＋k

1

n公式是

T

＝C

a—k

n

k

k

knb

(k＝0，1，…n)，其二項式系數(shù)是C

，而不是C＋k

1n，這是一個極易錯點．專題一 兩個計數(shù)原理選擇使用兩個原理解決問題時，要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定，確定是分類還是分步要抓住兩個原理的本質(zhì)．分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”，分類時，首選要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次分類時要注意，完成這件事的任何一種方法必須屬于某一

類，并且分別屬于不同類的兩種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法．分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”，分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標(biāo)準(zhǔn)；其次，分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成，只有滿足了上述條件，才能用分步乘法計數(shù)原理．把3封信都寄出，有多少種寄信方法？把3封信都寄出，且每個信筒中最多一封信，有多少種寄信方法？解

(1)分3步完成寄出3封信的任務(wù)；第一步，寄出1封

信，有4種方法；第二步，再寄出1封信，有4種方法；第三步，寄出最后1封信，有4種方法，完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4×4×4＝43＝64種寄信方法．【例1】有3封信，4個信筒．4(2)典型的排列問題，共有A3＝24

種寄信方法．排列組合應(yīng)用題是高考的一個重點內(nèi)容，常與實際問題相結(jié)合進(jìn)行考查．要認(rèn)真閱讀題干，明確問題本質(zhì)，利用排列組合的相關(guān)公式與方法解題．在求解排列與組合應(yīng)用問題時，應(yīng)注意：①把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；②通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；③分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；④列出式子計算并作答．處理排列組合的綜合性問題，一般思想方法是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，始終是處理排列組合問題的基本方法和原理，通過專題二 排列組合的應(yīng)用解題訓(xùn)練注意積累分類和分步的基本技能．(3)解排列組合應(yīng)用題時，常見的解題策略有以下幾種：①特殊元素優(yōu)先安排的策略；②合理分類和準(zhǔn)確分步的策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略；④正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略；⑤相鄰問題捆綁處理的策略；⑥不相鄰問題插空處理的策略；⑦定序問題除法處理的策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略．【例2】某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車均多于4輛，現(xiàn)從這個公司中抽調(diào)出10輛車，并且每個車隊中至少抽取1輛車，那么共有多少種不同的抽調(diào)方式？解

法一

在每個車隊抽調(diào)

1

輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)

3

輛車，可分為三類：從一個車隊中抽調(diào)，有C1種；7從兩個車隊中抽調(diào)，一個車隊中抽1

輛，另一個車隊中抽2

輛，有C2·C1＝42

種；7

2從三個車隊中抽調(diào)，每個車隊中抽調(diào)1

輛，有C3＝35

種．故7由分類加法計數(shù)原理知，共有7＋42＋35＝84

種抽調(diào)方法．法二

(隔板法)由于每個車隊的車均多于4

輛，只需將10

個份額分成7

份．可將10

個元素排成一排，在相互之間的9

個空檔(除去兩端)中9插入6

個檔板，即可將元素分成了7

份，因而有C6＝84

種抽調(diào)方法．(1)一條長椅上有9個座位，3個人坐，若相鄰2人之間【例3】至少有2個空椅子，共有幾種不同的坐法？(2)一條長椅上有7個座位，4個人坐，要求3個空位中，恰有2個空位相鄰，共有多少種不同的坐法？解(1)先將3

人(用×表示)與4

張空椅子(用□表示)排列如圖(×□□×□□×)，這時共占據(jù)了7

張椅子，還有2

張空椅子，一是分開插入，如圖中箭頭所示

(↓×□↓□×□↓□×↓)，從4

個空當(dāng)中選2

個插入，有C2種插法；二是2

張同時插入，有C1種插法，再考慮3

人34

4可交換有A3種方法．3

4

4所以，共有A3(C2＋C1)＝60(種)．下面再看另一種構(gòu)造方法：先將3

人與2

張空椅子排成一排，從5

個位置中選出3

個位置排人，另2

個位置排空椅子，有A3C2種排法，再將4

張空5

2椅子中的每兩張插入每兩人之間，只有1

種插入法，所以所5

2求的坐法數(shù)為A3·C2＝60(種)．(2)可先讓4

人坐在4

個位置上，有A4種排法，再讓2

個“元4素”(一個是兩個作為一個整體的空位，另一個是單獨的空位5插入4

個人形成的5

個“空檔”之間，有A2種插法，所以所求的坐法數(shù)為A4·A2＝480(種)．4

5二項式定理是歷年高考中的必考內(nèi)容，解決二項式定理問題，特別是涉及求二項展開式的通項的問題，關(guān)鍵在于抓住通項公式，還要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與“展開式系數(shù)”．二項式定理的應(yīng)用主要有以下幾個方面：近似求值．利用二項式定理進(jìn)行近似計算，關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)亩検?p＋q)n(其中|q|＜1)，并根據(jù)近似要求，對展開式的項合理取舍．解決整除問題．通常把底數(shù)化為兩數(shù)的和或差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系，再利用二項式定理展開，只考慮前面或后面的一兩項就可以．專題三 二項式定理及應(yīng)用求和．求二項展開式系數(shù)和的基本方法是賦值法．在解決有些數(shù)列求和的問題時，要注意對問題實施轉(zhuǎn)化，為應(yīng)用二項式定理創(chuàng)造條件．解不等式或證明組合恒等式．用二項式定理證明不等式時，通常表現(xiàn)為二項式定理的正用或逆用，再結(jié)合不等式的證明方法論證．而證明組合恒等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造不同的二項式，比較系數(shù)進(jìn)行證明．【例4】設(shè)32＋

1

3

3n展開式的第7

項與倒數(shù)第7

項的比是1∶6，求展開式中的第7

項．7

n6

3解

T

＝C

(

2)n

633

1

—

6，

n－5＝Cn—n6

3

( 2)6

33

1

n－6.由nC6（3

1

2）n－6

3

36C—n

6n3

1

（

2）63

3n－61＝6，化簡得：－1n

n63－4＝6

，∴3－4＝－1.∴n＝9.∴T7＝C6(93

1

2)9－6

3

3639＝C

·2·

＝1

569

3.(3)a0＋a2＋a4＋a6的值．①解

(1)令x＝0，則a0＝－1，令x＝1，則a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128所以a1＋a2＋…＋a7＝129；(2)令x＝－1，則－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7②，【例5】若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求(1)a1＋a2＋…＋a7的值；

(2)a1＋a3＋a5＋a7的值；由①－②21

3

5

712得：a

＋a

＋a

＋a

＝

[128－(7－4)

]＝8256.(3)由①＋②20

2

4

612得：a

＋a

＋a

＋a

＝

[128＋(7－4)

]＝－8

128.【例6】求證：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n為大于1的偶數(shù))．解

因為

1＋3＋32＋…＋33n－1＝1－33n1－312＝

(33n－1)1n1n＝2(27

－1)＝2[(26＋1)－1]，而(26＋1)n－1nn＝C

26

＋C

26—0

n

1

n

1＋…＋C—n

1nnn

026＋C

26

－10

nn

n＝C

26

＋C

26—1

n

1＋…＋C