第四章計算機控制系統(tǒng)的特性分析

第四章計算機控制系統(tǒng)的特性分析1第一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

計算機控制系統(tǒng)要想正常工作，首先要滿足穩(wěn)定性條件，其次還要滿足動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標，這樣才能在實際生產(chǎn)中應(yīng)用。對計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)誤差進行分析是研究計算機控制系統(tǒng)必不可少的過程。2第二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五1.線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

s域到z域映射關(guān)系線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2.線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)

修正勞斯-胡爾維茲穩(wěn)定判據(jù)二次特征方程穩(wěn)定性的z域直接判定法朱利判據(jù)修爾—科恩穩(wěn)定判據(jù)

4.1計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性3第三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

分析或設(shè)計一個控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性歷來是一個首要問題。對于連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，所謂穩(wěn)定，就是指在有界輸入作用下，系統(tǒng)的輸出也是有界的。如果一個線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么其對應(yīng)的微分方程的解必須是收斂和有界的。在分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，主要根據(jù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點是否都在S平面的左半部分布。若有極點出現(xiàn)在平面的右半部，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。1.線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件4第四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五s域到z域的映射關(guān)系5第五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

s平面的左半部對應(yīng)于z平面的單位圓內(nèi)s平面的右半部分對應(yīng)于z平面單位圓外s平面的虛軸對應(yīng)于z平面的單位圓6第六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五S平面垂直直線對應(yīng)于z平面的圓周，s平面的虛軸對應(yīng)于z平面的單位圓

7第七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五S平面水平直線對應(yīng)于z平面具有相應(yīng)角度的直線

時，正好對應(yīng)z平面的橫軸8第八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五S平面的等阻尼線對應(yīng)于z平面的螺旋線對于二階振蕩系統(tǒng)，在S平面上等阻尼線為通過原點的射線且，在z平面上為螺旋線。9第九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五10第十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五如圖，在S平面上有3個點，分別為s域到z域的映射關(guān)系例題試求它們影射到Z平面上的點11第十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五解：采樣周期12第十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根的模|z|<1，即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點均位于z平面的單位圓內(nèi)。

(2)線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件13第十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

2.線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)(1)修正勞斯一胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

雙線性變換114第十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五z平面與w平面映射關(guān)系15第十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五雙線性變換216第十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五修正勞斯一胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)1、系統(tǒng)分析

求出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G（Z）

求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

求出系統(tǒng)特征方程2、采用雙線性變換或轉(zhuǎn)換到w域3、采用修正勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性17第十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五第一列元素為正系統(tǒng)穩(wěn)定18第十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)若勞斯行列表第一列各元素嚴格為正，則所有特征根均分布在左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。若勞斯行列表第一列出現(xiàn)負數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。且第一列元素符號變化的次數(shù)，即右半平面上特征根個數(shù)。19第十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的特征方程為二次特征方程穩(wěn)定性的z域直接判定法20第二十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五朱利判據(jù)21第二十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五22第二十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

朱利判據(jù)穩(wěn)定性條件23第二十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五把系數(shù)a0,

a1,…an寫成如下所示的行列式形式:

該判據(jù)提供了一種用解析法判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的途徑。設(shè)離散控制系統(tǒng)的特征方程為

(4)修爾-科恩穩(wěn)定判據(jù)24第二十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

an是an的共軛值，△k(k=1，2，3，…)是一個有2k行和2k列的行列式。

25第二十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五修爾一科恩穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定條件:修爾一科恩穩(wěn)定判據(jù)的兩個特例：1、當(dāng)系統(tǒng)特征方程為判據(jù)為2、當(dāng)系統(tǒng)特征方程為判據(jù)為二次特征方程穩(wěn)定性的z域直接判定法26第二十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷實例1、利用穩(wěn)定性判據(jù)判定系統(tǒng)在不同T及k時的穩(wěn)定性、并討論系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K及采樣周期T對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。2、確定在不同采樣周期T時使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大倍數(shù)K參考教材P86、8727第二十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五解：系統(tǒng)特征方程28第二十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五T=1、K=1時系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：方法一、雙線性變換1方法二、雙線性變換2方法三、二次特征方程穩(wěn)定性的z域直接判定法29第二十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論：1、采樣周期T越大系統(tǒng)穩(wěn)定性越差，臨界放大倍數(shù)KC越小。減小采樣周期T可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2、放大倍數(shù)K對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響與連續(xù)系統(tǒng)相同，K加大系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。3、控制系統(tǒng)加入零階保持器后系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。對于離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用請注意以下兩點：1、對于二階特征方程系統(tǒng)由修爾一科恩穩(wěn)定判據(jù)和朱利判據(jù)同樣可推導(dǎo)出二次特征方程穩(wěn)定性的z域直接判定法2、對于一階特征方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷可由穩(wěn)定性判斷的充要條件、修爾一科恩穩(wěn)定判據(jù)和朱利判據(jù)直接判斷30第三十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

4.2計算機控制系統(tǒng)的動態(tài)特性

通常線性離散系統(tǒng)的動態(tài)特性是指系統(tǒng)在單位階躍信號輸入下的過渡過程。單位階躍輸入比較容易產(chǎn)生，并且能夠提供動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的有用信息。本節(jié)包括下面三方面內(nèi)容：

1.閉環(huán)實極點對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

2.閉環(huán)復(fù)極點對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

3.用脈沖傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)實例

31第三十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五圖4.7單位階躍輸出響應(yīng)離散系統(tǒng)的動態(tài)特性指標32第三十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

一般采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可以寫成如下形式：

zi與Pi分別表示閉環(huán)零點和極點。當(dāng)單位階躍信號輸時，系統(tǒng)的輸出為對上式取逆z變換，得采樣系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，其中包含穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，及由實極點和復(fù)極點所引起的暫態(tài)響應(yīng)。33第三十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五Pr為實數(shù)極點，Pi為復(fù)數(shù)極點34第三十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五1.閉環(huán)實極點對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

系統(tǒng)的實極點均在z平面的實軸上，每一個實極點對應(yīng)一個暫態(tài)響應(yīng)分量。由于實極點的位置不同，因而對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響也不同，如圖4．9所示。

⑴極點在單位圓外的實軸上，暫態(tài)響應(yīng)單調(diào)發(fā)散；⑵極點在單位圓與正實軸交點上，暫態(tài)響應(yīng)等幅；⑶極點在單位圓內(nèi)的正實軸上，暫態(tài)響應(yīng)單調(diào)衰減；⑷極點在單位圓內(nèi)的負實軸上，暫態(tài)響應(yīng)正負交替衰減；⑸極點在單位圓與正實軸交點上，暫態(tài)響應(yīng)等幅振蕩；⑹極點在單位圓外的負實軸上，暫態(tài)響應(yīng)正負交替振蕩；35第三十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五36第三十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五37第三十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五圖4．10可以說明系統(tǒng)動態(tài)特性。

⑴復(fù)極點在單位圓外，暫態(tài)響應(yīng)發(fā)散振蕩；⑵復(fù)極點在單位圓上，暫態(tài)響應(yīng)等幅振蕩；⑶復(fù)極點在單位圓內(nèi)，暫態(tài)響應(yīng)衰減振蕩；綜上所述，對離散系統(tǒng)的極點分布的討論：1.為了具有滿意的瞬態(tài)特性，閉環(huán)極點應(yīng)避免在z平面單位圓的左半部，尤其避免靠近負實軸，最好分布在單位圓的右半部，靠近原點最佳，此處響應(yīng)速度最快。2.極點越接近z平面的單位圓，瞬態(tài)響應(yīng)衰減越慢。2.閉環(huán)復(fù)極點對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響38第三十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五3.用脈沖傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)實例求此系統(tǒng)在K=1，T=1秒時的單位階躍響應(yīng)，畫出系統(tǒng)響應(yīng)曲線解：1、求系統(tǒng)求出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G（Z）2、求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)3、求出系統(tǒng)輸出函數(shù)的Z變換4、采用長除法（或MATLAB）求輸出序列Y（KT）并畫出系統(tǒng)響應(yīng)曲線39第三十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五40第四十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五由Z變換定義知系統(tǒng)輸出序列為：41第四十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五MATLAB程序num=[0.368,0.264];den=[1,-1,0.632];dstep(num,den,50)42第四十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)在單位階躍輸入下調(diào)整時間約為12S，超調(diào)量約為40%，

峰值時間為3S，振蕩次數(shù)為1.5次，穩(wěn)態(tài)誤差為0。

43第四十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

4.3計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差

一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義和系統(tǒng)類型二、典型信號輸入下線性離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算

1.單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

2.單位速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

3.單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差44第四十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義和系統(tǒng)類型穩(wěn)態(tài)誤差的定義:45第四十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)146第四十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)2:計算機控制系統(tǒng)47第四十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。

與輸入信號的類型有關(guān)。

離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期選取有關(guān)，但對于具有零階保持器的離散系統(tǒng)其穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期T沒有關(guān)系，采樣周期T只影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。48第四十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五線性定常離散系統(tǒng)的分類為簡化穩(wěn)態(tài)誤差的計算過程，將連續(xù)系統(tǒng)中系統(tǒng)型別和靜態(tài)誤差系數(shù)的概念加以推廣至定常離散系統(tǒng)。

在離散系統(tǒng)中，按其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中

在z=1處的極點數(shù)作為劃分離散系統(tǒng)型別的標準，把稱為0型，1型，2型離散系統(tǒng)。

49第四十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

S平面上S=0的極點對應(yīng)著Z平面上Z=1的極點，對于具有零階保持器的系統(tǒng)，S平面上S=0的極點個數(shù)等于Z平面上Z=1的極點數(shù)，即連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)零階保持器離散后系統(tǒng)類型不變。50第五十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五建立離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念。

⑴單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差；

⑵單位速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差；

⑶單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。

二、典型信號輸入下線性離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算51第五十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差“０”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處無極點，即無積分環(huán)節(jié)，Ｋp為有限值，穩(wěn)態(tài)誤差也為有限值．“Ⅰ”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處有一個極點，即有一積分環(huán)節(jié)，Ｋp為無窮大，穩(wěn)態(tài)誤差為零．高于“Ⅰ”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處有多個極點，即有多個積分環(huán)節(jié)，Ｋp為無窮大，穩(wěn)態(tài)誤差為零．52第五十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五單位速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差“０”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處無極點，即無積分環(huán)節(jié)，Ｋv為0，穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大．“Ⅰ”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處有一個極點，即有一積分環(huán)節(jié)，Ｋv為有限值，穩(wěn)態(tài)誤差為有限值．高于“Ⅰ”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處有多個極點，即有多個積分環(huán)節(jié)，Ｋv為無窮大，穩(wěn)態(tài)誤差為零．53第五十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差“０”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處無極點，即無積分環(huán)節(jié)，Ｋa為0，穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大．“Ⅰ”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處有一個極點，即有一積分環(huán)節(jié)，Ｋa為0，穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大．“Ⅱ”型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)在z=1處有兩個極點，即有兩個積分環(huán)節(jié)，Ｋa為有限值，穩(wěn)態(tài)誤差為有限值．54第五十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五不同型別單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

55第五十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析的幾點注意1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差只能在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得，系統(tǒng)不穩(wěn)定就無所謂穩(wěn)態(tài)誤差2、穩(wěn)態(tài)誤差為無限大并不等于系統(tǒng)不穩(wěn)定、它只表明系統(tǒng)不能跟蹤該輸入信號3、系統(tǒng)型號越高（前向通道中含積分環(huán)節(jié)多）跟蹤輸入信號的能力越強，但積分環(huán)節(jié)越多系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)越差。4、據(jù)分析證明：具有零階保持器的離散系統(tǒng)其穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期T沒有關(guān)系，采樣周期T只影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。56第五十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五線性離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算有兩種方法：1、根據(jù)定義

對于某些系統(tǒng)（如帶有干擾信號的系統(tǒng)）的穩(wěn)態(tài)誤差分析只能采用這種方法2、根據(jù)離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)線性離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算實例57第五十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五1、利用穩(wěn)定性判據(jù)判定系統(tǒng)在不同T=1及k=1時的穩(wěn)定性2、試求系統(tǒng)在單位階躍、單位速度、單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差58第五十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五方法一：定義法將不同輸入信號的R（Z）、G（Z）及系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)代入計算即可59第五十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五方法二：本系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：系統(tǒng)含有一個積分環(huán)節(jié)為一型系統(tǒng)60第六十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五單位加單位階躍輸入時：單位單位階躍輸入時：單位加單位階躍輸入時：61第六十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

4.4離散系統(tǒng)的根軌跡和頻率特性

1.離散系統(tǒng)的根軌跡

在連續(xù)系統(tǒng)中，根軌跡法是分析和設(shè)計線性定常控制系統(tǒng)的一種常用方法。由于其可以非常直觀方便地分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性及動態(tài)特性等，所以在工程實踐中獲得了廣泛的應(yīng)用。連續(xù)系統(tǒng)根軌跡是研究開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上變化的軌跡。離散系統(tǒng)根軌跡是研究離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)某一參數(shù)從零變到無窮大時，閉環(huán)離散系統(tǒng)特征方程的根在Z平面上變化的軌跡。62第六十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五考慮線性定常離散系統(tǒng)，如圖4.13所示。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為該系統(tǒng)的特征方程為63第六十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五繪制離散系統(tǒng)根軌跡的基本原則：

1、根軌跡起于開環(huán)傳遞函數(shù)MG(z)的極點，終于開環(huán)MG(z)的零點；

2、實軸上的某一區(qū)域，若其右側(cè)開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。

3、根軌跡對稱于實軸。

4、漸近線的個數(shù)等于開環(huán)脈沖傳函數(shù)的極點與零點個數(shù)之差。

5、根軌跡的分離點由下式求解64第六十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五6、根軌跡和單位園交點的K值可以采用穩(wěn)定性判據(jù)來判定。7、兩個開環(huán)極點（實數(shù)或復(fù)數(shù)）和附近一個有限零點的根軌跡是以零點為圓心，零點到分離點距離為半徑的圓周或部分圓周。65第六十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五兩個實數(shù)極點和一個零點的根軌跡K=150.6566第六十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五離散系統(tǒng)根軌跡的MATLAB算法一k=0:0.01:16n=[0.3680.264]d=[1-1.3680.368]r1=rlocus(n,d,k)plot(real(r1),imag(r1),'x')title('RootLocus')67第六十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五離散系統(tǒng)根軌跡的MATLAB算法二z=[-0.717]d=[10.368]k=0.368H=zpk(z,p,k,-1)rlocus(H),v=[-2.5,2.5,-2,2];axis(v)title('RootLocus')68第六十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

2.離散系統(tǒng)頻率特性

在連續(xù)系統(tǒng)中，頻域分析法是應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法。只要將傳遞函數(shù)中的s用jw置換，就可以得到相應(yīng)的頻率特性。頻率特性有幅頻特性、相頻特性。在連續(xù)系統(tǒng)中，某一個環(huán)節(jié)的頻率特性為

69第六十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五離散系統(tǒng)中，某一個環(huán)節(jié)的頻率特性定義為

離散系統(tǒng)