2023年交通大學(xué)高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,則集合4（/仆為中的元素共有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

2.已知tana=,貝汁()

V2Jy2J1-sin2/3

c71八冗

A.2a+0=—B.a+(3^—

C兀

C.a—0二一D.a+2j3=^

4

3.在一個(gè)數(shù)列中，如果都有叫《田可+2=女（A為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，%叫做這個(gè)數(shù)列的

公積.已知數(shù)列｛4｝是等積數(shù)列，且4=1,4=2,公積為8,則4+%+…+%)20=()

A.4711B.4712C.4713D.4715

4.過(guò)拋物線f=2py（。>0）的焦點(diǎn)且傾斜角為a的直線交拋物線于兩點(diǎn)4B.\AF\=2\BF\,且A在第一象限,

則cos2a=（）

A石R2rZn2G

5595

-）

5.已知函數(shù)人x）=一、-2"+3，”4］若關(guān)于丫的方程兀0=乙一_1恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)A的取值范圍

lnx,x>l2

是（）

6.總體由編號(hào)01,,02,…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1

行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

7.定義在K上的偶函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(工+2)=f(x),當(dāng)x￡[-3,-2]時(shí)，/(x)=-x-2,則()

A./卜i吟卜/[cos?]B./(s加3)V/(cos3)

C./(si”/)〈/(cos?)D.f(2020)>f(2019)

8.在等差數(shù)列{叫中，若4=4,%=8,則%=()

A.8B.12C.14D.10

9.已知集合知={刈丁=Ji藁},N={xeN|4—爐20},則用心"為()

A.[1,2]B.{0,1,2}C.{1,2}D.(1,2)

10.為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)繪制如圖，其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù).若

該市老年低收入家庭共有900戶(hù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

共論傳驚&￡9%

4業(yè)—.匕56%

—<18歲蟹幼童IX

AMw/MW?

>18"在it

從此人

A.該市總有15000戶(hù)低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶(hù)

C.在該市無(wú)業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶(hù)

D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶(hù)

c?riv

11.已知函數(shù)/■（x）=「7—的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重

1+2sinx

合的變換方式有（）

①繞著x軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°;

②沿x軸正方向平移；

③以x軸為軸作軸對(duì)稱(chēng)；

④以x軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱(chēng).

A.①③B.③④C.②③D.②④

12.已知色一=a+2i(awR),i為虛數(shù)單位，則。=()

l-2i

A.6B.3C.1D.5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.正四面體A—BCD的各個(gè)點(diǎn)在平面M同側(cè)，各點(diǎn)到平面M的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長(zhǎng)為

14.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-ABCQi中，E是正方形BBC。的中心，/為G。的中點(diǎn)，過(guò)4加的平面。與

直線OE垂直，則平面a截正方體ABC。-所得的截面面積為.

15.已知實(shí)數(shù)a力滿(mǎn)足a+6,=泮|9(i為虛數(shù)單位)，則。+力的值為.

16.已知函數(shù)/(x)=ae'+x2—8x的圖象在(0,7(0))處的切線斜率為T(mén),貝心=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元，乙設(shè)備每臺(tái)9000

元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對(duì)于每臺(tái)設(shè)備，一年間三次及三次以?xún)?nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過(guò)的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在

50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)23456

甲設(shè)備5103050

乙設(shè)備05151515

(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買(mǎi)和一年間維修的花費(fèi)總額分別為x和y,求x和y的分布列；

(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購(gòu)買(mǎi)和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購(gòu)買(mǎi)哪種

設(shè)備？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(12分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)“力=卜_2|

(I)解不等式/(X)+/(2X+1)N6；

/、41

(H)對(duì)a+》=l(a,Z?＞0)及\7xeR,不等式/(x-m)—/(-刈4一+：恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

ab

19.(12分)如圖，在正四棱錐P-ABC。中，底面正方形的對(duì)角線AC,80交于點(diǎn)。且。

2

(1)求直線BP與平面PC。所成角的正弦值；

(2)求銳二面角B-PD-C的大小.

221

20.(12分)已知橢圓C：鼻r+方=1(。＞力＞0),點(diǎn)A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P(2,3)為。上一點(diǎn)，離心率e=,

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線/與。的另一個(gè)交點(diǎn)為8(異于點(diǎn)P),是否存在直線/,使得以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,若

存在，求出直線/的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

21.(12分)已知函數(shù)4(x)=e'"sin3x),設(shè)力(x)為九(x)的導(dǎo)數(shù)，〃eN*.

(1)求工(力，力(%);

(2)猜想力(x)的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.

22.(10分)設(shè)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，1,=叫+(〃—1)4+~+261+?！埃阎?1,4=4,(1)求數(shù)列｛q｝的首

項(xiàng)和公比；(2)求數(shù)列｛7；｝的通項(xiàng)公式.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

【解析】

試題分析：。=4。8={3,4,5,7,8,9},4r^3={4,7,9},所以&(4r^3)={3,5,8},即集合Q(Ac8)中共有3個(gè)

元素，故選A.

考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.

【解析】

利用二倍角公式，和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)可得tana=2t=tan[f+/?],即可求得結(jié)果.

1-sin24

【詳解】

cos2^_cos?用一sin?/_1+tan（3

=tan匕+尸,

1-sinIpcos2/?+sin2/？-2sin/ycos/?1-tan/?

所以。=々TT+尸，即。一萬(wàn)=T^T.

44

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù)，難度較易.

3.B

【解析】

計(jì)算出生的值，推導(dǎo)出％+3=4(“eN*),再由2020=3x673+1,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列{4}的前2020項(xiàng)

【詳解】

4

由題意可知44,+巡“+2=8，則對(duì)任意的〃eN*，鳳工0，則^a2a3=8,：.%=---=,

aia2

由=8,得4+4+24+3=8，???《4+4+2=%%+2%+3，?.?%=an，

:2020=3x673+1,因此，4+/H---1~。2020=673（q+/+/）+q=673x7+1=4712.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等

題.

4.C

【解析】

AF

作BBJI；BEJ.AA,,由題意sina=^1,由二倍角公式即得解.

【詳解】

由題意，尸［仇日＞準(zhǔn)線/：y=-g

作AA|J_/,BB,VI-BELAA,,

設(shè)怛q=忸4|=乙

故I蜴=|A4j=2r,|AE|=r,

.AE1cic?27

sina==—=cos2a=1—2sin~a=—.

AB39

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

5.D

【解析】

由已知可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：y=f(x)的圖象和直線》=履一；有4個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線

一』的下方，即可求得：《＞?；再求得直線和y=/〃x相切時(shí)，*=—；結(jié)合圖象即可得解.

222e

【詳解】

若關(guān)于X的方程/(x)=丘一!恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則y=/(x)的圖象和直線有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖,

.\Jlxl-l>0,解得

22

當(dāng)直線y=Ax—；和相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，”，

,11

,lnm+—1.r

則nilA=2=9,?m=Ie?

m

m

此時(shí)，《=▲=立，式X)的圖象和直線y=有3個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件,

me2

故選D..

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力，屬于難題.

6.D

【解析】

從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01,所以第5個(gè)個(gè)體是01,選D.

考點(diǎn)：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用能力.

7.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及xG[-3,-2]的解析式，可作出函數(shù)/(1)在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

由/(x+2)=/(x),得/(x)是周期函數(shù)且周期為2,

先作出f(x)在xG[-3,-2]時(shí)的圖象，然后根據(jù)周期為2依次平移，

并結(jié)合/(x)是偶函數(shù)作出/(X)在R上的圖象如下，

y(

7XZ<7\7V-

-4-3-2T01234

選項(xiàng)A,0<sin—=—<=cos—<1,

6226

所以『選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B,因?yàn)橐?V%，所以O(shè)Vs023V—cos3V1,

42

所以/(si〃3)<f(-cos3),即f(si〃3)<f(cos3),選項(xiàng)B正確;

立木c?4〃64萬(wàn)I1.4〃4萬(wàn)八

愈壩C9sin——----,cos———,I>—sin—>—cos—>()，

323233

所以/(一si〃午47，即/(si〃當(dāng)

-cos——

3

選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D,/(2020)=/(0)</(l)=/(20l9),選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)值的大小比較，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

8.C

【解析】

將的，%分別用4和。的形式表示，然后求解出q和d的值即可表示的?

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4,公差為4,

4+1=4,

則由a,=4,%=8,得°,。解得4=2,4=2,

%+3"=8,

所以%=q+6d=14.故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)的值，可通過(guò)構(gòu)建％和d的方程組求通項(xiàng)公式.

9.C

【解析】

分別求解出M,N集合的具體范圍，由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)榧狭?{%|%之1},N={xeN|-24x42}={0,1,2},

所以Mp|N={l,2}

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.

10.D

【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶(hù)，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000（戶(hù)），A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000x12%=1800（戶(hù)），B正確，

該市無(wú)業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350（戶(hù)），C正確，

該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000x4%=600（戶(hù)），D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)和分析，這類(lèi)題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基

礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

計(jì)算得到/（x+2版■）=/（x）,+j，故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對(duì)稱(chēng)圖形，故②④正確，根據(jù)圖像

知①③錯(cuò)誤，得到答案.

【詳解】

?。?.，/（x+2^.sin（x+2Hsin^^包

l+2sinxl+2sin（x+2Z乃）l+2sinjc

當(dāng)沿x軸正方向平移個(gè)單位時(shí)，重合，故②正確;

cosx

l+2cosx

故/（1一，1=/|?!+11，函數(shù)關(guān)于x=f對(duì)稱(chēng)，故④正確；

根據(jù)圖像知：①③不正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)和圖像的綜合應(yīng)用.

12.C

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

由---=a+2i,得l+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.y/10

【解析】

不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,8到面的距離分別為1,2,3,4,平面M向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過(guò)點(diǎn)O,與4B,

4c分別相交于點(diǎn)E,F,根據(jù)題意尸為中點(diǎn)，E為48的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,設(shè)棱長(zhǎng)為a,求得

匕=』x@a2xX5a=走再用余弦定理求得：EF,DEDF,cosZEDF,從而求得

Da324372

2

Sm.-^-xDExDFxsinZEDF^-x^-ax^-ax^^—a,再根據(jù)頂點(diǎn)A到面EOF的距離為1,得到

皿2232V2112

匕=工xSx1=2x且/*1=亞/，然后利用等體積法v=V求解，

/I-E.UI4LUIQICC，

jj123。

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,

平面”向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過(guò)點(diǎn)。，與AC分別相交于點(diǎn)E,F,如圖所示:

B

由題意得：尸為中點(diǎn)，E為A8的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,

設(shè)棱長(zhǎng)為a，S=—x—x—xsin60c=—a2>

*AEF22324

頂點(diǎn)。到面ABC的距離為d

所以％TEF=心屋又凡=工,

D-AEF324372

7

由余弦定理得：EF2--a1+—CT-2x—ax—tzxcos60-—a2,DE2=—cr+a2—2xax—axcos609-

49233693

/Lc.DE2+DF2-EF2

D八FE=—1a2+,a2-2cxax—1axcos6/0=-3a2,cosZEDF=---------------=-；=4,

4242DEDF⑨

所以sinNEDF=更,所以S日以=-><DExDFxsinZEDF=-x—ax—ax^==—a2,

V2l皿2232V2112

又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為1,

所以匕-EDF=]*S?EDFX1J旦”=旦2

31236

因?yàn)?-AM=匕-?！甓?，

所吟尋,

解得a-V10,

故答案為：Vio

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何體的切割問(wèn)題以及等體積法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運(yùn)算求解的能力，屬于

難題，

14.2后

【解析】

確定平面AA/CN即為平面a,四邊形是菱形，計(jì)算面積得到答案.

【詳解】

如圖，在正方體ABC?！狝4CR中，記AB的中點(diǎn)為N,連接MC,CN,M4,,

則平面4MCN即為平面a.證明如下：

由正方體的性質(zhì)可知，\MHNC,則A，M,CN,N四點(diǎn)共面，

記CG的中點(diǎn)為尸，連接。尸，易證_LMC.連接所，則EFLMC,

所以平面則DE_LMC.

同理可證，DELNC,NCHMC=C,則平面A^CN,

所以平面4MCN即平面a,且四邊形4MCN即平面a截正方體ABC。-AgG?所得的截面.

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,易知四邊形AMCN是菱形，

其對(duì)角線4。=26，MN=2g，所以其面積S=gx2狡乂26=26.

故答案為：2瓜

DxMG

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方體的截面面積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

15.-1

【解析】

由虛數(shù)單位i的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得。，〃的值，則答案可求.

【詳解】

解：由/=i,i~=—1?z3=—i?i4=1

所以4+方=嚴(yán)W=a")5%『=T,

得a=0,b=—l.

:.a+b=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查虛數(shù)單位i的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.4

【解析】

先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，再根據(jù)圖象在(0,f(0))處切線的斜率為-4,得f，(())=-4,由此可求a的值.

【詳解】

由函數(shù)」(力=%\3一8兀得r(x)=a/+2x—8,\?函數(shù)f(x)的圖象在(0,f(0))處切線的斜率為-4,

/./'(0)=￡Z-8=-4,,-.a=4.

故答案為4

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)曲線上在某點(diǎn)切線方程的斜率求參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)X分布列見(jiàn)解析，V分布列見(jiàn)解析；(2)甲設(shè)備，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,y的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列;

(2)計(jì)算期望，得至!!E(X)=E(y)=10800,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為4，〃，計(jì)算分布列，計(jì)算

數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=^^=—,P(X=11000)=-=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

P

105w

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

p(y=9ooo)=—=—,p(y=ioooo)=—,p(y=11000)=—p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

p

10101010

331

(2)E(X)=10000x—+11000x-+l2000x—=10800

10510

1333

E(r)=9000x—+10000x—+11000x—+12000x—=10800

10101010

設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為J,7

J的可能取值為2,3,4,5

P(^=2)=—=—,P(^=3)=—=-,P(^=4)=—=-,P(^=5)=—=—

50105055055010

則J的分布列為

2345

12_31

p

105510

1131

E(^)=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值為3,4,5,6

3_3

P(ri————-J-P(n-4)="=_p(n—515_磊,P(〃=6

J1，rf一J絲-

"50105010\1=50=50'lo

則77的分布列為

73456

1333

p

1010io10

1333

￡(n)=3x—+4x—+5x—+6x—=4.8

10101010

由于E(X)=E(Y),因此需購(gòu)買(mǎi)甲設(shè)備

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

18.(I)(-oo,-l]U[3,+co).

(II)-13</n<5.

【解析】

CC1

3-3x,x<—,

2

詳解：(I)/(x)+/(2x+l)=|x-2|+|2x-l|=<x+l,—<x<2,

2

3x-3,x>2.

當(dāng)犬<,時(shí)，由3—3x26,解得尢工一1；

2

當(dāng),工工(2時(shí)，工+126不成立；

2

當(dāng)x>2時(shí)，由3%一326,解得

所以不等式f(x)>6的解集為U[3,+8).

(II)因?yàn)閍+Z?=1(〃,/?>0),

而1/人(41)<4力。、<o)4ba八

所以—I—=(Q+b)—I—=5H----1—之5+2J------=9.

ab\ab)ah\ah

由題意知對(duì)卜一2一時(shí)一卜1一2歸9,

gp(|x-2-m|-|-x-2|)n)ax<9,

因?yàn)椤?一”,一|—x—2|—2—一(x+2)|=|-4—時(shí)，

所以一94加+4<9,解得一13WmW5.

【點(diǎn)睛】

(1)絕對(duì)值不等式解法的基本思路是：去掉絕對(duì)值號(hào)，把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解，轉(zhuǎn)化的方法一般有：①絕對(duì)值定

義法；②平方法；③零點(diǎn)區(qū)域法.

⑵不等式的恒成立可用分離變量法.若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍.這種方法本質(zhì)也是求最值.一般有:

①/(x)<g(a)(a為參數(shù))恒成立og(a)>/(x)max

②f(x)>g(a)(a為參數(shù))恒成立=g(a)</(x)max.

19.(1)(2)60°.

3

【解析】

(1)以O(shè)E,OF,OP分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2,再求解而與平面PC。的法

向量,繼而求得直線8P與平面PCD所成角的正弦值即可.

(2)分別求解平面BPD與平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.

【詳解】

解：(1)在正四棱錐P-4BC。中,底面正方形的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。，

所以O(shè)P_L平面ABC。,取A3的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)F,

所以O(shè)P,OE,OF兩兩垂直,故以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以O(shè)E,OF,OP分別為x軸,軸,二軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2,

因?yàn)椤?/p>

2

所以。P=L

所以3(1,1,O),C(-1,1,0),0(-1,-1,0),P(0,0,1),

所以麗=(-l,T,l),

設(shè)平面PCD的法向量是〃=(x,y,z),

因?yàn)辂?(0,—2,0),而

所以前不=-2)，=0,而?Qx-y+z=O,

取x=l,則y=O,z=-1,

所以3=(1,0,-1)

BPn_V6

所以cos<BP,ri>=MH=T

所以直線BP與平面PC。所成角的正弦值為旦.

3

⑵設(shè)平面BPD的法向量是n=(x,y,z),

因?yàn)锽P=(-1,-1,1),BD=(-2,-2,1),

所以BP?/?=-x-y+z=(),BD-〃=-2jc-2y=0,

取x=l,貝ijy=T,z=0,

所以3=(1,TO),

由(1)知平面PCD的法向量是7=(1,0,-1),

j、m-n1

所以cos<m,n>=pp=-

所以〈欣云>=6()。，

所以銳二面角B-PD?。的大小為60°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解線面夾角以及二面角的問(wèn)題，屬于中檔題.

Y2V21?

20.(1)一+—=1；(2)存在，y=----x——

1612105

【解析】

(D把點(diǎn)P(2,3)代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率，可得a,b,c的關(guān)系，可得橢圓的方程；

(2)設(shè)出直線/的方程，代入橢圓，運(yùn)用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)8的坐標(biāo)，再由麗.麗=0,可求得直線的方程,要注意

檢驗(yàn)直線是否和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).

【詳解】

49,a1=16

/+乒=122

（1）由題可得，〃=i2,所以橢圓。的方程二+2_=i

C_121612

c=4yl

a2

（2）由題知A（y,O）,設(shè)8（%,%）,直線/的斜率存在設(shè)為我,

則/：y=Q+4）與橢圓十+%1聯(lián)立得(3