狀態(tài)變量與狀態(tài)方程

第八章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析前面幾章的分析方法稱為外部法，它強(qiáng)調(diào)用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性。其特點(diǎn)：適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部情況一無所知，也無法控制。本章將介紹的內(nèi)部法——狀態(tài)變量法是用n個(gè)狀態(tài)變量的一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來描述系統(tǒng)。優(yōu)點(diǎn)有：提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；一階方程組便于計(jì)算機(jī)數(shù)值求解。并容易推廣用于時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。內(nèi)部法——狀態(tài)變量法§8.1

狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念從一個(gè)電路系統(tǒng)實(shí)例引入R1

iL1

L1iL2

L2

R2iCuCus1us2au以u(píng)(t)和i

(t)為輸出C若還想了解內(nèi)部三個(gè)變量uC(t),iL1(t),iL2(t)的變化情況。這時(shí)可列出方程+

iL

2

-

iL1

=

0d

tC

duCaS1CL1+

u

-

u

=

0d

td

iR1iL1

+

L12CS

22

L

2L

2+

R

i

+

u

-

u

=

0d

td

iL=2

22111

1S

2

L

2CS1

L1CCLL=

1

u

-

R2

i

-

1

ud

t

LLL-

R1

i

+

1

uLd

td

iL

2d

iL1

=

-

1

uCiL1

-

iL

2d

t

Cd

u

12

2

21111S

2

L

2CS1

L1C

C

=L

L=

1

u

-

R2

i

-

1

ud

t

LLL=

-

1

u

-

R1

i

+

1

uLd

td

iL

2iL

2iL1

-d

t

C

Cd

iL1d

u

1R2R1

iL1

L1iL2

L2iCuCus1us2au這是由三個(gè)內(nèi)部變量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)構(gòu)成的一階微分方程組。若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，則根據(jù)t≥t0時(shí)的給定激勵(lì)uS1(t)和uS2(t)就可惟一地確定在t≥t0時(shí)的解

uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。i

(t)

=

i

(t)

-

i

(t)

C

L1

L2u(t)

=

R2

iL2

(t)

+

u

S

2

(t)系統(tǒng)的輸出容易地由三個(gè)內(nèi)部變量和激勵(lì)求出：一組代數(shù)方程狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義系統(tǒng)在某一時(shí)刻t0的狀態(tài)是指表示該系統(tǒng)所必需最少的一組數(shù)值，已知這組數(shù)值和t≥t0時(shí)系統(tǒng)的激勵(lì)，就能完全確定t≥t0時(shí)系統(tǒng)的全部工作情況。狀態(tài)變量是描述狀態(tài)隨時(shí)間t變化的一組變量，它們?cè)谀硶r(shí)刻的值就組成了系統(tǒng)在該時(shí)刻的狀態(tài)。2

221111S

2

L

2CS1

L1C

C

=LL-

R2

i

-

1

ud

t

Ld

iL

2

=

1

uLL=

-

1

u

-

R1

i

+

1

uLiL1

-

iL

2d

t

C

Cd

iL1d

td

u

1在初始時(shí)刻的值稱為初始狀態(tài)。對(duì)n階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)需有n個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，通常用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。說明：系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入的線性組合；狀態(tài)變量應(yīng)線性獨(dú)立；狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的。二、狀態(tài)方程和輸出方程在選定狀態(tài)變量的情況下，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時(shí)，一般分兩步進(jìn)行：第一步是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量；第二步是用這些狀態(tài)變量來確定初始時(shí)刻以后的系統(tǒng)輸出。狀態(tài)變量是通過求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來得到，該一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。狀態(tài)方程描述了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和激勵(lì)之間的關(guān)系。而描述輸出與狀態(tài)變量和激勵(lì)之間關(guān)系的一組代數(shù)方程稱為輸出方程。通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動(dòng)態(tài)方程或系統(tǒng)方程。動(dòng)態(tài)方程的一般形式{xi(t0)}f1(t)f2(t)fp(t)y1(t)y2(t)yq(t)┇┇n階多輸入-多輸出LTI連續(xù)系統(tǒng)，如圖。其狀態(tài)方程和輸出方程為xxn

=

an1

x1

+

an2

x2

+

+

ann

xn

+

bn1

f1

+

bn2

f

2

+

+

bnp

f

p

2

p p

=

a21x1

+

a22

x2

+

+

a2n

xn

+

b21

f1

+

b22

f

2

+

+

b

f2x1

=

a11x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

+

b11

f1

+

b12

f

2

+

+

b1

p

f

pyq

=

cq1

x1

+

cq2

x2

+

+

cqn

xn

+

dq1

f1

+

dq2

f

2

+

+

dqp

f

p

2

p p

y2

=

c21x1

+

c22

x2

+

+

c2n

xn

+

d

21

f1

+

d

22

f

2

+

+

d

fy1

=

c11x1

+

c12

x2

+

+

c1n

xn

+

d11

f1

+

d12

f

2

+

+

d1

p

f

p矩陣形式狀態(tài)方程輸出方程x

(t)

=

Ax(t)

+

Bf

(t)y(t)

=

Cx(t)

+

Df

(t)其中A為n×n方陣，稱為系統(tǒng)矩陣，B為n×p矩陣，稱為控制矩陣