2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試數(shù)學（文）試卷含答案

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試數(shù)學（文）試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1>已知集合4={x|》一2>1},B={xlx>a］,若則。的取值范圍為（）

A.(-00,3)B.(-oo,3]C.(3,4-co)D.f3,4-oo)

2、若復數(shù)z滿足z+2^=3+i,則z=()

A.1+iB.-3+iC.-3-iD.l-i

3、在等差數(shù)列｛%｝中，/+%=4=16,則｛q｝的公差d=()

Q1n

A.-B.3C.—D.4

33

3x—5y+320,

4、若實數(shù)x,y滿足約束條件,2x+y+2N0,則2=%+>的最大值為()

5x-4y-8<0,

A.-2B.lC.7D.9

5、隨著生活水平的不斷提高，旅游已經(jīng)成為人們生活的一部分.某地旅游部門從2022

年到該地旅游的游客中隨機抽取10000位游客進行調查，得到各年齡段游客的人數(shù)和

旅游方式，如圖所示，則下列說法不正確的是（）

A.估計2022年到該地旅游的游客中中年人和青年人占游客總人數(shù)的80%

B.估計2022年到該地旅游的游客中選擇自助游的游客占游客總人數(shù)的26.25%

C.估計2022年到該地旅游且選擇自助游的游客中青年人超過一半

D.估計2022年到該地旅游的游客中選擇自助游的青年人比到該地旅游的老年人還要多

6、函數(shù)y=e%in|x|在區(qū)間［-2兀,2兀］上的圖象大致是（）

7、在正方體ABC。-中，E,F,G分別為AA1,B￡,G"的中點，則異面

直線OE與FG所成角的余弦值為（）

8、已知直線％=-。是函數(shù)”x）=2sin（2x+0）（附〈四）圖象的一條對稱軸，則/（%）在

62

0,^上的值域為（）

A.[-l,l]B.[l,2]C.（-l,2]D.[-l,2]

9、等比數(shù)列｛q,｝的各項均為正數(shù)，且a4a5=8，則log44+log4a2++log4?8=（）

A.8B.6C.4D.3

10、在棱長為2的正方體A6CO—AgG2中，M，N,尸分別為84，CD,AB的中

點，則三棱錐B-MN尸的外接球的體積為（）

A.#B.yf6TtC.y/3TlD.2血兀

11、設a=l.l,A=e。/，c=lnl.le,則（）

X.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c

r2v2

12、已知O是坐標原點，尸是雙曲線及二-七的左焦點，平面內(nèi)一

a"b"

點用滿足是等邊三角形，線段“尸與雙曲線上交于點N,且|MN|=|N/|,則

雙曲線E的離心率為()

AV13+1口V13-1「2厲+2n2厲+1

3277

二、填空題

13、已知向量a=(x,3),b-(6,-8),若a_Lb,則|。|=.

14、南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的

軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的

深度為3cm,則該拋物線的焦點到準線的距離為cm.

15、2023年杭州亞運會需招募志愿者，現(xiàn)從甲、乙等5名志愿者中任意選出2人開展

應急救助工作，則甲、乙2人中恰有1人被選中的概率為.

16、已知函數(shù)=2+ox-alnx,若恒成立，則a的取值范圍為

三、解答題

17、在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,已知。=工，

4

3a2-3c2=b2.

⑴求tan8的值；

(2)若a=8,求△ABC的面積.

18、赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的種子中合成，其作用是促進細胞的生長，使得植

株變高，每粒種子的赤霉素含量x(單位：ng/g)直接影響該粒種子后天的生長質量.現(xiàn)

通過生物儀器采集了赤霉素含量分別為10,20,30,40,50的種子各20粒，并跟蹤

每粒種子后天生長的情況，收集種子后天生長的優(yōu)質數(shù)量y(單位：粒)，得到的數(shù)據(jù)如

下表：

赤霉素含

1020304050

量X

后天生長

的優(yōu)質數(shù)237810

量y

(1)求y關于x的線性回歸方程；

⑵利用⑴中的回歸方程，估計1000粒赤霉素含量為60ng/g的種子后天生長的優(yōu)質數(shù)

量.

X(x..-x)(x-y)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=J----------，

i=l

a=y-bx.

19、如圖，P為圓錐的頂點，AB,CO為底面圓兩條互相垂直的直徑，E為的中點.

(1)證明：平面平面PCD

(2)若AB=4,且直線CE與平面PC。所成角的正切值為亞，求該圓錐的體積.

20>已知函數(shù)/(x)=xlnx+x3.

(1)求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)若y(x)2i對任意的XN加恒成立，求〃?的取值范圍.

2

21、已知橢圓上+>2=1,斜率為2的直線/與橢圓交于A,8兩點.過點3作的垂

2

線交橢圓于另一點C,再過點。作斜率為-2的直線交橢圓于另一點D

(1)若A為該橢圓的上頂點，求點8的坐標；

(2)證明：直線AO的斜率為定值.

22、［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

在直角坐標系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為卜c°sa，(&為參數(shù)).在以坐標原

y=1+J2sina

點為極點，X軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C與極軸相交于0,A兩點.

(1)求曲線。的極坐標方程及點A的極坐標；

(2)若直線/的極坐標方程為。=；,曲線C與直線/相交于。，8兩點，求△OAB的面

積.

23、［選修4-5：不等式選講］

已知函數(shù)/(x)=|x+〃|+|x-3|.

(1)當。=2時，求不等式的解集；

(2)若不等式/(x)4ga+5的解集非空，求。的取值范圍.

參考答案

1、答案：B

解析：因為A={x|x>3},A^B,所以aW3.

2、答案：D

解析：設2=。+詡，a,b&R,則z+2z=3“一萬=3+i,解得a=l,b--l,故z=l—i.

3、答案：A

Q

解析：因為/+%=G=2%=16,所以%—%=3。=8,則d=§.

4、答案：C

解析：作出不等式組所對應的可行域（圖略），可知當直線2=%+〉經(jīng)過點（4,3）時，取

得最大值7.

5、答案：D

解析：設2022年到該地旅游的游客總人數(shù)為a,

由題意可知游客中老年人、中年人、青年人的人數(shù)分別為0.2a,0.35m0.45a,

其中選擇自助游的老年人、中年人、青年人的人數(shù)分別為0.04m0.0875a,0.135a,

所以2022年到該地旅游的游客中中年人和青年人的人數(shù)為0.35a+0.45a=0.8a,所以

A正確；

因為2022年到該地旅游的游客選擇自助游的人數(shù)為

0.04a+0.0875a+0.135a=0.2625a,所以B正確；

因為2022年到該地旅游且選擇自助游的游客的人數(shù)為0.2625a,其中青年人的人數(shù)為

0.135a,所以C正確；

因為2022年到該地旅游的游客中選擇自助游的青年人的人數(shù)為0.135a,而到該地旅游

的老年人的人數(shù)為0.2a,所以D錯誤.

6、答案：B

解析：因為/（一%）=』%也|一工|=*5也|月=/@）,所以函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，排除A,

C.

又/圖=4x（-1）<0,所以排除D.故選B.

7、答案：B

解析：連接80,BE（圖略），則NBDE即為異面直線OE與尸G所成角.

設正方體的棱長為2,則8￡=。E=君，BD=26,

則cosNBDE=空=典，即異面直線OE與尸G所成角的余弦值為典.

IDE55

8、答案：D

解析：由題可知，一]+°=^+也，keZ,即c=1+E,丘Z.因為網(wǎng)?所以

71

(P=--?

6

由04xW二，W-—2x--<—,則2sin(2x-21e[-1,2].

2666\6J

9、答案：B

1(46

解析：因為a4a5=8，所以logg%+log4a2++>§4?8=log48=log44=6.

10、答案：B

解析：由題知M7/BC,因為BCJ_平面,所以NF_L平面AABg,

因為"Eu平面4A6瓦，所以NF_LW,又MBLBN,

所以RtZ\NFM和有公共的斜邊MN,

設MN的中點為O,則點。到M,N,B,尸的距離都相等，

所以點。為三棱錐3-MN/外接球的球心，MN為該球的直徑，

所以2R=dB(j2+CN”+BM?=<4+1+1=?,R=—,

2

該球的體積V=g?兀=gx(等?171=>/6?1.

11、答案：A

解析：令/(x)=e'—x—1,貝廿"(x)=e'—l.當x>0時，/,(x)>0,當x<0時，

所以/(x)在(0,+8)上單調遞增，在(-應0)上單調遞減，

11_r

所以/(0.1)=e0J-1.1>/(0)=0,即?！怠?令g(x)=Inx—r+1,則g\x)=——1=---

xx

當x>l時，g<x)<0,當0<xvl時，gr(x)>0,

所以g(x)在(1,+OO)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增,

所以g（l.l）=lnl.l+l-Ll<g（l）=O,得即c<a,^Lc<a<b.

12、答案:A

解析：設雙曲線E的右焦點為尸2，連接（圖略），

因為△<>正是等邊三角形，所以|M/q=|O/q=c,ZOFM=60°.

又|MN|=|NF|,所以|N/q=：.

132

在△FN8中，|NE『=|NFT+\FF2f-2\NF\]FF\COSZNFF=一C,

224

則|NK|=^C,則2a=加用一店用="|二^,則工=4V13+1

V13-1-3

13、答案：5

解析：因為a_Lb,所以6x—24=0,解得尤=4,則|a|="T于=5.

14、答案：—

8

解析：如圖，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標系,

依題意可得A的坐標為e,3）設拋物線的標準方程為x2=2py（p>0）,

則以=6p,解得p=2.故該拋物線的焦點到準線的距離為—cm.

488

15、答案：-

5

解析：記另外3人為a,b,c,從這5人中任意選出2人，總事件包括（甲,乙），

（甲,a）,（甲力）,（甲,c）,（乙,a）,（乙力），（乙,c）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,

共10種情況，其中甲、乙2人中恰有1人被選中的事件包括（甲,a）,（甲⑼，（甲,c）,

（乙,a）,（乙力），（乙,c）,共6種情況，故所求的概率為2=|.

16、答案：^-00,-1

解析：.f(x)?0等價于e-*M"''—a(—x+lnx)?0,令r=-x+Inx,則U=-]+1=...

當xe(0,l)時，f>0；當x￡(l,4w)時，「<0.故/40轉化為e'-a/<0,即

a<—.

t

令g(0=￡,f4—l,則g?)=￡D<0,則g⑺Ng(—1)=」，故a的取值范圍

tte

為.(1_QO,__11.

17、答案：(1)tan3=3

(2)ZV18C的面積為24

解析：(1)因為3a2-3c2=/,所以3sin2A-3sin2c=sin2瓦

■JT1

因為。=々，所以3sin2A—3x±=sin28,即一3cos2A=2sh?8.

42

因為A+8=3,所以—3cos2A=—3COS(3TT—28]=3sin2B=2sin2B.

4【2)

因為sin28=2sinBcos3,且sinB。。，所以tan3=3.

(2)因為tan3=3,所以$拘8=獨0,cosB=—.

1010

2亞

因為C=:,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-.

因為a=8,所以Z?=""n"=6A/^,

sinA

iiPy

所以△ABC的面積為一MsinC=—x8x6A/2X=24.

222

18、答案：(l)y=0.2Lx-0.3

(2)優(yōu)質數(shù)量為615

皿「小一10+20+30+40+50“-2+3+7+8+10/

解析：(l)x=--------------------------=30,y=-------------------=6.

55

E(x,.-x)(y-y)=210,E(x(-x)"=1000,

/=!/=!

,.210-.一

則由=----=0.21,a-y-bx--Q.3.

1000

故y關于x的線性回歸方程為y=0.2lx-0.3.

(2)將x=60,代入y=0.21x—0.3,得到y(tǒng)=12.3,

則估計1000粒赤霉素含量為60ng/g的種子后天生長的優(yōu)質數(shù)量為1000x^=615.

19、答案：(1)證明見解析

⑵該圓錐的體積為導

解析：(1)證明：設A8與CO交于點。，連接PO.

因為AB,CO為底面圓兩條互相垂直的直徑，所以。為底面圓的圓心,

所以PO為圓錐的高，所以尸。_L底面圓.

因為CDu底面圓，所以

又ABPO=O,所以C￡)_L平面布8.

因為cr>u平面PCD,所以平面2鉆，平面PCD

(2)解：過E作所，PO于R連接CF.

C

由(1)知平面E45_L平面PC。，且平面PA8'平面PC￡)=PO,

所以，EF_L平面PC。，

所以ZECF為直線CE與平面PCD所成的角，則tanZECF=*.

1FF1

因為AB=4,所以EE=—OB=1,所以tan/ECF=—=—=—,

2CFCF5

則CF=6,

所以PO=2OF=2j5-22=2.

故該圓錐的體積為,X7ix22x2=迎.

33

20>答案：(l)4x-y-3=0

(2)初的取值范圍為［1,+8)

解析:(l)/r(x)=lnx+3x2+l,/\1)=4,/(1)=1.

曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程為y-l=4(x-l),即4x-y-3=0.

(2)f(x)>1,即Inx+x2——>0.

x

令h(x)=lnx+x2,即〃(x)20對任意的xN恒成立.

x

h'(x)=-+2x+-^>Q,所以A(x)在(0,+oo)上單調遞增.

XX

因為〃⑴=0,所以當XN1時，/z(x)>0,所以，m>l.

故m的取值范圍為［1,+oo).

21、答案：(1)點8的坐標為\|,-彳］

⑵證明見解析

解析：⑴解：設直線AB的方程為y=2x+/,因為點A的坐標為(0,1),所以7=1.

2

將y=2x+l代入三+丁=i,得9》2+8犬=0,

解得x=0或x=-§,

9

所以點8的橫坐標為縱坐標為2乂(-n+1=_工.

9I9j9

故點3的坐標為（-§,-工

I99

丫2

⑵證明：設網(wǎng)辦方），直線A3的方程為＞=2（%-%）+幣代入5+y2=i,得

9%2+8（y-2%）x+2（y-2%）“-2=0,

則％=_^21^5}一玉，yA=2{xA-x]）+y],

可得點A的坐標為（7x[8x,-4x：7y）,

2

設。仁,必），直線CO的方程為＞=一2（%-々）+%，代入三r+丁=1，得

22

9x-8（y2+2x2）x+2（y2+2x2）-2=0,

則芍=81'2；2乜）一々,%=一2（而-々）+%，可得點。的坐標為

（7々+8%4x-7y）

I9922y

由％BC=_g，得M_%=_；（%一%2）-