大一下相關(guān)課程課件高數(shù)下冊第七章

第七章多元函數(shù)的微分學(xué)第一節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)1、多元函數(shù)的概念2、多元函數(shù)的極限3、多元函數(shù)的連續(xù)性（1）鄰域設(shè)P0

(x0

,y0

)是xoy平面上的一個點，d

是某一正數(shù)，與點P0

(x0

,y0

)距離小于d

的點P(x,y)的全體，稱為點P0

的d

鄰域，記為U

(P0

,d

)，0

d

PU

(

P0

,d

)

=

{P

|

PP0

|<

d}=

{(

x,

y)

|(

x

-

x0

)

+

(

y

-

y0

)

<

d}.2

2一、多元函數(shù)的概念（2）區(qū)域設(shè)E

是平面上的一個點集，P

是平面上的EP一個點．如果存在點

P

的某一鄰域

U

(

P

)

E

，則稱

P

為

E

的內(nèi)點.

E

的內(nèi)點屬于

E

.如果點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集.1例如，E

=

{(

x,

y)1

<

x2

+

y2

<

4}即為開集．如果點P

的任一個鄰域內(nèi)既有屬于E

的點，也有不屬于E

的點（點P

本身可以屬于E，也可以不屬于E

），則稱P

為E

的邊界點．EPE

的邊界點的全體稱為E

的邊界．設(shè)

D是開集．如果對于

D

內(nèi)任何兩點，都可用折線連結(jié)起來，且該折線上的點都屬于

D

，則稱開集

D

是連通的．連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，{(x,y)|

1

<x2

+y2

<4}.xyo開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.例如，{(x,y)|

1

￡

x2

+y2

￡

4}.xyo{(

x,

y)

|

x

+

y

>

0}無界開區(qū)域．有界閉區(qū)域；xyo對一切P

?

E

成立，則稱E為有界點集，否則稱為無界點集．

例如，對于點集

E

如果存在正數(shù)

K

，使一切點P

?

E

與某一定點

A

間的距離

AP

不超過

K，即

AP

￡

K{(

x,

y)

|

1

￡

x2

+

y2

￡

4}（3）n維空間設(shè)n

為取定的一個自然數(shù)，我們稱n

元數(shù)組

(x1

,x2

,,xn

)的全體為n維空間，而每個n元數(shù)組(x1

,x2

,,xn

)稱為n

維空間中的一個點，數(shù)

xi

稱為該點的第i

個坐標.說明：n維空間的記號為Rn

;n維空間中兩點間距離公式設(shè)兩點為P(x1

,x2

,,xn

),Q(

y1

,

y2

,,

yn

),|PQ

|=

(

y

-

x

)2

+

(

y

-

x

)2

+

+

(

y

-

x

)2

.1

1

2

2

n

n特殊地當(dāng)n

=1,2,3

時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．n維空間中鄰域、區(qū)域等概念{

}n0

0<

d

,

P

?

RU

(

P

,d

)

=

P

|

PP

|內(nèi)點、邊界點、區(qū)域等概念也可定義．鄰域：設(shè)D

是平面上的一個點集，如果對于每個點

P

(x,y)?

D

，變量z

按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱z

是變量x,y

的二元函數(shù)，記為z

=f

(x,y)（或記為z

=f

(P

)）.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．當(dāng)n

?2時，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念.（5）二元函數(shù)的定義例1求f

(x,y)=的定義域．x

-

y2arcsin(3

-

x2

-

y2

)解

x

-

y2

>

0

3

-

x2

-

y2

￡

12

￡

x2

+

y2

￡

4

x

>

y2所求定義域為D

={(x,y)|

2

￡

x2

+y2

￡

4,

x

>y2

}.例2：確定函數(shù)的定義域，并畫出其圖形(1)z

=

ln(

y2

-

4

x

+

8);(2)

f

(

x,

y)

=

arccos(

x2

+

y2

)

+解:(1)定義域D

=

{(

x,

y)

:

y2

-

4

x

+

8

>

0}為一無界開區(qū)域ln(

x2

+

y2

)1

x2

+

y2

￡

1(2)

x,y滿足：

x2

+

y2

?

1定義域D

={(x,y)|

x2

+y2

<1}為一有界開區(qū)域（5）二元函數(shù)z

=f

(x,y)的圖形設(shè)函數(shù)z=f

(x,y)的定義域為D

，對于任意取定的P(x,y)?

D，對應(yīng)的函數(shù)值為z

=f

(x,y)，這樣，以x為橫坐標、y為縱坐標、z

為豎坐標在空間就確定一點M

(x,y,z)，當(dāng)x取遍D

上一切點時，得一個空間點集{(x,y,z)|

z=f

(x,y),(x,y)?

D}，這個點集稱為二元函數(shù)的圖形.（如下頁圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzo例如,

z

=

sin

xy圖形如右圖.例如,

x2

+

y2

+

z2

=

a2左圖球面.D

=

{(

x,

y)

x2

+

y2

￡

a2

}.單值分支:

z

=

a2

-

x2

-

y2z

=

-

a2

-

x2

-

y2

.復(fù)習(xí)：一元函數(shù)y

=f

(x)在x0處的極限的定義二、多元函數(shù)的極限有時定義：說明：(1)定義中(x,y)fi

(x0

,y0

)的方式是任意的（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限

lim

f

(

x,

y);xfi

x0yfi

y0（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．四則運算，兩邊夾定理，復(fù)合函數(shù)，重要極限等例1

求證lim(

x2

+

y2

)sinxfi

0yfi

0證=

01x2

+

y2-

01(

x2

+

y2

)sinx2

+

y2=

x2

+

y2

sin1x2

+

y2￡

x2

+

y2"

e

>

0,$d

=

e,當(dāng)

0

<

(

x

-

0)2

+

(

y

-

0)2

<

d

時，-

0

<

ex2

+

y2(

x2

+

y2

)sin1原結(jié)論成立．例2

求極限.sin(

x2

y)limxfi

0yfi

02

2x

+

y解x2

+

y2sin(

x2

y)limxfi

0yfi

02

,sin(

x2

y)

x2

y=

limxfi

0yfi

022x

y

x

+

yx

ysin(

x2

y)其中l(wèi)imxfi

0yfi

02usin

ulimufi

0=

1,x2

y2x2

y+x12￡xfi

0fi

0,=

0.sin(

x2

y)\

limxfi

0yfi

02

2x

+

yu

=

x2

y22(1)

f

(

x,

y)

=x

y,

x2

+

y2

?

0x

+

y,

x2

+

y2

=

00例：3

求下列函數(shù)在(0,

0)處的極限解:

當(dāng)(

x,

y)沿直線y

=

kx趨于(0,

0)時，=

1

+

k

2kxfi

0yfi

0y

=kxkx22

2

2lim

f

(

x,

y)

=

limxfi

0

x

+

k

xxfi

0yfi

0k不同，極限值不同，極限lim

f

(x,y)不存在不存在．證

取26例4

證明limx3

yyfi

0xfi

0

x

+

yy

=

kx3

,26x3

ylim+

yyfi

0xfi

0

x6kx3x3=

limxfi

0y=kx

32

,x6

+

k

2

x

1

+

kk=其值隨k的不同而變化，故極限不存在．（1）令P(x,y)沿y

=kx,kxa

,a

>0

趨向于P0

(x0

,y0

)，若極限值與k

有關(guān)，則可斷言極限不存在；（2）

找兩種不同趨近方式，使lim

f

(

x,

y)存在，xfi

x0yfi

y0但兩者不相等，此時也可斷言f

(x,y)在點P0

(x0

,y0

)處極限不存在．確定極限不存在的方法：練習(xí)、x

2

y(2)

f

(

x,

y)

=x

4

+

y

2x

2

+

y

22

xy（1）f

(

x)

=1.考察下面函數(shù)在點O(0,0)的極限。y2.求lim

ln(1+xy)xfi

1yfi

0定義：在點P0

(x0

,y0

)處連續(xù).間斷點三、多元函數(shù)的連續(xù)性則稱f

(x,y)在邊界點P0

(x0

,y0

)處(有條件地)連續(xù).f

(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù):f

(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù):f

(x,y)在曲線C上連續(xù):多元連續(xù)函數(shù)的和差積商(分母不為零),及復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．,

xy

?

0在其定義域的連續(xù)性考察f

(

x,

y)

=

xy1,

x

2

+

y2

=

0

sin(

xy)例1:證:f

(x,y)的定義域D

={(x,y)|

xy

?0}

{(0,0)}(1)當(dāng)點P(x,y)?

{(x,y)|

xy

?0}時，lim

f

(

x,

y)

=(

x

,

y

)fi

(

0,0)lim(

x

,

y

)fi

(

0,0)xy綜合(1)(2)f

(x,y)在定義域上連續(xù)xy(2)當(dāng)點P(x,y)=(0,0)時，在定義域內(nèi)(x,y)fi

(0,0)有，f

(x,y)=sin(xy)，多元初等函數(shù)，連續(xù)lim(

x

,

y

)fi

(

0,0)

xysin(

xy)

=

xy

=

1例2:設(shè)f

(x,y)=在(0,0)處連續(xù)，證明f

(x,y)2

sin(

xy),

x

?

0x(

y

+

1)

0,x

=

0證:f

(0,

0)

=

0xfi

0yfi

0xfi

0yfi

0yfi

0=

limxfi

0

x(

y2

+

1)xy=

0

=

f

(0,

0)綜上lim

f

(x,y)=f

(0,

0),xfi

0yfi

0f

(x,y)在(0,0)處連續(xù)xfi

0yfi

0當(dāng)x

=0時，lim

f

(x,y)=lim

0

=f

(0,0)當(dāng)x

?

0時，lim

f

(

x,

y)

=

lim

sin(

xy)yfi

0xfi

0

x(

y2

+

1)例3：討論函數(shù)f

(x,y)=x

2+

y21,

(

x,

y)

=

(0,

0)的連續(xù)性,

(

x,

y)

?

(0,

0)xy解:xy0

￡x2

+

y2例4

討論函數(shù)0,x2

+

y2

=

0,

x2

+

y2

?

0f

(

x,

y)

=22x

+

yxy在(0,0)的連續(xù)性．解

取y

=

kxxyx2

+

y2limxfi

0yfi

02

2

2kx2=

limy=kxxfi

0

x2+

k

x

1

+

kk=其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)(有界性定理)函數(shù)f

(P

)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)則f

(P

)在區(qū)域D上有界，即$M

>0,使得對"P

?

D,有|

f

(

P

)

|￡

M(2)(最值定理)函數(shù)f(P

)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)則f

(P

)在區(qū)域D必取得最大最小值，即$P1

,P2

?

D,使得對"P

?

D,有f

(P1

)

￡

f

(P

)

￡

f

(

P2

)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(3)(介值定理)函數(shù)f

(P

)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),M和m分別是f

(P

)在區(qū)域D的最大最小值，則對任意的滿足

m￡

m

￡

M

,一定存在P

?

D，使得f

(

P

)

=

m多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）如何確定極限不存在多元函數(shù)連續(xù)的概念討論函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)作業(yè)P52

1、3、（1）（3）4、（2）、（3）5、6、（1）xfi

0yfi

0例：討論lim

x

ln(1

+xy)的極限x

+

y2y

2x2

+

y極限不存在.例5

討論函數(shù)0,(

x,

y)

=

(0,0), (

x,

y)

?

(0,0)2

+

y2f

(

x,

y)

=x

x3

+

y3在(0,0)處的連續(xù)性．解取x

=r

cosq

,y

=

r

sinqf

(

x,

y)

-

f

(0,0)=

r(sin3

q

+

cos3

q

)

<

2rf

(

x,

y)

-

f

(0,0)

<

2r

<

elim

f

(

x,

y)

=

f

(0,0),(

x

,

y

)fi

(

0,0)故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).2"

e

>

0,

$d

=

e

,當(dāng)

0

<

x2

+

y2

<

d

時若點(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(x0

,y0

)時，函數(shù)f

(x,y)都趨向于A，能否斷定lim

f

(x,y)=A？(

x

,

y

)fi

(

x0

,

y0

)思考題思考題解答例不能.x3

y2f

(

x,

y)

=

(

x2

+

y4

)2

,(

x,

y)

fi

(0,0)取y

=kx,x3

k

2

x2(

x2

+k

4

x4

)2f

(

x,

kx)

=xfi

0fi

0但是lim

f

(x,y)不存在.(

x

,

y

)fi

(0,0)原因為若取x

=y2

,(

y4

+

y4

)2y6

y22f

(

y

,

y)

=.14fi一、填空題:y1、若

f

(

x,

y)

=

x

2

+

y

2

-

xy

tan

x

,則

f

(tx,

ty)=

.2、若f

(x,y)=2

xyx

2

+

y

2,則

f

(2,-3)

=

;xf

(1,

y

)

=.(

y

>

0),則

f

(

x)

=

.yx

2

+

y

2y3、若

f

( )

=x4、若f

(x

+y,yx)=x

2

-y

2

,則f

(x,y)=.4

x

-

y