2023年考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)全套復(fù)習(xí)講義

2023年考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)全套復(fù)習(xí)講義（完

整版）

高等數(shù)學(xué)

目錄

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)（全體）

第二章一元函數(shù)微分學(xué)（全體）

第三章一元函數(shù)積分學(xué)（全體）

常微分方程（全體）

第五章向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）

第六章多元函數(shù)微分學(xué)（全體）

第七章多元函數(shù)積分學(xué)

§7.1二重積分（全體）

§7.2三重積分

§7.3曲線積分

§7.4曲面積分（數(shù)學(xué)一）

第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三）

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

§1.1函數(shù)

甲內(nèi)容要點(diǎn)

一.函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

設(shè)。是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則了,對(duì)每一個(gè)xe。，都能

對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)y,則這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則/稱為定義在。上的一個(gè)函數(shù)，記以

y=.t\x),稱x為函數(shù)的自變量，y為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，。稱為函數(shù)的定

義域，并把實(shí)數(shù)集

Z={y|y=/(x),xwD}

稱為函數(shù)的值域

2.分段函數(shù)

如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個(gè)表達(dá)式表示，而要用

兩個(gè)或兩個(gè)以上的表達(dá)式來(lái)表示。這類(lèi)函數(shù)稱為分段函數(shù)。

x+1X<-1

例如y-/(x)=<X1-1<x<1

5xx>1

是一個(gè)分段函數(shù)，它有兩個(gè)分段點(diǎn)，x=-l和x=l,它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)

式不同，因此討論函數(shù)y=/(x)在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題時(shí)，必須

分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)，需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)不

是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理。

x>0

x<0

1,x>0

/(x)=sgnx=10,x=Q,都是分段函數(shù)

-1,x<0

3.隱函數(shù)

形如y=/(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)，由方程尸(x,y)=0確定y=y(x)稱為隱函

2

數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)，例如f+y2=],y=±A/l-x,(不一定一個(gè)

單值函數(shù))，而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。

4.反函數(shù)

如果)，=/(X)可以解出X=夕。，)是一個(gè)函數(shù)(單值)則稱它為一(X)的反函數(shù),

記以尤=/T（y）。有時(shí)也用y=/T（X）表示，例如y=—,（彳20）解出％=后，

(y20)而y=/(x40)解出x=-行。20)

二.基本初等函數(shù)

1.常值函數(shù)y=c（常數(shù)）

2.基函數(shù)y=x"（a常數(shù)）

3.指數(shù)函數(shù)y=a*（a>0,aHl常數(shù)）

y="(6=2.7182...,無(wú)理數(shù))

常用對(duì)數(shù)y=logi()x=lgx

自然對(duì)數(shù)y=log。x=Inx

y=cotx；y=secx；y=cscx?

6.反三角函數(shù)y=arcsinx；y=arcco&x；

y=arctanx；y=arccotx0

關(guān)于基本初等函數(shù)的概念，性質(zhì)及其圖象非常重要，影響深遠(yuǎn)。例如以后

\_,

經(jīng)常會(huì)用limarctanx；limarctanx；limex；limex；limInx等等。就需要關(guān)

X->-KOX->-00XT。-XT(r

}?=arctanx,y=e",y=Inx的圖象很清晰。

三.復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)

設(shè)y=/(“)定義域u

u=g(x)定義域X,值域U*

如果U*uU,則y=/[g(x)]是定義在X上的一個(gè)復(fù)合函數(shù)。其中“稱為中

間變量。

2.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的用一個(gè)分析表達(dá)式表

示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

四.考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù)

1.用極限表示的函數(shù)

⑴y=]imf(x)

〃一>oOn

(2)y=lim/(f,x)

2.用變上、下限積分表示的函數(shù)

(i)y=其中加)連續(xù)，則孚=/(6

如ax

(2)其中e］(x),/(x)可導(dǎo)，/⑺連續(xù)，

J例(x)

則孚=丹。2(x腦W-/k(x)M(x)

ax

五.函數(shù)的幾種性質(zhì)

1.有界性：

設(shè)函數(shù)y=/(x)在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M,使xwX都有|/(x)VM則

稱/(x)在X上是有界的。

2.奇偶性：

設(shè)區(qū)間X關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)xeX,都有/(-6=-/(6，則稱/(x)在X

上是奇函數(shù)；若對(duì)xeX,都有/(-X)=/(X),則稱/(x)在X上是偶函數(shù)、奇函

數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

3.單調(diào)性：

設(shè)/(%)在X上有定義，若對(duì)任意玉eX,￡eX,玉</都有

/3)</(/I/QJ>/(々)］則稱/(6在X上是單調(diào)增力口的［單調(diào)減少的］;若對(duì)任

意X］eX,x2eX,X］<w都有/(七)4/(工2)［/(方)2/。2)］則稱/3在乂上是

單調(diào)不減［單調(diào)不增］。

(注意：有些書(shū)上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱

為單調(diào)增加。)

4.周期性：

設(shè)/(x)在X上有定義，如果存在常數(shù)使得任意xeX,x+TeX,

都有/(x+T)=/(x),則稱/(x)是周期函數(shù)，稱T為/(x)的周期。

由此可見(jiàn)，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，一般我們把其中最小正周期稱為周

期。

乙典型例題

一.求函數(shù)的定義域

例1.求函數(shù)/(x)=InInInx+7100-x2的定義域

例2.求y=y]x-y/x+—r-1?的定義域

ln|x-5|

例3.設(shè)/(尤)的定義域?yàn)閇-。,。卜>0),求小2-1)的定義域

例4.設(shè)g(x)=F°-%<2求/(x)=g(2x)+g(x-l)的定義域，并求

2,2<x<4

二.求函數(shù)的值域

]

例1.求y=e為的值域

3—,x<-2

例2.求y=/(x)=v5-%—2KXK2的值域，并求它的反函數(shù)

1—(x-2)~,x>2

三.求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式

i.已矢口/(X)和g(x),求y[g(x)]

例1.已知/(x)=—匚

x-1

例2.設(shè)/(何=7三，求丹/(…/(?)]=力(x)

5+x〃重復(fù)合

例3.設(shè)4)=[4/，]忙，求八/⑹

0,\x\>2

2.已知g(x)和/[g(x)],求/(x)

例1.設(shè)f(ex+1)=e2x+ex+x,求/(x)

例2.已知/'(e*)=xeT,且/⑴=0,求/⑴

例3.設(shè)/(Vx)=sinx,求/''(x)

例4.已矢口/(sinx)=3—cos2x,求ijE/(cosx)=3+cos2x

3.已知/(x)和/[g(x)],求g(x)

例.已知/(x)=ln(l+x),/[g(x)]=x，求g(x)

解：g(x)=/i國(guó)實(shí)際上為求反函數(shù)問(wèn)題

/[g(x)]=In[1+g(x)]=x,1+g(x)="

g(x)="T

4.有關(guān)復(fù)合函數(shù)方程

例.設(shè)/普W（2,求/Q）

四.有關(guān)四種性質(zhì)

例1.設(shè)尸(x)=/(x),則下列結(jié)論正確的是[]

(A)若/(x)為奇函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)。

(B)若/⑴為偶函數(shù)，則必尤)為奇函數(shù)。

(C)若/(x)為周期函數(shù)，則/x)為周期函數(shù)。

(D)若/(x)為單調(diào)函數(shù)，則尸(x)為單調(diào)函數(shù)。

解：(B)不成立，反例/(》)=必，E(x)=:1_+1

(C)不成立，反例/(x)=cosx+l,F(x)=sinx+x

(D)不成立,反例/(x)=2x,Rx)=，在(-8,+oo)內(nèi)

(A)成立。證明：/龍)=網(wǎng)0)+["(，抽，/為奇函數(shù)

F(-x)=網(wǎng)。)+『/(M=/(0)+

網(wǎng)X)為偶函數(shù)。

例2.求/=J：x%5+(ex-e-x)lnQ+7x2+1jdx

§1.2極限

甲內(nèi)容要點(diǎn)

一.極限的概念與基本性質(zhì)

1.極限的定義

(1)lim=A(稱數(shù)列｛%｝收斂于A)

M—>00

任給￡〉0,存在正整數(shù)N,當(dāng)，〉N時(shí)，就有氏-T<￡。

(2)lim/(x)=A

X—>-KO

任給￡>(),存在正整X,當(dāng)1>X時(shí)，就有|/(%)一川V￡。

(3)lim/(x)=A

X—>-?)

任給￡〉()，存在正數(shù)X,當(dāng)x<—X時(shí)，就有,(引一川<￡

(4)lim/(x)=A

X—>00

任給￡〉()，存在正數(shù)X,當(dāng)，〉X時(shí),就有/但―川<￡

(5)lim/(x)=A

XT/

任給￡>0,存在正數(shù)5,當(dāng)0<,一/|<6時(shí)，就有|/(%)-曰<￡

(6)lim/(x)=A(用/(Xo+0)表示/(x)在X。的右極限值)

任給￡>0,存在正數(shù)5,當(dāng)O<X-Xo<S時(shí)，就有|/(x)-d<￡

(7)lim/(x)=A(用/(/-0)表示/(尤)在X。的左極限值)

XT%

任給￡>(),存在正數(shù)b,當(dāng)—6<x—/<0時(shí)，就有

其中/(Xo+O)稱為/(X)在X。處右極限值，/(%-0)稱為/(6在/處左極限

值。

有時(shí)我們用lim/(x)=A表示上述六類(lèi)函數(shù)的極限，它具有的性質(zhì)，上述六

類(lèi)函數(shù)極限皆具有這種性質(zhì)，有時(shí)我們把x“=/(〃)，把數(shù)列極限也看作這種抽

象的變量的極限的特例，以便于討論。

2.極限的基本性質(zhì)

定理1.(極限的唯一性)設(shè)lim/(x)=4,limf[x)-B,則A=B

定理2.(極限的不等式性質(zhì))設(shè)lim/'(%)=4,limg(x)=5

若x變化一定以后，總有了(x)2g(x),則AN3

反之，A>B,則x變化一定以后，有/(x)>g(x)

(注：當(dāng)g(x)三0，8=()情形也稱為極限的保號(hào)性)

定理3.(極限的局部有界性)設(shè)lim/(x)=A

則當(dāng)x變化一定以后，/(x)是有界的。

定理4.設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=B

則⑴lim[/(x)+g(x)]=A+B

(2)lim[/(x)-g(x)]=A-B

(3)lim[/(x)-1?(%)]=A-B

lim嬰=4(8HO)

(4)

g(x)B

(5)描[/3產(chǎn)=4(4>0)

二.無(wú)窮小

1.無(wú)窮小定義

若lim/(x)=0,則稱/(x)為無(wú)窮小

(注：無(wú)窮小與x的變化過(guò)程有關(guān)，加工=0,當(dāng)xfoo時(shí)，工為無(wú)窮小,

Xf8XX

而X->Xo或其它時(shí)，,不是無(wú)窮小)

X

2.無(wú)窮大定義

任給M>0,當(dāng)x變化一定以后，總有|/(">M,則稱/(x)為無(wú)窮大。

記以lim/(x)=oo

3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系

在x的同一個(gè)變化過(guò)程中

若/(x)為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小,

/(X)

1

若/(X)為無(wú)窮小，且/(X)HO,則為無(wú)窮大

/(X)

4.無(wú)窮小與極限的關(guān)系

lim/(%)-A<^>/(%)-A+?(%)其中l(wèi)im二(尤)=0

5.兩個(gè)無(wú)窮小的比較

且所里=

設(shè)lim/(x)=0,limg(x)=O,

(1)1=0,稱,/'(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小，記以/(x)=O[g(x)]

稱g(x)是比/(x)低階的無(wú)窮小。

(2)/。0,稱J'(X)與g(x)是同階無(wú)窮小。

(3)1=1,稱/(x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮小，記以/(x)~g(x)

6.常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小

當(dāng)xf0時(shí)

sinx-x,tanx-x,arcsinx~x,arctanjc-x

1-cosx-^x2,ex-x,ln(l+x)~x,(1+x)a-1-

7.無(wú)窮小的重要性質(zhì)

有界變量乘無(wú)窮小仍是無(wú)窮小

三.求極限的方法

1.利用極限的四則運(yùn)算和塞指數(shù)運(yùn)算法則

2.兩個(gè)準(zhǔn)則

準(zhǔn)則1.單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在

(1)若x“+1〈乙(〃為正整數(shù))又加(〃為正整數(shù))

則lim=A存在，且A2/〃

(2)若(〃為正整數(shù))又(”為正整數(shù))

則]imxn=A存在，月.A<A/

準(zhǔn)則2.(夾逼定理)設(shè)g(x”/(x)W〃(x)

若limg(x)=A,limh(x)=A,則lim/(x)=A

3.兩個(gè)重要公式

公式1.lim也=1

Xf。X

公式2.+—1=e；limf1+—=e；lim(l+v)v=e

〃JlljV->0

4.用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換

5.用泰勒公式(比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二)

當(dāng)xfO時(shí)，ex=l+x+—+?■?+—+O(x")

2!nlv'

?35±2/1+1、

z

(-1)"

3!5!+'

x2x4+U喝+。的

COSX=1------1------------

2!4!

23

z、r

ln(l+x)=x--+----??+(-l)n+1—+0(xn)

n

352n+l

XXn+1v2n+l

arctanx=x------+--------??+(-l)--+0(x)

352〃+l''

T>??a(a-l)…

(1+X)。=1+<zr+

相！

6.洛必達(dá)法則

法則i.(9型)設(shè)(11)limf[x)=0,limg(x)=0

0

(2)x變化過(guò)程中，尸(x),g<x)皆存在

(3)lim,.=A(或oo)

g'(x)

則lim4^-A(或oo)

g(?

(注：如果lim串不存在且不是無(wú)窮大量情形，則不能得出lim不存

g⑴g(x)

在且不是無(wú)窮大量情形)

法則2.(藝型)設(shè)(1)lim/(x)=oo,limg(x)=oo

00

(2)x變化過(guò)程中，/'(x),g'(x)皆存在

(3)lim,.=A(或oo)

g'3

則lim=A(或oo)

g(“

7.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

基本公式：lim.小以)7(%)=/，&)［如果存在］

帖一。Ax

8.利用定積分定義求極限

基本公式lini-X/f->l=［如果存在］

in鑿\n)J。

9.其它綜合方法

10.求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法

乙典型例題

一.通過(guò)各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限

例L設(shè)「。，…求吧會(huì)；；二；二::葭

例2.設(shè)awO,卜|<1,當(dāng)lim（a+ar+-?+arn~x

"―X?\

解：limQ+〃_+???+4尸）=lima-——=-a—

?-x?7?-x?]—=]一=

2

特例（1）求lim-一自+0一…+(T)*，|)

”一?003

2

7732

解：例2中取Q=—,r-——，可知原式=-

33]5

2Uj2_4

（2）lim

〃一>83

1+-+---+

3I2

3〃+i_2”

例3.求lim

n->oo2n+1+3"

例4.設(shè)/是正整數(shù)，求加之77%

"f8女7k\k4-1)

1

特例：（1）Um￡=1

'I-hlH%+i）

“ia

⑵峪口北

例設(shè)/是正整數(shù)，求

5.“一裕%＜2々一++/?),-

〃9^4-1

特例：（/=1）-lim°2總&2“,+1）、2=1

2(2Z+2)15

(/=2)UmY=1

"T8念%2卜+2)2+及4

例6.設(shè)4>0為常數(shù)，求lim1±+￥+…+匕包=圮

〃一叱nn-

例7.求下列各極限

/、Jl+X-yjl-X/、M+--y/1-X

(1)lim--------------------(2)lim--------------------

KTOx.r->0x

(3)lim(4)lim(\/x2+x-J，_

3J1+X-J1-XZE

二.用兩個(gè)重要公式

例1.求lim史絲

7T-X

例2.求+

Xx(l-cosx)

解一：原式=lim7—療1)-的弋1)

?1。x(l-cosxWl+tanx+Vl+sinx

「

1tanx(1l—cosx)1tanx1

=—lim—7---------=—lim----------二—

2-0x(l-cosx)2-0x2

解二：原式=lim(jl+tan,l)一11mta：x-sin：

x->0x(l-cosx)2x->°x(l-cos%)

1「tanx1

=—lim------=—

2aox2

例3.limcos—cos—?--cos—

,1824T

例4.求下列極限

1

例5.求下列極限

4

(1)lim(1+tanx)cotA(2)limxx~x

X->ooX

(3)lim(cosx)cotv(4)lim(cosx)csc(3v)

三.用夾逼定理求極限

例1.求吧。?}(…態(tài)1

解：令為=』?3?22〃一1242n

丁，%=5行

"2462n+1

則0<x?<,

于是0<x；<xnyn

2〃+l

由夾逼定理可知lim片=0,于是原極限為0。

例2.求下列極限

1

yIn2+k

四.用洛必達(dá)法則求極限

i.“Q”型和“藝”型

000

1.1

-sin—

例1.求lim衛(wèi)!n

〃->8.31

sin'-

n

解：離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故考慮

..x-sinx等價(jià)無(wú)窮〃、代換.x-sinx

lim——Inn——

iosinxx_0x

「1-cosxsinx1

=lim----------=lim------=一

a。3x2zo6X6

原式」

6

例2.求照上

2.“8-8”型和“0.8”型。

例L求lim[，------—]

Txex-\)

例2.求lim1一一-笑狂、

…r達(dá)xxJ

例3.求limsin?%.M尤

x->0+

例4.設(shè)〃>0,8>0常數(shù)，求limax-b'

J

3.型，“0。”型和“8。”型

這類(lèi)都是lim[/(x)F、)形式，可化為小3(，)皿(刈

而limg(x)ln[/(x)]都是“0?8”型,按2的情形處理

例1.求lim/2"

例2.求lim(cosx)c4(前面已用重要公式的方法)

A->0

解：令y=(cosx)cot',Iny=cot2xIncosx

「121vIncosxIncosx

limIny=vlimcotxincosx=lim---------=vlim---------

x->otan-xx

（“9，，型）=limz!^

0so2x

J.

limv=e2

例3.求lim(sin，+cos—

x—>001xx

五.用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換

近三dnG

例1.求lim

71T83〃+1

11i

3―-|----------F

47J[.N+〃+1

解：???lim-----l-i-m---------—=o,

3n+1"Too3+L

n

sinVn2+1<1,

根據(jù)有界變量乘無(wú)窮小仍是無(wú)窮小，可知原式=0

(1-cos2x)arctan3x

例2.求limx

A->0(e-l)ln(l+2x)sin5x

2?」1

3sinx+xcos—

例3?求------\彳\

1。(1+cosx)ln(l+x)

解：這個(gè)極限雖是“9”型，但分子，分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在,

o

因此不能用洛必達(dá)法則。

「sinx1

3—-+xcos-

xx3

原式=lim-----------

x->01+cosx-ln(l+x)-2

x

"1+)+02—必1+)

例4.設(shè)〃為正整數(shù)，求lim4

x->01-C0SX

六.求分段函數(shù)的極限

例1.求下列函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限

sin2x八

-----,x<0

x

(1)

x1

-----------,x>0A

.1-cosx

x2-l

-------,X<1

(2)g(x)=<x-1

1

X~9H--,X1

2

sin2xsin2x

解：(1)/(o-o)=lim=lun2------=2

*f(rx2x

x2x2

/(0+0)=lim—=lim--=2

\o+1-cosxx—>0*12

—x

2

lim/(x)=2

A->0

T2_|

(2)^(1-0)=lim-----=lim(x+1)=2

x->rx—1XM

3

g(l+o)=limx2+-

XT122

因?yàn)間（l—。）。g（l+。）,故limg（x）不存在。

XTl

2+e，sinx

例2.求lim

4

ATO㈤

l+e1

7

七.求極限的反問(wèn)題

例L設(shè)吧E=3求.和”

If產(chǎn)

例2.設(shè)lim-----------\-==dt=\,求a和匕。

?^°Z?x-sinxJoy]a+t

§1.3連續(xù)

甲內(nèi)容要點(diǎn)

一.函數(shù)連續(xù)的概念

1.函數(shù)在點(diǎn)X。處連續(xù)

定義1.設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)與的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變

量8(初值為%)趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量Ay也趨近于0,即

limAy=0

Ax->0

或

lim[/(xo+Ar)-/(xo)]=O

則稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處連續(xù)。

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處連續(xù)也可作如下定義。

定義2.設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當(dāng)xf/時(shí)，函

數(shù)/(x)的極限值存在，且等于X。處的函數(shù)值/(%),即

lim/(x)=/(x0)

則稱函數(shù)y=y(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，此時(shí)有l(wèi)im/(%)=lim/(x)=f(x0)

X—X->XQ

并且有

lim/(x)=/(x0)=/[limx]

?foXf”

即如果函數(shù)在點(diǎn)X。處連續(xù)，則在點(diǎn)X。處可以交換極限號(hào)和函數(shù)號(hào)的順序。

定義3.設(shè)函數(shù)y=/(x),如果limf(x)=/(/),則稱函數(shù)/(x)在點(diǎn)x()處

Xf垢

左連續(xù)；如果lim/(x)=/(/),則稱函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。處右連續(xù)。

XT培

由上述定義2可知，如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)，則f(x)在與處既左

連續(xù)也右連續(xù)。

2.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)(上)連續(xù)的定義

如果函數(shù)y=/(x)在開(kāi)區(qū)間(。力)內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱/(x)在(。力)內(nèi)連

續(xù)。

如果y=/(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)a右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)力左連續(xù)，

則稱/(x)在閉區(qū)間上連續(xù)。

二.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)

1.函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義

如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)與不連續(xù)，則稱/為/(x)的間斷點(diǎn)。

2.函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類(lèi)

函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類(lèi)：

(1)第一類(lèi)間斷點(diǎn)

設(shè)%是函數(shù)y=/(x)的間斷點(diǎn)。如果/(x)在間斷點(diǎn)與處的左、右極限都存

在，則稱X。是“X)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。

第一類(lèi)間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。

(2)第二類(lèi)間斷點(diǎn)

第一類(lèi)間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。

常見(jiàn)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。

例如.x=Q是/'3=皿的可去間斷點(diǎn)，是/(》)=忖的跳躍間斷點(diǎn)，是

XX

/(x)=’的無(wú)窮間斷點(diǎn)，是/(x)=sin，的振蕩間斷點(diǎn)。

XX

三.初等函數(shù)的連續(xù)性

1.在區(qū)間/連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商(分母不為零)，在區(qū)間/仍是連

續(xù)的。

2.由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。

3.在區(qū)間/連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對(duì)應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。

4.基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。

5.初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。

四.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間L，以上連續(xù)的函數(shù)/(x),有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都

要用到。

定理1.(有界定理)如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則/(x)必在

上有界。

定理2.(最大值和最小值定理)如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間除以上連續(xù)，則在

這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M和最小值加o

其中最大值M和最小值〃?的定義如下：

定義設(shè)/(x0)=M是區(qū)間“上某點(diǎn)X。處的函數(shù)值，如果對(duì)于區(qū)間

上的任一點(diǎn)x,總有則稱M為函數(shù)/(尤)在上的最大值。同樣可

以定義最小值優(yōu)o

定理3.(介值定理)如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，且其最大值和最

小值分別為M和加，則對(duì)于介于加和M之間的任何實(shí)數(shù)c,在［。,以上至少存在

一個(gè)使得

/G)=c

推論：如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，且/(a)與/⑸異號(hào)，則在(。力)

內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)自，使得

/⑹=0

這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理

思考題：什么情況下能保證推論中的J是唯一的？

乙典型例題

一.討論函數(shù)的連續(xù)性

由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)的，所以，函數(shù)的連續(xù)性討論多

是指分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函

數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，需根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。

例1.討論函數(shù)

ex,x<0

/(x)=<0,x=0

.1八

xsin—>0

x

在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性。

解：因

/(0-0)=limf(x)=lim>=0

x->(r%7o-

/(0+0)=limJ(x)=limxsin—=0

JV->0+x

./,(0)=0

即有/(o—o)=/(O+O)=/(o),故/(x)在點(diǎn)尤=0連續(xù)。

例2.討論函數(shù)

ln(l—x)..

—----x<0

X

在點(diǎn)x=0的連續(xù)性。

二.已知函數(shù)的連續(xù)性求未知參數(shù)

sinx

例1.設(shè)/（》）=丁“7°在％=0處連續(xù)

kx=0

求常數(shù)人

例2.如果函數(shù)

1.

—sinxx<0

X

/(x)=,Px=0

.1

XSU1一+夕x>0

X

在x=0處連續(xù)，求常數(shù)〃和17。

-2X<—1

例3.設(shè)小)=?x1+ax+b-1<X<1(-co,+00)內(nèi)連續(xù)

2X>1

求常數(shù)。和〃

解：：/(一1)=l-a+b,+a+b,

由x=—1的連續(xù)性可知1一a+Z?=—2得匕一a=—3

由x=l的連續(xù)性可知l+a+8=2得8+a=l

所以a=2,b——1

三.求函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定其類(lèi)型

例1.求函數(shù)/(只=運(yùn)」的間斷點(diǎn)，并確定其類(lèi)型

X-1

X2+2x

例2.求函數(shù)/(x)的間斷點(diǎn)，并確定其類(lèi)型。

l+2-4)

例3.求函數(shù)/(x)=3吧的間斷點(diǎn)，并確定其類(lèi)型。

X

解：這是初等函數(shù)，在它的定義區(qū)間內(nèi)函數(shù)都是連續(xù)的，此函數(shù)在x=()及

x=^+|(^=0,±1,±2,…)無(wú)定義，所以它的間斷點(diǎn)是

x=0和x=kn+=0,±1,±2,---)

下面確定它們的類(lèi)型。

當(dāng)x=0時(shí)，由于勒巴上=1,所以尤=0是第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且是可去間斷點(diǎn)。

1。x

當(dāng)x=+工(Z=0,±1,±2,??,)時(shí)，由于limtanA=(x)(k-0,±1,±2,-?,

2x—k兀+三x

2

所以x=br+](k=0,±1,±2,…)是第二類(lèi)間斷點(diǎn),且是無(wú)窮間斷點(diǎn)。

例4.求函數(shù)

￡

exx<0

/(x)=<0,x=0

1八

arctan—,x>0

的間斷點(diǎn)，并確定其類(lèi)型。

四.求連續(xù)函數(shù)的極限

分兩種情形：

1.如果/(X)是初等函數(shù)，X。是/(X)定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，

則lim/(%)=/limx]=/(%0),

XfZ)l尤TXo)

即只需在函數(shù)的表達(dá)式中把自變量無(wú)換成它的極限值與就行了。

例1.求limIn(2+sinx)

Jt—>—n

2

解：ln(2+sinx)是初等函數(shù)，x=]是它的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，所以

limln(2+sinx)=ln(2+sin])=ln3

2

2.如果limg(x)=a,而函數(shù)y=/(〃)在點(diǎn)"=a連續(xù)，

*->的

則lim/[g(x)]=/(limg(x))=f(a)

XTXO[XTbJ

例2.求limarctan卜1.

ioVxJ

解：因lim2?=1,而函數(shù)y=arctan〃在點(diǎn)〃=1連續(xù)，所以

x

..(sinx)(sinx)1幾

limarctan------=arctanlim------=arctan1=—

xf。VxJ(1。x)4

2'-1

例3.求lim-------

例4.設(shè)/(x)在x=2處連續(xù)，且/(2)=3,求lim/(x)」-----￡—

12x-2X--4

五.利用介值定理的推論判斷方程的根

例1.證明五次代數(shù)方程/一5%-1=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)根。

例2.證明x=sinx+2至少有一個(gè)不超過(guò)3的實(shí)根

例3.設(shè)/(x)在上連續(xù)，且a,f(b)>b,

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

§2.1導(dǎo)數(shù)與微分

甲內(nèi)容要點(diǎn)

一.導(dǎo)數(shù)與微分概念

1.導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(尤)在點(diǎn)與的某鄰域內(nèi)有定義，自變量x在處有增量Ax,相

應(yīng)地函數(shù)增量Ay=/(x0+Ax)-/(x0)o如果極限lim"=lim+-)-/(勺)

存在，則稱此極限值為函數(shù)/(X)在X。處的導(dǎo)數(shù)(也稱微商)

記作/Go),或y'，包，也等。

x=xQdxx=xGax\x=x()

并稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，則稱函數(shù)

y=/(x)在點(diǎn)X。處不可導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令x=x()+Ax,Ax=x-x0,

則.(x0)=lim/」)一,人)

XTX。X-Xo

我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。

右導(dǎo)數(shù)：力(%)=lim/11-/&)=lim/(■十-)二/④

XT/X-XQAsO+Ax

左導(dǎo)數(shù):￡'(%)=lim――~~——~~~—lim/(~~-'(~一。)

-XT而x-x0以fAx

則有

/(x)在點(diǎn)x。處可導(dǎo)o/(x)在點(diǎn)x。處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義

如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)r(x0)存在，則在幾何上廣(4)表示曲線

y=/(x)在點(diǎn)(%,/(%))處的切線的斜率。

切線方程：丁一/(%)=/(%)^一%)

法線方程：丁一/(%)=一1n(x-Xo)Cf(Xo)H。)

設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程S與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系為S=/(r),如果/'/)存

在，則廣(外表示物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度。

3.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系

如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則/(x)在點(diǎn)x0處一定連續(xù)，反之不然，

即函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。

例如，y=/(x)=W，在%()=0處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。

4.微分的定義

設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)處有增量Ax時(shí)，如果函數(shù)的增量

=f(x0+Ar)-/(%)有下面的表達(dá)式

Ay=A(x0)Ax+O(Ax)(Axf0)

其中A(Xo)為與Ax無(wú)關(guān)，0(Ax)是Axf0時(shí)比Ax高階的無(wú)窮小。

則稱/(x)在X。處可微,并把Ay中的主要線性部分A(x°)-稱為/(%)在與處

的微分，

記以dy或力'(xj

x=x0\x=x0

我們定義自變量的微分心就是Ax。

5.微分的幾何意義

△y=/(%+加O-A/)是曲線y=/(x)在點(diǎn)與處相應(yīng)于自變量增量以的縱

坐標(biāo)了g)的增量，微分力是曲線丫=/(尤)在點(diǎn)M)(x°"(x。))處切線的縱

X=x0

坐標(biāo)相應(yīng)的增量(見(jiàn)圖)。

6.可微與可導(dǎo)的關(guān)系

/(X)在x0處可微O/(X)在X。處可導(dǎo)。

且dy=A(x0)Ax=f'(x)dx

x=n

一般地，y=/(x)則dy=

所以導(dǎo)數(shù)/(%)=包也稱為微商，就是微分之商的含義。

ax

7.高階導(dǎo)數(shù)的概念

如果函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)y'-7'(X)在點(diǎn)x0處仍是可導(dǎo)的，

則把y'=/Q)在點(diǎn)工。處的導(dǎo)數(shù)稱為y=/(x)在點(diǎn)/處的二階導(dǎo)數(shù)，

記以y〃，或/〃(/)，或。等，

x=x0dxx=xG

也稱/(x)在點(diǎn)X。處二階可導(dǎo)。

如果y=/(x)的〃-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為y=/(x)的〃階導(dǎo)數(shù)記以＞"),

/(，，)(x),匕等，這時(shí)也稱了=/(尤)是”階可導(dǎo)。

ax

二.導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算

1.導(dǎo)數(shù)與微分表

（C）=0J(c)=0

（xa）f（a實(shí)常數(shù)）d(xa)=axa-'dx(a實(shí)常數(shù))

f

(sinx)=cosxdsinx=cosx公

t

(cosx)=-sinxdcosx=-sinMY

(tanx)=sec2xJtanx=sec2xdx

(cotx)=-csc2XJcotx=-csc2xdx

(secx)=secxtanxJsecx=secxtanAzZr

(cscx)=-cscxcotxdcscx--cscxcot^/r

(log"X)=(a>o,"l)d\ogax=〃(〃>0,0工1)

xlnax\na

「1」

(inx)=~alnx=—ax

XX

(ai)=優(yōu)Ina(4〉0,aw1)dax=axInadx(a>0,aw1)

(,)'="

de'=e'dx

(arcsinx)、一，.1j

aarcsinx=,....ax

Vl-x2

(arccosx)=——i

/1aJarccosx=—/axJ

71-x2Jl-Y

1

aJarctanx=-----aJx

1+Xl+x2

(QWCOtX)=-darecutx=-----dx

1+x2

lnlx++adln(x+J/+Q

ln(x+J，-at/ln(x+Vx2-a

2.四則運(yùn)算法則

[/(x)士g(6]=/Q)±gQ)

[/(x)-g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)gQ)

莘]嗎曾?(gM)

_g(x)」g-(x)

d[f(x)+g(x)]=df(x)±dg(x)

d[/(x>g(x)]=g(x)4(x)+f(x)dg(x)

彳黑卜幽藝譚幽如H0)

3.復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則

設(shè)y=/(“)，〃=夕(x),如果e(x)在x處可導(dǎo),/(〃)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)〃處可導(dǎo)，則

復(fù)合函數(shù)y=/[夕(x)]在x處可導(dǎo)，且有

對(duì)應(yīng)地