數學課件（新教材人教A版強基版）第八章直線和圓圓錐曲線83圓的方程

圓的方程第八章直線和圓、圓錐曲線1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.圓的定義和圓的方程定義平面上到_____的距離等于_____的點的集合叫做圓方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C______半徑為___一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心C____________半徑r＝______________(a，b)r定點定長2.點與圓的位置關系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：(1)|MC|>r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內.圓外圓上圓內1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2.圓心在過切點且與切線垂直的直線上.3.圓心在任一弦的垂直平分線上.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)為圓心，a為半徑的圓.(

)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)√√√×1.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2√2.若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實數a的取值范圍為A.(－2,0)B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)C.[－2,0]D.(－∞，－2]∪[0，＋∞)√由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由該曲線表示圓，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.3.(多選)下列各點中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內部的是A.(0,2) B.(3,3)C.(－2,2) D.(4,1)√√由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0,2)在圓內；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圓外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圓上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圓內.探究核心題型第二部分例1

(1)(2022·全國乙卷)過四點(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三點的一個圓的方程為__________________________________________________________________________________.題型一圓的方程(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5依題意設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.若過(0,0)，(4,0)，(－1,1)，所以圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；若過(0,0)，(4,0)，(4,2)，所以圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若過(0,0)，(4,2)，(－1,1)，若過(－1,1)，(4,0)，(4,2)，(2)(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為___________________.(x－1)2＋(y＋1)2＝5方法一設⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二設⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三設A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半徑為r，∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.(2)待定系數法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值.思維升華跟蹤訓練1

(1)圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1,2)的圓的方程是A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝4√根據題意可設圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，因為圓過點A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.(2)若圓C經過坐標原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當半徑最小時，圓的方程為__________________.例2

已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角頂點C的軌跡方程；題型二與圓有關的軌跡問題方法一設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).設M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3,0)，且M是線段BC的中點，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.求與圓有關的軌跡問題的常用方法(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程.(3)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式.思維升華(1)求動點P的軌跡C的方程；設動點P的坐標為(x，y)，整理得x2＋y2＝2，所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2.(2)已知點B(6,0)，點A在軌跡C上運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程.設點Q的坐標為(x，y)，點A的坐標為(xA，yA)，因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點，又點A在軌跡C上運動，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，命題點1利用幾何性質求最值例3

(2022·泉州模擬)已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：題型三與圓有關的最值問題(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值.命題點2利用函數求最值12由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，＝6y－12.10由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，與圓有關的最值問題的求解方法思維升華(2)建立函數關系式求最值：列出關于所求目標式子的函數關系式，然后根據關系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.思維升華跟蹤訓練3

(1)設P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是A.6 B.25√(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到(5，－4)的距離的平方，∵P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為圓心(2,0)到(5，－4)的距離與半徑之和的平方，圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，設過點(－1,0)的圓的切線斜率為k，則圓的切線方程為y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圓心到切線的距離等于半徑，課時精練第三部分1.(2023·六安模擬)圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝91234567891011121314√基礎保分練因為圓心為(1，－2)，半徑為3，所以圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2.(2023·寧德模擬)已知點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為√1234567891011121314∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，12345678910111213143.若△AOB的三個頂點坐標分別為A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，則△AOB外接圓的圓心坐標為A.(1，－1) B.(－1，－2)C.(1，－2) D.(－2,1)√1234567891011121314由題意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圓的圓心就是線段AB的中點，設圓心坐標為(x，y)，1234567891011121314故所求圓心坐標為(1，－2).12345678910111213144.圓C：x2＋y2－2x－3＝0關于直線l：y＝x對稱的圓的方程為A.x2＋y2－2y－3＝0 B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0 D.x2＋y2＋2y－15＝0√由題意，得圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為(1,0)，半徑為2，故其關于直線l：y＝x對稱的圓的圓心為(0,1)，半徑為2，故對稱圓的方程為x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.12345678910111213145.點M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點，且點M，N關于直線l：x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于√1234567891011121314因為點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經過圓心，6.自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為x－6y－21＝x＋6y－21＝0x＋8y－21＝x－8y－21＝01234567891011121314√由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖所示.1234567891011121314即6x0－8y0－21＝0，結合選項知D符合題意.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標為___________，半徑為___.1234567891011121314(－2，－4)5由圓的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.1234567891011121314∴a＝2不符合題意；當a＝－1時，方程可化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圓心坐標為(－2，－4)，半徑為5.8.已知等腰△ABC，其中頂點A的坐標為(0,0)，底邊的一個端點B的坐標為(1,1)，則另一個端點C的軌跡方程為_________________________________.1234567891011121314x2＋y2＝2(除去點(1,1)和點(－1，－1))設C(x，y)，根據在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考慮到A，B，C三點要構成三角形，因此點C不能為(1,1)和(－1，－1).所以點C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去點(1,1)和點(－1，－1)).9.已知圓心為C的圓經過點A(1,1)和點B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上.線段PQ的端點P的坐標是(5,0)，端點Q在圓C上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程.12345678910111213141234567891011121314所以直線m的方程為x－3y－3＝0.所以圓C的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.1234567891011121314設點M(x，y)，Q(x0，y0).因為點P的坐標為(5,0)，又點Q(x0，y0)在圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上運動，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.123456789101112131410.已知圓C1經過點A(1,3)和B(2,4)，圓心在直線2x－y－1＝0上.(1)求圓C1的方程；12345678910111213141234567891011121314∴AB的垂直平分線為y＝5－x，即圓C1的圓心坐標為(2,3)，半徑r＝1，其方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的點，點P是直線x＋y＝0上的點，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此時點P的坐標.1234567891011121314注意到點C1(2,3)和點C2(－3，－4)在直線x＋y＝0的兩側，直線x＋y＝0與兩圓分別相離，如圖所示.1234567891011121314當且僅當M，N，P在線段C1C2上時取等號，此時點P為直線C1C2與x＋y＝0的交點，過C1，C2的直線方程為7x－5y＋1＝0，1234567891011121314A.1 B.21234567891011121314綜合提升練√圓x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圓心為(2，－2)，依題意，點(2，－2)在直線ax－by