離散型隨機(jī)變量及其分布律公開課一等獎(jiǎng)市優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

一、離散型隨機(jī)變量的分布律二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布三、小結(jié)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律說明一、離散型隨機(jī)變量的分布律定義分布律的基本性質(zhì)：①②證②分布律的本質(zhì)特征本質(zhì)特征的含義：離散型r.v的分布律必滿足性質(zhì)①②滿足性質(zhì)的數(shù)列必是某離散型r.v的分布律①②分布律的幾種表示方法解析式法列表法矩陣法解則有例1

將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，記為正面出現(xiàn)的次數(shù),求的分布律的取值為故的分布律為例解,其樣本空間為問分布律有什么特點(diǎn)？全部和為1所有樣本點(diǎn)遍歷一次二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.1.兩點(diǎn)分布實(shí)例1“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.隨機(jī)變量X服從(0-1)分布.其分布律為實(shí)例2200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0-1)分布.

兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明2.均勻分布如果隨機(jī)變量X的分布律為實(shí)例拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,則有將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,或稱為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).(1)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)3.二項(xiàng)分布(2)n重伯努利試驗(yàn)

伯努利資料實(shí)例1拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).實(shí)例2拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)1點(diǎn)”,就是

n重伯努利試驗(yàn).(3)二項(xiàng)概率公式且兩兩互不相容.稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布例如在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從b(5,0.6)的二項(xiàng)分布.分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例2解圖示概率分布解因此例3有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?

設(shè)1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則解二項(xiàng)分布

泊松分布n很大,p

很小例4故所求概率為4.泊松分布

泊松資料泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.地震

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.火山爆發(fā)特大洪水電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.二項(xiàng)分布

泊松分布n很大,p

很小上面我們提到泊松定理設(shè)>o是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)=npn，則對(duì)于任意一個(gè)固定的非負(fù)整數(shù)k，有

泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，pn很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=npn的泊松分布

設(shè)1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則可利用泊松定理計(jì)算所求概率為解例4有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?例5為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi),配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理(我們也只考慮這種情況),問至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題由泊松定理得故有即個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01.故至少需配備8例6設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由四人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺(tái);其二是由3人共同維護(hù)臺(tái)80.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.解按第一種方法發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”,而不能及時(shí)維修的概率為則知80臺(tái)中發(fā)生故障故有即有

按第二種方法故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為5.幾何分布

若隨機(jī)變量X的分布律為則稱X服從幾何分布.實(shí)例

設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p,對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目X是一個(gè)隨機(jī)變量,求X的分布律.所以X服從幾何分布.說明

幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn)“首次成功”的概率模型.解離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布均勻分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布兩點(diǎn)分布三、小結(jié)例從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件、一件地取產(chǎn)品.設(shè)每次抽取時(shí),所面對(duì)的各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等.在下列三種情形下,分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律.(1)每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢定后又放回這批產(chǎn)品中去在取下一件產(chǎn)品;(2)每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中;(3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批產(chǎn)品中.備份題故X的分布律為解(1)X所取的可能值是(2)若每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中時(shí),故X的分布律為X所取的可能值是(3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批產(chǎn)品中.故X的分布律為X所取的可能值是JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBasel,