2023人教A版高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念及其表示講義

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.1函數(shù)的概念及其表示

例1函數(shù)的解析式是舍棄問題的實(shí)際背景而抽象出來的，它所反映的兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律.例如，正比例函數(shù)y

(左。0)可以用來刻畫勻速運(yùn)動(dòng)中路程與時(shí)間的關(guān)系、一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)

系、圓的周長與半徑的關(guān)系等.

試構(gòu)建一個(gè)問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x(10-x)來描述.

解：把y=x(10—x)看成二次函數(shù)，那么它的定義域是R,值域是B={y|yW25}.對(duì)應(yīng)

關(guān)系f把R中的任意一個(gè)數(shù)x,對(duì)應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)x(lO-x).

如果對(duì)x的取值范圍作出限制，例如xe{x[0<x<10},那么可以構(gòu)建如下情境：

長方形的周長為20,設(shè)一邊長為x,面積為y,那么y=x(10—x).

其中，x的取值范圍是A={x[0<x<10},y的取值范圍是3={y|0<yW25}.對(duì)應(yīng)關(guān)系

了把每一個(gè)長方形的邊長x,對(duì)應(yīng)到唯一確定的面積x(10-x).

例2已知函數(shù)+—J].

(1)求函數(shù)定義域；

⑵求『(-3),W的值.

(3)當(dāng)a>0時(shí)，求/(a),/(。一1)的值.

分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定.如果只給出解析式y(tǒng)=/(x),而沒有指

明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合.

解：(1)使根式&與有意義的實(shí)數(shù)x的集合是卜次2-3},使分式」一有意義的實(shí)數(shù)

X的集合是{xIXH-2}.所以，這個(gè)函數(shù)的定義域是

{x|x.-3)f-{x|x-2}={x|x>-3,-21,

即[-3,-2)U(-2,x).

2

(2)將-3與(代入解析式，有

/(—3)=J—3+3+-----=-1；

-3+2

/FT1/TT33V33

加=b3+%=八7+亍.

3

(3)因?yàn)椤?gt;(),所以/(。)，/(。―1)有意義.

f(a)=Ja+3T———；

V'a+2

f(a-\\=Ja-1+3H--------=y[a+2H——--.

''a-1+2a+l

例3下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)產(chǎn)x是同一個(gè)函數(shù)？

⑴y=(?『；(2)"=必

(3)y=4^"；(4)m=—■

n

解：(1)y=(?y=x(xe{x|x>0}),它與函數(shù)y=x(xeR)雖然對(duì)應(yīng)關(guān)系相

同，但是定義域不相同，所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù))=x(xeR)不是同一個(gè)函數(shù).

(2)〃=折7=丫(VGR),它與函數(shù)y=x(xeR)不僅對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，而且定義域

也相同，所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù)y=x(XGR)是同一個(gè)函數(shù).

(3)y二正二國二^一它與函數(shù)y=x(xeR)的定義域都是實(shí)數(shù)集R,但

[x,x>0

是當(dāng)光<0時(shí)，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)y=x(xeR)不相同.所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù)y=x

(xeR)不是同一個(gè)函數(shù).

2

(4)m=—=n("e{"|〃H0}},它與函數(shù)丁=%(XGR)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同但定義域

n

不相同.所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù)丁=%(xeR)不是同一個(gè)函數(shù).

例4某種筆記本的單價(jià)是5元，買x(xe{l,2,3,4,5})個(gè)筆記本需要)，元.試用函數(shù)的三

種表示法表示函數(shù)y=/(x).

解：這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5}.

用解析法可將函數(shù)y=/(x)表示為

y=5x,xe{l,2,3,4,5}.

用列表法可將函數(shù)y=/(%)表示為

筆記本數(shù)X12345

錢數(shù)y510152025

用圖象法可將函數(shù)>=/(%)表示為圖

25-

20-

!5-

10-

5-

例5畫出函數(shù)y=W的圖象.

一x,x<0

解：由絕對(duì)值的概念，我們有y=<八

x,x>0

所以，函數(shù)丁=|乂的圖象如圖所示.

例6給定函數(shù)〃x)=x+l,g(x)=(x+l)2,xeR,

(1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(x),g(x)的圖象；

(2)VxeR,用M(X)表示〃尤),g(x)中的較大者,記為

M(x)=max{f(x),g(x)}.

例如，當(dāng)x=2時(shí)，M(2)=max{/(2),g(2)}=max{3,9}=9.

請(qǐng)分別用圖象法和解析法表示函數(shù)M(x).

解：(1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(x),g(x)的圖象(圖).

(2)由圖中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)M(x)的定義，可得函數(shù)M(x)的圖象(圖).

由(x+l)2=x+l,得x(x+l)=O.

解得％=—1,或x=0.

+,x<-1

結(jié)合圖3.15得出函數(shù)A/(x)的解析式為M(x)={x+l,-l<xWO.

(x+1)2>0

例7表是某校高一（1）班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分表.

測(cè)試序號(hào)

姓名

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

王偉988791928895

張城907688758680

趙磊686573727582

班級(jí)平均分88.278.385.480.375.782.6

請(qǐng)你對(duì)這三位同學(xué)在高一學(xué)年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析.

解：從表中可以知道每位同學(xué)在每次測(cè)試中的成績(jī)，但不太容易分析每位同學(xué)的成績(jī)變化

情況.如果將每位同學(xué)的“成績(jī)”與“測(cè)試序號(hào)”之間的函數(shù)關(guān)系分別用圖象（均為6個(gè)離散的

點(diǎn)）表示出來，如圖，那么就能直觀地看到每位同學(xué)成績(jī)變化的情況，這對(duì)我們的分析很

有幫助.

從圖3.1-6可以看到，王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定

而且成績(jī)優(yōu)秀.張城同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不穩(wěn)定，總是在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)，而且波動(dòng)

幅度較大.趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)低于班級(jí)平均水平，但表示他成績(jī)變化的圖象呈上升趨

勢(shì)，表明他的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜€(wěn)步提高.

例8依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，個(gè)人取得的所得應(yīng)依照《中華人民共和國個(gè)人所得

稅法》向國家繳納個(gè)人所得稅（簡(jiǎn)稱個(gè)稅）.2019年1月1日起，個(gè)稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得

額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為

個(gè)稅稅額=應(yīng)納稅所得額X稅率-速算扣除數(shù).①

應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為

應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費(fèi)用-專項(xiàng)扣除-專項(xiàng)附加扣除-依法確定的其他扣

除.②

其中，“基本減除費(fèi)用'’（免征額）為每年60000元.稅率與速算扣除數(shù)見表.

級(jí)數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率（％）速算扣除數(shù)

1[0,360(X)]30

2(36000,144000]102520

3(144000,300000]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,6600(刈3052920

6(66(XXX),96(XXX)]3585920

7(960000,+oo)45181920

（1）設(shè)全年應(yīng)納稅所得額為，，應(yīng)繳納個(gè)稅稅額為y,求＞并畫出圖象；

（2）小王全年綜合所得收入額為189600元，假定繳納或者住房租金、贍養(yǎng)老人的基本養(yǎng)老

保險(xiǎn)、基本醫(yī)療保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是

8%,2%專項(xiàng)扣除、專項(xiàng)附加扣除1%,9%,專項(xiàng)附加扣除是52800元，依法確定其他扣除

之外，由國務(wù)院決定以扣是4560元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個(gè)稅？

分析：根據(jù)個(gè)稅產(chǎn)生辦法，可按下列步驟計(jì)算應(yīng)繳納個(gè)稅稅額：

第一步，根據(jù)②計(jì)算出應(yīng)納稅所得額f；

第二步，由r的值并根據(jù)表得出相應(yīng)的稅率與速算扣除數(shù)

第三步，根據(jù)①計(jì)算出個(gè)稅稅額y的值.

由于不同應(yīng)納稅所得額，對(duì)應(yīng)不同稅率與速算扣除數(shù)，所以y是，的分段函數(shù).

解：（1）根據(jù)表3.1-5,可得函數(shù)＞的解析式為

0.03/,0<r<36000

O.lr-2520,36000<t<144000

0.2/-16920,144000<t<300000

y=<0.25t-31920,300000<t<420000,③

0.3Z-52920,420000<t<660000

0.35r-85920,660000<t?960000

0.45z-181920,r>960000

函數(shù)圖象如圖所示.

（2）根據(jù)②，小王全年應(yīng)納稅所得額為

t=189600-60000-189600（8%+2%+1%+9%）—52800-4560

=0.8x189600-117360

=34320.

將f的值代入③，得y=0.03x34320=1029.6.

所以，小王應(yīng)繳納的綜合所得個(gè)稅稅額為1029.6元.

3.1.1函數(shù)的概念

練習(xí)

1.一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845小，且炮彈距

地面的高度力（單位：加）與時(shí)間，（單位：s）的關(guān)系為〃=130/-5/.①

求①所表示的函數(shù)的定義域與值域，并用函數(shù)的定義描述這個(gè)函數(shù).

【答案】定義域?yàn)椋鹒|0?f〈26｝,值域?yàn)椋▅噴必845｝,描述見解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)題目中實(shí)際情境，時(shí)間,為定義域打|0</<26｝,炮彈距地面的高度//為值域

｛/z|0<A<845｝,h（單位：m）與時(shí)間，（單位：s）的關(guān)系為5=130f-5產(chǎn).

【詳解】定義域?yàn)椋?<。<26｝,值域?yàn)椋?<〃<845｝,

對(duì)于數(shù)集｛N0<r<26｝中的任一個(gè)數(shù)3

在數(shù)集｛川0<〃<845｝中都有唯一確定的數(shù)h=130/-5r與之對(duì)應(yīng).

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域、值域以及函數(shù)的定義，需要對(duì)函數(shù)概念及三要素

的靈活掌握，屬于基礎(chǔ)題.

2.2016年11月2日8時(shí)至次日8時(shí)（次日的時(shí)間前加0表示）北京的溫度走勢(shì)如

圖所示.

12t

81：一■^9工7T

3J1y一3P213Y：

8時(shí)11時(shí)14時(shí)17時(shí)208423時(shí)02時(shí)05時(shí)08時(shí)

（1）求對(duì)應(yīng)關(guān)系為圖中曲線的函數(shù)的定義域與值域；

（2）根據(jù)圖象，求這一天12時(shí)所對(duì)應(yīng)的溫度.

【答案】（1）定義域?yàn)棰藝姵?4｝,值域?yàn)椋鹹|2滋/12）；（2）9.3℃.

【解析】

【分析】

（1）由圖可知，定義域?yàn)闀r(shí)間8噫方24},值域?yàn)闇囟葅川2強(qiáng)+12）；

（2）根據(jù)圖象，12時(shí)位于11時(shí)至14時(shí)對(duì)應(yīng)的直線段上，由此計(jì)算12時(shí)所對(duì)應(yīng)

的溫度.

【詳解】（1）由圖可知，設(shè)從今日8點(diǎn)起24小時(shí)內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間，的溫度為y°C,

則定義域?yàn)楹螄姵?4},值域?yàn)閧川2毀/12}.

（2）由圖知，11時(shí)的溫度為8"C,14時(shí)的溫度為12°C,

12—2

12時(shí)的溫度約為------+8。9.3℃.

14-11

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)，通過函數(shù)圖象確定函數(shù)定義域、值域、特殊點(diǎn)

函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

3.集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系/如圖所示：是否為從集合A到集合8的函數(shù)？

如果是，那么定義域、值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)題目所示圖可以看出A中的任意一個(gè)數(shù)，8中都有唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所

以是函數(shù)，定義域是4={L2,3,4,5},值域C={2,3,4,5}.

【詳解】由圖知，A中的任意一個(gè)數(shù)，8中都有唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng),

所以B是從A到B的函數(shù).

定義域是人={1,2,3,4,5},值域C={2,3,4,5}.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義，意在考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

4.構(gòu)建一個(gè)問題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)=?來描述.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)變量關(guān)系的解析式y(tǒng)=?,可設(shè)x為正方形面積，>為正方形的邊長，寫出定

義域值域即可.

【詳解】設(shè)面積為x的正方形的邊長為》則y=4，

定義域?yàn)閧x|x>0},值域?yàn)閧yly>0}.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的應(yīng)用，通過解析式來構(gòu)建問題情境，考查逆向思維

和對(duì)函數(shù)概念的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)

5.求下列函數(shù)的定義域：

(1)f(-V)—;(2)f(X)=y)\—X+y/x+3—1.

4x+7

【答案】(l)卜(2){x|—

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)分母不為0,求出函數(shù)的定義域即可；

(2)根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式組，解出即可.

7

【詳解】(1)由4X+7H0,得XH-,

4

...函數(shù)的定義域卜次7-(}.

(2)由1—%..0,且x+320,得—3WxWl,

...函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-3<x<l}.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)定義域等價(jià)于令函數(shù)有意義的自變

量的取值范圍，因此可根據(jù)題目列關(guān)于自變量的不等式(組)求解即可，屬于基礎(chǔ)

題.

6.已知函數(shù)/(x)=3/+2x,

(1)求/(2),/(-2),/(2)+/(-2)的值；(2)求/(a),f(-a),/(?)+/(-?)

的值.

【答案】(1)/(2)=28,/(-2)=-28,/(2)+/(-2)=0；(2)/(a)=3a3+2?,

/(-。)=-(3/+2a),/(?)+/(-?)=0.

【解析】

【分析】

(1)直接代入數(shù)值計(jì)算即可；

(2)直接代入計(jì)算可得.

【詳解】(1)f(2)=28,/(-2)=-28,/(2)+/(-2)=0；

(2)y(a)=3a3+la,/(-a)=-(3/+2a),f(a)+f(—d)—0.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值，已知函數(shù)解析式，代入自變量計(jì)算求解，屬于基礎(chǔ)

題.

7.判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，并說明理由：

(I)表示炮彈飛行高度h與時(shí)間f關(guān)系的函數(shù)〃=130/-5/和二次函數(shù)

y=130x-5x2；

(2)f(x)=l和g(x)=x°.

【答案】(I)不相等，理由見解析；(2)不相等，理由見解析.

【解析】

【分析】

分別判斷函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，相同則為同一函數(shù)，不同則不是同一函

數(shù).

【詳解】(I)不相等，前者的定義域?yàn)棰藝姵?6},而后者的定義域?yàn)镽.

(2)不相等，前者的定義域?yàn)镽,而后者的定義域?yàn)閧x|x70}.

【點(diǎn)睛】本題考查判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)

法則相同時(shí)，是相同函數(shù)，如果定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則有一個(gè)不同，函數(shù)就不

同，注意x°中{xlxkO},屬于基礎(chǔ)題.

3.1.2函數(shù)的表示法

練習(xí)

8.如圖，把直截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料.，如果矩形的一邊長為x

(單位：cm),面積為y(單位：cm2)?把y表示為x的函數(shù).

【答案】y=x,2500-f(0<r<50)

【解析】

【分析】先表示出矩形的另一邊長，即可表示出矩形的面積.

【詳解】依題意可得圓的直徑為5()cm,則該矩形的另一邊長為45()2一如淇中

22

0<%<50,故矩形的面積y=Xy]5O-x=xj2500-f,

即將y表示為x的函數(shù)為y=%,2500——(0<x<50).

9.畫出函數(shù)y=|x-2|的圖象.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

分類討論去絕對(duì)值，進(jìn)而畫出函數(shù)圖像，或者利用翻折法畫含絕對(duì)值的函數(shù)圖像.

x-2,x>2,

【詳解】解法1：由絕對(duì)值的概念，知y='c

2-x,x<2,

所以函數(shù)的圖象如圖所示.

解法2：(翻折法)先畫出y=x-2的圖象，然后把圖象中位于X軸下方的部分沿X

軸翻折到X軸上面，其他不變.

【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的圖像的畫法，是基礎(chǔ)題.

10.已知函數(shù)/(X)=—X+1,g(x)=(x-l『，XGR.

(1)在圖1中畫出函數(shù)/(x),g(x)的圖象;

(2)定義：VxeR,用〃?(x)表示/(x),g(x)中的較小者，記為

Mx)=min{〃x),g(x)},請(qǐng)分別用圖象法和解析式法表示函數(shù)m(x).(注：圖象

法請(qǐng)?jiān)趫D2中表示，本題中的單位長度請(qǐng)自己定義且標(biāo)明)

-X+1,XG(-00,0]U[1,+00)

【答案】(1)圖象見解析；(2)加(x)=<；圖象見解析.

(X-1)2,XG(0,1)

【解析】

【分析】(1)由一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象特征可得結(jié)果;

（2）根據(jù)機(jī)（x）定義可分段討論得到解析式；由解析式可得圖象.

【詳解】（1）“X），g（x）的圖象如下圖所示:

(2)當(dāng)xVO時(shí),(x-1)2>-x+l,則=/(%)=r+l；

當(dāng)0cx<1時(shí)，工+1,則〃?(》)=8(%)=(%—1)~；

當(dāng)xNl時(shí)，則加(x)=/(x)=-x+l；

—X+1,X€(—00,01[1,+8)

綜上所述：=\.

冰L(x-l)29,xe(O,l)

〃?(x)圖象如下圖所示：

練習(xí)

11.下圖中哪幾個(gè)圖象與下述三件事分別吻合得最好？請(qǐng)你為剩下的那個(gè)圖象寫出

一件事.

（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本

再上學(xué)；

（2）我騎著車離開家后一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一

些時(shí)間;

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)時(shí)間和離開家距離的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷.

【詳解】解：（1）根據(jù)回家后，離家的距離又變?yōu)?,對(duì)應(yīng)（D）；

（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判斷中間有一段函數(shù)值沒有發(fā)生變化，對(duì)應(yīng)

（A）；

（3）由為了趕時(shí)間開始加速，可判斷函數(shù)的圖象上升速度越來越快，對(duì)應(yīng)（B）.

剩下的圖象（C）為：我出發(fā)后越走越累，所以速度越來越慢.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的識(shí)別和判斷，通過分析實(shí)際情況中離家距離隨

時(shí)間變化的趨勢(shì)，找出關(guān)鍵的圖象特征，對(duì)3個(gè)圖象進(jìn)行分析，即可得到答案.

12.某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：

（1）5公里以內(nèi)（含5公里），票價(jià)2元；

（2）5公里以上,每增加5公里，票價(jià)增加1元（不足5公里的按5公里計(jì)算）.如果某條線

路的總里程為20公里，請(qǐng)根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)

的圖像.

2,0<x<5

3,5<x<10

【答案】/(x)=,圖像見解析.

4,10cx<15

5,15<x<20

【解析】

【分析】實(shí)際問題，根據(jù)實(shí)際情況確定分段函數(shù)的取值，及圖像.

【詳解】當(dāng)0<xV5時(shí)，/(x)=2；

當(dāng)5<xW10時(shí),/(x)=3；

當(dāng)10<E5時(shí),/*)=4；

當(dāng)15<xW20時(shí),/(x)=5；

2,0<x<5

3,5<x<10

綜上：函數(shù)解析式為了(》)=

4,10<x<15

5,15<20

按照分段函數(shù)畫出圖像，如下圖:

【點(diǎn)睛】實(shí)際問題中注意自變量的取值范圍，使分段函數(shù)的定義域做到不重不漏.

習(xí)題3.1

復(fù)習(xí)鞏固

13.求下列函數(shù)的定義域:

3x

(1)/(%)

x-4

(2)f(x)=V?；

(3)

(4)f(x)=

【答案】（1）{x|xx4}；（2）R；（3）{x\x^\,且x#2}；（4）{x|x44且xwl}

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；

（2）根據(jù)偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)直接求解即可；

（3）根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；

（4）根據(jù)偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)、分式中的分母為不為零直接求解即可

【詳解】解：（1）vx-4^0,

定義域?yàn)閧x|xr4}；

（2）不論x取什么實(shí)數(shù)，二次根式都有意義，所以定義域?yàn)橹?/p>

（3）X2-3X+2^0,

：.x^\,且XH2,定義域?yàn)榍襒W2}；

’4一畫fx4

（4）\o=>S,=>%,4且xwl.

、I

???定義域?yàn)椤?x44且xwl}.

【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.下列哪一組中的函數(shù)與g（x）是同一個(gè)函數(shù)？

X2

⑴/（x）=x—l,g（x）=---1；

(2)f(x)=x2,g(x)=(4x)4；

(3)f(x)=x2,g(x)=^-

【答案】3）不是；（2）不是；（3）是

【解析】

【分析】

根據(jù)同一函數(shù)的定義，從定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩方面判斷即可.

【詳解】解：（1）/“）定義域?yàn)镽,g（洋定義域?yàn)椋鹸lxwO定

???定義域不同，???/*）與g（x）不是同一函數(shù).

（2）/（X）定義域?yàn)镽,g（x）定義域?yàn)椋鹸|xNO｝,

???定義域不同，

???/（X）與g（x）不是同一函數(shù).

（3）8（幻="=/，f（x）與g（x）定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，，/（幻與g（x）是同

一函數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考查了同一函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

15.畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域、值域：

（1）y=3x；

Q

（2）y=—；

x

（3）y=Tx+5；

（4）y=x2-6x+7.

【答案】（1）答案見解析.

（2）答案見解析.（3）答案見解析.

（4）答案見解析.

【解析】

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像特征，直接畫出圖像，寫出定義域和值域.

【小問1詳解】

一次函數(shù)＞=3x的圖形如圖所示，定義域?yàn)榉仓涤驗(yàn)镽

Q

反比例函數(shù)y=2的圖形如圖所示，定義域?yàn)?—,0)。(0,+8),值域?yàn)?/p>

(-00,0)5。,+00).

【小問3詳解】

一次函數(shù)y=-4X+5的圖形如圖所示，定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽.

【小問4詳解】

二次函數(shù)y=V-6x+7的圖形如圖所示，定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?2,+00).

16.已知函數(shù)/(x)=3x2—5x+2,求/?(—夜)"(_。),/3+3),/伍)+/(3)的值.

【答案】/(-V2)=8+572；f(-a)=3a2+5a+2；/(?+3)=3a2+13a+14；

/(a)+/(3)=3a2-5a+16

【解析】

【分析】

直接代入解析式求值即可.

【詳解】解：/(-V2)=3x(-V2)2-5x(-V2)+2=8+5V2；

/(-a)=3(-4-5(-a)+2=3a2+5a+2；

/(。+3)=3(。+3)2-5(。+3)+2=3。2+13。+14；

f(a)+f(3)=3a2-5?+2+3x32-5x3+2=3a2-5a+16.

【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值，考查了代入思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

x+2

17.已知函數(shù)g(x)=:—

x-6

(1)點(diǎn)(3,14)在函數(shù)的圖像上嗎？

(2)當(dāng)x=4時(shí),求g(x)的值；

(3)當(dāng)g(x)=2時(shí)，求x的值.

【答案】(1)不在；(2)-3；(3)14.

【解析】

x+2

【分析】將x=3,x=4,g(x)=2分別代入g(x)=—即可得所求.

x-6

【詳解】(l)g(3)="Qi7=-95，故點(diǎn)(3,14)不在函數(shù)g(x)的圖像上.

(3)g(%)=----=2=>2x-12=x+2=>x=l4

x—6

18.^f(x)=x2+bx+c,且/(l)=0,/(3)=0,求/(—l)的值.

【答案】8

【解析】

【分析】將/。)=0,/(3)=0代入解析式即可求得從c的值，求得解析式再代入即可

求得了(-1)的值.

【詳解】因?yàn)?（x）=f+4+%且/⑴=0,/（3）=0

[9l++Z3?+c=-0廨方程組可引

則

c=3

則/(x)=f—4x+3

所以〃T)=(T)2_4X(_1)+3=8

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.

19.畫出下列函數(shù)的圖象:

0,x,,0

(1)“幻=*

x>0

（2）G（〃）=3"+l,〃e{1,2,3}.

【答案】（1）圖像見解析；（2）圖像見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的類型直接畫圖即可.

【詳解】解：（1）函數(shù)?/'（x）是一個(gè)分段函數(shù)，函數(shù)圖象如圖（1）所示.

（2）函數(shù)G（〃）的圖象是三個(gè)離散的點(diǎn)，如圖（2）所示.

【點(diǎn)睛】本題考查畫函數(shù)圖象的能力，屬于基礎(chǔ)題.

綜合運(yùn)用

20.如圖，矩形的面積為10.如果矩形的長為x,寬為y,對(duì)角線為d,周長為/,那

么你能獲得關(guān)于這些量的哪些函數(shù)？

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形面積，可以知道長寬的關(guān)系，進(jìn)而可以求出對(duì)角線、周長，利用可以求出

函數(shù)解析式.

【詳解】解：答案不唯一.如：孫=10,，y=W,這是y關(guān)于x的函數(shù)，其中

xe(0,+oo),/=2(x+y)=2lx+一I,

這是/關(guān)于X的函數(shù)，其中％6（0,+?））.儲(chǔ)=/+：/=/+詈，.."=’尤2+袈，

這是d關(guān)于x的函數(shù)，其中xe（0,+8）.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)具體幾何背景求函數(shù)關(guān)系，屬于開放試題.

21.一個(gè)圓柱形容器的底部直徑是dc/n,高是〃cm.現(xiàn)在以u(píng)c加/s的速度向容器內(nèi)

注入某種溶液，求容器內(nèi)溶液的高度x（單位：cm）關(guān)于注入溶液的時(shí)間，（單

位：s）的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域和值域.

【答案]》=其1，/J。,半],xw[0,〃]

【解析】

【分析】

利用圓柱的體積公式和題意直接寫出函數(shù)解析式，進(jìn)而再求出定義域和值域.

【詳解】解：?.?容器內(nèi)液體的體積V==

定義域”。，半，值域川.

一■〃4A1,

【點(diǎn)睛】本題考查了依托幾何背景求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

22.一個(gè)老師用5分制對(duì)數(shù)學(xué)作業(yè)評(píng)分，一次作業(yè)中，第一小組同學(xué)按座位序號(hào)

1,2,3,4,5,6的次序，得分依次是5,3,4,2,4,5,你會(huì)怎樣表示這次作

業(yè)的得分情況？用x,分別表示序號(hào)和對(duì)應(yīng)的得分，y是x的函數(shù)嗎？如果是，那

么它的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？

【答案】用x,y分別表示序號(hào)和對(duì)應(yīng)的得分,y是x的函數(shù)，定義域是{1,2,3,4,5,6},

值域是{2,3,4,5},對(duì)應(yīng)關(guān)系見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可，如果是根據(jù)函數(shù)的定義直接寫出定義域、值域和對(duì)

應(yīng)關(guān)系

【詳解】解：用列表法表示：

序號(hào)123456

分?jǐn)?shù)534245

用x,y分別表示序號(hào)和對(duì)應(yīng)的得分，〉是x的函數(shù)，其中，定義域是

{123,4,5,6},值域是{2,3,4,5},對(duì)應(yīng)關(guān)系如上表所示.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義，考查了函數(shù)的定義域、值域，對(duì)應(yīng)關(guān)系.

23.函數(shù)r=/(p)的圖象如圖所示，

(1)函數(shù)r=/(〃)的定義域、值域各是什么？

(2)r取何值時(shí)，只有唯一的"值與之對(duì)應(yīng)？圖中，曲線/與直線機(jī)無限接近，但

永不相交.

【答案】(1)[-5,0][2,6),[0,+8)

(2)[0,2)U(5,-HX)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的圖象，分析出自變量和函數(shù)值的范圍，可得值域和定義

域；

(2)根據(jù)函數(shù)的圖象，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

解：由函數(shù)r=/(p)的圖象可得，函數(shù)，=〃P)的定義域?yàn)椋篬一5,()]」2,6),值域

為：[0,+8);

【小問2詳解】

解：由已知中函數(shù)r=/(p)的圖象可得：當(dāng)廠目0,2)/5,+8)時(shí)，只有唯一的。值

與之對(duì)應(yīng).

24.畫出定義域?yàn)閧x|-3<x<8,且x#5},值域?yàn)閧川-lWyW2,y#0}的一個(gè)函

數(shù)的圖象.

(1)將你的圖象和其他同學(xué)的相比較，有什么差別嗎？

(2)如果平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足-34xW8,-那么其中

哪些點(diǎn)不能在圖象上？

【答案】(1)答案為唯一，見解析；(2)在線段x=5(-l<y?2),和線段

y=0(-34xV8)上的點(diǎn)不在圖象上.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)所給的定義域和值域的特征，可以畫出線性型函數(shù)即可.

(2)根據(jù)所給的定義域和值域的特征，結(jié)合本問已知可以知道不在圖象上的點(diǎn).

【詳解】(1)由題意可知：定義域?yàn)閧x|-3KxW8,且x#5},值域?yàn)?/p>

{y\-l<y<2,尸0},圖象可以是如下圖所示:

(2)由題意可知中：線段AB:x=5(—14”2),和線段CO:y=0(—34x<8)上

【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的定義域和值域畫圖象，屬于開放題.

25.函數(shù)/。)=[幻的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，。3.5]=-4,

[2.1]=2.當(dāng)xw(-2.5,3]時(shí)，寫出函數(shù)/⑴的解析式，并畫出函數(shù)的圖象.

【答案】解析式見解析，圖象見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)所給函數(shù)的定義進(jìn)行分類討論，畫圖函數(shù)的圖象.

—3,—2.5<x<—2

—2,—2,,x<—1

—1,—L,x<0

【詳解】解:/(x)=O,O?x<l

1,Ux<2

2,2,,x<3

3,x=3

函數(shù)圖象如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，考查了畫函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題.

26.構(gòu)建一個(gè)問題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)=