八年級數(shù)學(xué)上冊《三角形的高、中線與角平分線》練習(xí)題及答案

八年級數(shù)學(xué)上冊《三角形的高、中線與角平分線》練習(xí)題及答案

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

1.如圖，△A2C中BC邊上的高和△AEC中AE邊上的高分別是（）

C.AB和CDD.AB^EF

2.如圖，&/WC的面積是2,40是的中線，AF=^AD,CE=；EF,則△C3E的面積為（

)

4

D.

。|9

3.數(shù)學(xué)活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作SAABC,

小穎畫的三角形面積記作SAOER那么你認(rèn)為（）

小敏畫的三角形

A.S〉A(chǔ)BC>S〉DEFB.S〉A(chǔ)BC<S〉DEF

C.SAABC=SADEFD.不能確定

4.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)。、E、尸分別為邊3。、AD.CE的中點(diǎn)，且△A3C的面積是8cm2,則陰影

部分面積等于（）

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E

7F7

BDC

A.2cm2B.1.5cm2C.1cm2D.0.5cm2

5.如圖，BD是ABC的邊AC上的中線，A石是△ABO的邊8。上的中線，M是△ARE的邊AE上的中線,

若二ABC的面積是32,則陰影部分的面積是（）

C.18D.20

6.請你量一量如圖ABC中BC邊上的高的長度，下列最接近的是（）

0.7cmC.1.5cmD.2cm

7.如圖，已知。、E分別為△A8C的邊8C、AC的中點(diǎn)，連接40、DE,A廠為△AOE的中線.若四邊形

A3。廠的面積為10,則△ABC的面積為（）

A.12B.16C.18D.20

8.已知A,3兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，原點(diǎn)為0,現(xiàn)A點(diǎn)以2m/s的速度向左運(yùn)動，8點(diǎn)以lm/s的速

度向左運(yùn)動，若A,3兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)OA：08=1：2時，用時為（）

￡

?4?3-2-1012345

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7,

或

A.2sB-7C.或IsD.gs2s

二、填空題

9.填空：

(1)如圖(1)A。,BE,C尸是ABC的三條中線，則他=2,BD=,4E=g.

(2)如圖(2)AD,BE,CF是AfiC的三條角平分線，則Nl=_____,Z3--_____,ZACB=2______

一一一2一—一

⑴⑵

10.已知80、CE是△A8C的高，直線20、CE相交所成的角有一個角為45。，則ZBAC等于.

II.如圖，AC//BD,0A,OB分別平分NBAC和—ABD,OE1AB,垂足為E,如果0E=5,那么AC

與BD的距離是

12.如圖，在二ABC中，N84C=90o,A。是高，8E是中線，CF是角平分線，CB交40于點(diǎn)G,交BE于

點(diǎn)H,下面說法正確的是.

①A/WE的面積等于一8CE的面積；②ZAFG=ZAGF；?ZFAG=2ZACF；④CG是△AC￡＞的角平分線

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A

13.如圖，AD是△ABC的中線，BE是△A8。的中線，EFLBC于點(diǎn)F.若S.c=24,BD=4,則EF

長為.

14.若是△ABC的高，ZBAD=10°,ZCAD=20°,則/8AC的度數(shù)為.

15.連結(jié)三角形的一個頂點(diǎn)和它的叫做三角形這邊上的中線.如圖，若BE是

ABC中AC邊上的中線，則AEEC=；.

16.如圖，點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，若陰影部分的面積為|萬，則半圓的半徑OA的長為

第4頁共18頁

三、解答題

17.如圖，△ABE中，/E=90。，AC是/BAE的角平分線.

(1)若NB=40。，求/A4c的度數(shù);

(2)若。是BC的中點(diǎn)，AAQC的面積為16,AE=8,求8c的長.

18.如圖，在,ABC中(AC=2BC,8c邊上的中線4。把一71BC的周長分成60和40兩部分,

求AC和AB的長.

19.在平面內(nèi)，分別用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接，能搭成什么形狀的三角形呢？通過嘗試,

列表如下.

火柴棒

356

數(shù)

2A2

示意圖

1A

12

等邊三角等腰三角

形狀等邊三角形

形形

問：

(1)4根火柴棒能搭成三角形嗎？

(2)8根、12根火柴棒分別能搭成幾種不同形狀的三角形？并畫出它們的示意圖.

20.如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個.ABC,按要求進(jìn)行作圖(只用直尺)

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⑴畫出將ABC向右平移6格，再向上平移3格后的_￡＞防；

⑵畫出^ABC中AC邊上的高8,；

(3)請?jiān)趫D中直接標(biāo)記出3個使一BCP的面積等于3的格點(diǎn)＜、?、6.

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)三角形高的定義，△ABC中BC邊上的高為從BC邊相對的頂點(diǎn)A向BC邊作的垂線段，AAEC

中AE邊上的高為從AE邊相對的頂點(diǎn)C向4E邊作的垂線段，觀察圖形，找出符合要求的線段即可.

【詳解】解：根據(jù)三角形高的定義可知，AB是△ABC中BC邊上的高，CC是△AEC中AE邊上的高，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形高的定義：從三角形一個端點(diǎn)向它的對邊作一條垂線，三角形頂點(diǎn)和它對邊垂足

之間的線段稱三角形這條邊上的高.

2.A

【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)即可求出S?C￡＞,然后根據(jù)等高時，面積之比等于底之比，即可依此求出SzCDF,

SACDE.

【詳解】解：,??△ABC的面積是2,AQ是AABC的中線，

：.S^ACD=^S^ABC=1,

'：AF=-AD,

3

：.DF=^AD,

3

222

???SACDF=-SAACD=-Xi=~,

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,；CE=：EF,

：.CE=-CF

3

1122

JSCDE=-SCDF=-X：=(

A3A339

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的面積關(guān)系，掌握中線的性質(zhì)和等高時，面積之比等于底之比是解決此題的

關(guān)鍵.

3.C

【分析】在兩個圖形中分別作BC、EF邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A、。分別作AGLBC,DH±EF,垂足分別為G、H,

小敏畫的三角形小穎畫的三角形

在ZiABG和△￡)“￡：中，AB=DE=5,

NB=50。,N￡)EH=18O°-13O°=5O°,

:.NB=NDEH,NAGB=NDHE=90°,

：.4AGB%4DHE(AAS),

：.AG=DH.

,:BC=4,EF=4,

:.S4ABC=S4DEF.

故選：C.

【點(diǎn)睛】要題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等底等高兩三角形面積相等.證明會是解題的關(guān)

鍵.

4.A

【分析】先由。為BC中點(diǎn)，求出△ABC和4人。面積，再由點(diǎn)E為中點(diǎn)求出△8CE面積，再根據(jù)F

是CE中點(diǎn)，知陰影部分面積等于ABCE面積的一半，即可求解.

【詳解】解：：力是8C中點(diǎn)，AABC的面積是8cm2,

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?*S&ABD~S&CD=5S38C=4cm~，

???E是4。中點(diǎn)，

,,SAABE=S^BDE=TSAAB。=2cm2,SACE=SCDE=彳S.AC。=2cm2,

，2

?*?SMM=4cm2,

??,尸為CE中點(diǎn)，

，S陰影=cm2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的等積變換，掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解題關(guān)

鍵.

5.B

【分析】利用中線等分三角形的面積進(jìn)行求解即可.

【詳解】???是一ABC的邊AC上的中線，

S&ABD=SBCD=2S&ABC=/x32=16,

???AE是△AB。的邊80上的中線，

?.SAM=SA0￡=5S人8。=萬X16=8，

又：所是△ARE的邊AE上的中線，則C77是一ACE的邊AE上的中線，

,S詆=SMF=QS.BE='X8=4,SCEF=SACF=SADE=SCED=&SACE=8，

則S陰影=SBEE+CEF=4+8=12,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了中線的性質(zhì)，清晰明確三角形之間的等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AO_LBC,

用刻度尺直接量得A0更接近2cm,

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故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查利用刻度尺量取三角形高的長度，作出三角形的高是解題關(guān)鍵.

7.B

【分析】根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積即可得到結(jié)論.

【詳解】設(shè)心心=x,

為△AQE的中線.

,?SAEF=SA0F=X,SADE=2X

,/E分別為△ABC的邊AC的中點(diǎn)，

??SADE=SCDE=2x,S.CZM=4"

,/D分別為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，

=

SCDA=SBDA4x,SAnc-8x

四邊形ABDF的面積=sF[)A+SRDA=5x=10

解得x=2

/.SAUC=8x=16

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，熟練三角形的中線平分三角形的面積是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】設(shè)A,B兩點(diǎn)同時出發(fā)運(yùn)動的時間為rs,分類討論①當(dāng)A點(diǎn)在0點(diǎn)右側(cè)時和②當(dāng)A點(diǎn)在0點(diǎn)左側(cè)

時，分別用/表示出0A和。8,再列出等式，解出，即可.

【詳解】設(shè)A,8兩點(diǎn)同時出發(fā)運(yùn)動的時間為fs,

分類討論①當(dāng)A點(diǎn)在。點(diǎn)右側(cè)時，即時，

此時。8=l+f,OA=3-2t,

*：0A：0B=\：2

A(3-2r)：(1+0=1：2

3

解得：f=符合題意；

②當(dāng)A點(diǎn)在。點(diǎn)左側(cè)時，即f>g,

此時O6=l+f,Q4=2f—3,

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'：0A：OB=1：2

(2f-3)：(1+0=1：2

73

解得：f=g>G，符合題意.

7

綜上可知f=l或f=§時，OA：OB=1：2

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵.

9.AF或8尸CDACZ2ZABCZ4

【分析】(1)根據(jù)三角形的中線定義：三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線可得￡、

F、￡>分別是AC、AB、BC上的中點(diǎn)，進(jìn)而得到答案.

(2)根據(jù)角平分線定義，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線

即可解答.

【詳解】解：(1);CF是AB邊上的中線，

：.AB=2AF=2BF；

?；A￡)是BC邊上的中線，

BD=CD,

是AC邊上的中線，

：.AE=^AC,

(2)是NBAC的角平分線，

/.Zl=Z2,

是NABC的角平分線，

Z3=-ZAfiC,

2

：CF是N4C8的角平分線，

Z.ZACB=2Z4.

故答案為：■或8尸；CD；AC；Z2；ZABC；Z4

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中線、角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線及角平分線的定義.

10.45?；?35°

【分析】分兩種情況：(1)當(dāng)/A為銳角時，如圖1,(2)當(dāng)/A為鈍角時，如圖2,根據(jù)三角形的內(nèi)角和

計(jì)算得出結(jié)果.

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【詳解】解：分兩種情況：

(1)當(dāng)NA為銳角時，如圖1,

VZDOC=45°,

：.ZEOD=]35°,

■:BD、CE是△ABC的高，

???ZAEC=ZADB=90°,

9：ZEAO+ZAEO+ZAOE=\SO°=ZDAO+ZDOA^ZADO,

：.ZAEO+ZEAD+ZADO+ZEOD=360°

：.ZA=360°-90°-90°-135°=45°；

(2)當(dāng)NA為鈍角時，如圖2,

VZF=45°,ZADF=ZAEF=90°,

同理ZDAE=360o-900-90o-45°=135°,

：.ZBAC=ZDAE=\35°,

則N8AC的度數(shù)為45?；?35°,

故答案為：45?；?35°.

F

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高和三角形的內(nèi)角和，明確三角形內(nèi)角和，三角形的高所構(gòu)成了兩個直角;

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本題是易錯題，容易漏解，要分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行計(jì)算.

II.10

【分析】過點(diǎn)。作OM_LAC于M,作ONJ.BD于N,利用平行線的性質(zhì)可證得OM_LBD,進(jìn)而可證得MN

為AC和BD的距離，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知OE=OM=OE,即可求得MN的長度.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作OMLAC于M,作ONLBD于N.

OA,OB分別平分/84C和NABD,OE1AB,

，OM=OE=ON=5,

又AC〃BD,OM±AC,

OM±BD,又ON_LBD,

AM,O,N三點(diǎn)共線，

AC與BD之間的距離為MN=OM+ON=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查求平行線間的距離、角平分線的性質(zhì)、八個基本事實(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，作出

AC和BD之間的距離是解答的關(guān)鍵.

12.①②③④

【分析】根據(jù)等底同高的三角形的面積相等即可判斷①；根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/ABC=/C4O,

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出②；根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出根據(jù)角平分線定義

即可判斷③；根據(jù)三角形的角平分線的定義判斷④即可.

【詳解】解：是中線，

：.AE=CE,

.?.△ABE的面積=ABCE的面積（等底同高的三角形的面積相等），①正確；

?rep是角平分線，

NACF=NBCF,

AD為同］,

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???ZADC=90°,

a：ZBAC=90°,

：.ZABC+ZACB=90°fZACB+ZCAD=90°,

：.ZABC=ZCADf

VZAFG=ZABC+ZBCFfZAGF=ZCAD+ZACFf

：.ZAFG=ZAGFf②正確；

?「AO為高，

NAQB=90。，

VZBAC=90°,

AZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90Q,

：.NACB=/BAD,

?二C/是NACB的平分線，

:.ZACB=2ZACFf

：.ZBAD=2ZACFf即/項(xiàng)G=2N4CF,③正確；

Tb是NACB的平分線，CF交AO于點(diǎn)G,

???CG是△AC。的角平分線，④正確；

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高線等知識

點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

13.3

【分析】因?yàn)镾ABDE=^-SAABD；所以SABQE=1S.A3C,再根據(jù)三角形的面積公式求得

224

即可.

【詳解】解：?.?AO是△ABC的中線，S"1BC=24,

：.S^ABD=^S^ABC=12,

同理，BE是△AB。的中線，S川旄=：S=6,

?；SABDE=WBD?EF,

：.：BD?EF=6,

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gp|x4xEF=6

:,EF=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的面積，三角形的中線特點(diǎn)，理解三角形高的定義，根據(jù)三角形的面積公式求

解，是解題的關(guān)鍵.

14.90°或50°

【分析】分高在AABC內(nèi)部和外部兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：①如圖1,當(dāng)高AO在AABC的內(nèi)部時，

NBAC=NBAD+Z040=70°+20。=90。；

②如圖2,當(dāng)高AO在AABC的外部時，

NBAC=NBAD-ZCAD=70°-20o=50°,

綜上所述，ZBAC的度數(shù)為90。或50°.

故答案為：90?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線，難點(diǎn)在于要分情況討論.

15.所對邊的中點(diǎn)線段=AC

【分析】根據(jù)三角形中線的定義，即可求解.

【詳解】解：連結(jié)三角形的一個頂點(diǎn)和它所對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形這邊上的中線.

：BE是一ABC中AC邊上的中線，

AE=EC=-AC

2

故答案為：所對邊的中點(diǎn)；線段；=;AC；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線，熟練掌握連結(jié)三角形的一個頂點(diǎn)和它所對邊的中點(diǎn)的線段叫做三

角形這邊上的中線是解題的關(guān)鍵.

16.3.

【分析】如圖，連接。。,。28,證明CD//A8,再證明S扇形.u=S陰影=￡，從而可以列方程求解半徑.

【詳解】解：如圖，連接OC,ORCD

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點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn),

ZAOC=Z.COD=ZDOB=60°,

OC=OD,

??..COD為等邊三角形，

???ZOCD=60°,

.?.ZAOC=ZDCO,

:.CD//AB,

,?,uqCOD_~°qBCD，

S扇形OCD=S陰影=Q-，

2

60%?OA_3兀

一~360―-三，

解得：。4=3,（負(fù)根舍去），

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查的圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，平行線的判定與性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算,

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

17.(1)NBAC=25。；

(2)BC=8

【分析】(1)先利用互余計(jì)算出NBAE=50。，再利用角平分線的定義得到NBAC=3/BAE=25。；

(2)先根據(jù)三角形面積公式得出Z)C,利用。是BC的中點(diǎn)得到3c即可.

(1)

解：VZB=40°,NE=90°,

：.ZBAE=90°-40°=50°,

；AC是/BAE的角平分線,

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...N2AC=；N8AE=25。；

(2)

'：S^ADC=^DC>AE,

A|xDCx8=16,

：.DC=4,

?.?。是BC的中點(diǎn)，

：.BC^2CD=S.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，線段的中點(diǎn)，角平分線的定義的正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

18.AC=48,AB=28

【分析】由題意可得AC+8=60,Afi+BD=40,由中線的性質(zhì)得AC=2BC=4CD=45O,故可求得

AC=48,即可求得AB=28.

【詳解】由題意知AC+C￡>+89+AB=l(X),AC+8=60,AB+BD^40

VAC=2BC,。為BC中點(diǎn)

AC=2BC=4CD=ABD

：.AC+CD=AC+-AC=-AC=60