與角平分線有關(guān)的輔助線

關(guān)于與角平分線有關(guān)的輔助線第1頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等全等形角平分線SSS、SAS、ASA、AAS；HL全等三角形性質(zhì)定義應(yīng)用判定全等三角形知識(shí)體系第2頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

既然全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角都相等。那么今后在證明線段（邊）和角相等的問題中，全等就將被作為一個(gè)基本方法來使用（但請(qǐng)注意不是唯一的方法），

學(xué)以致用第3頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三生活中的對(duì)稱軸對(duì)稱等腰三角形

等邊三角形軸對(duì)稱圖形用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱利用軸對(duì)稱變換作圖：作軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱知識(shí)體系線段的垂直平分線第4頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三如圖，△ABC≌△DEF，（1）若∠BAC=70°，∠F=80°，則∠B=

（2）若AB=6，DF=4,則EF的長(zhǎng)度可取下列各數(shù)中的哪個(gè)值？（）（A）1（B）2（C）9（D）11

（3）若△ABC的面積為24，則△DEF的面積為（４）若AG是△ABC的一條中線，DH是△DEF的一條中線，且AG=5，則DH=30°C2470°80°5BACDEF64GH第5頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例：已知，AC、BD相交于O，BO=DO，CO=AO，過O任作一直線EF分別交BC、AD于E、F，求證：OE=OF。OFEDCBA

BO=DO，∠BOC=∠DOA（對(duì)頂角相等）CO=AO∴△BOC≌△DOA（SAS）∴∠B=∠D

（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

OB=OD，∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOF（ASA）∴OE=OF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明：在△BOE與△DOF中∠B=∠D在△BOC與△DOA中例題講解須兩次全等。第6頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

如圖，在ΔABC中，AD平分∠BAC,BD=CD,求證：∠B=∠C

證明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E﹑F∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°在Ｒｔ△BDE和Ｒｔ△CDF中

BD＝CD

DE＝DF∴Ｒｔ△BDE≌Ｒｔ△CDF∴∠B=∠C

FE例題講解第7頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三如圖，∠B＝∠C＝90°，E是BC中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證（1）AE平分∠DAB，（2）AB＋CD＝AD，（3）AE⊥DE。證明：作EF⊥AD垂足為F

∵DE平分∠ADCEF⊥AD，∠C＝90°∴EF＝EC

∵E是BC中點(diǎn)∴

EC＝EB

∴EF＝EB

∵EF⊥AD，∠B＝90°∴AE平分∠

DAB活學(xué)活用第8頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例4.如圖，AB∥CD,，AE平分∠DAB，DE平分∠ADC。求證：AB＋CD＝AD,E是BC中點(diǎn).

證明：在DA上截取DF＝DC，連結(jié)EF第9頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三輔助線做法一：向角的兩邊作垂線段（利用角平分線性質(zhì)），自角平分線一點(diǎn)，，是一種常見的。概括歸納第10頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三歸納：當(dāng)題目的條件出現(xiàn)于某個(gè)角的平分線時(shí)，可在這個(gè)角的兩邊截取相等的線段，利用角的軸對(duì)稱性構(gòu)造全等三角形，也是一種常用的輔助線。第11頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例3.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB﹥AD，AC平分∠BAD；∠B﹑∠ADC互補(bǔ)求證：CD＝BC證明：作CE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于E作CF⊥AB，垂足為F∵AC平分∠BAC，CE⊥AD，CF⊥AB∴CE＝CF，∠CED＝∠CFB＝90°∵∠B與∠ADC互補(bǔ)∴∠B＋∠ADC＝180°∵∠CDE＋∠ADC＝180°∴∠CDE＝∠B在△CED和△CFB中∠CED＝∠CFB∠CDE＝∠BCE＝CF∴△CED≌△CFB∴CD＝BC第12頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例5.如圖所示，在四邊形ABCD中AB﹥AD，AC平分∠BAD，∠B與∠D互補(bǔ)。求證：CD＝BC。證明：在AB上截取AE＝AD，連結(jié)CE∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠BAC在△ADC和△AEC中AD＝AE∠DAC＝∠BACAC＝AC∴△ADC≌△AEC∴CD＝CE，∠D＝∠AEC∵∠B與∠D互補(bǔ)∴∠B＋∠D＝180°∵∠AEC＋∠CEB＝180°∴∠CEB＝∠B∴CE＝CB∴CD＝BC第13頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例6.如圖，點(diǎn)P是△ABC的角平分線AD上任一點(diǎn)，且

AB﹥AC。求證：PB－PC﹤AB－AC第14頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例7.如圖所示，AB∥CD，E是BC中點(diǎn)，DE平分∠ADC

求證：AE平分∠BAD。第15頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三BCADFE例8：如圖，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線為E。求證：BD＝2CE第16頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例9：已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D為垂足，AB>AC。求證：∠2=∠1+∠BABCED213第17頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三歸納:利用角的軸對(duì)稱性作角平分線的垂線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形（等腰三角形），又是與角平分線有關(guān)的一種添加輔助線的方法。第18頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三小結(jié)1.全等三角形和軸對(duì)稱的基礎(chǔ)知識(shí)

2.與角平分線有關(guān)的輔助線（常見有三種）。

:

（1）基于角平分線的性質(zhì)作輔助線。（2）基于以角平分線為對(duì)稱軸而作的輔助線。（3）基于等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)而作的輔線。第20頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

三.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱小結(jié)：

在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等.點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為______.點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為______.(x,－y)(－x,y)第21頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三4、軸對(duì)稱的性質(zhì)：

①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

③軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。第22頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三1、什么叫線段垂直平分線？

經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。2、線段垂直平分線有什么性質(zhì)？線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（純粹性）。你能畫圖說明嗎？線段的垂