八年級數(shù)學(xué)上冊勾股定理的逆定理培優(yōu)題

2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】

專題19.10勾股定理的逆定理

姓名：班級：得分：

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米

黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.（2020秋?上海期末）在aABC中，NA、NB、NC的對應(yīng)邊分別是6、c,下列條件中不能說明AABC

是直角三角形的是（）

A.b2=a2-<?B.NC=NA+NB

C.NA：ZB：ZC=3：4：5D.a：b：c=5：12：13

【分析】利用宜角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可.

【解析】A、廿=〃2-，2,即"2=必+’2,符合勾股定理的逆定理，能夠判定△A8C為直角三角形，不符

合題意；

B、NC=NA+NB,此時NC是直角，能夠判定AABC是直角三角形，不符合題意；

C、ZA：ZB：ZC=3：4：5,那么N4=45°、N8=60°、NC=75°,△A8C不是直角三角形，符

合題意；

。、132=52+122,符合勾股定理的逆定理，能夠判定△A8C為直角三角形，不符合題意.

故選：C.

2.（2020秋?上海期末）在△ABC中，AC=6,8c=8,48=10,平分/8AC交BC于點(diǎn)。，那么點(diǎn)。

到A8的距離是（）

7

A.4.8B.4C.3D.-

4

【分析】過點(diǎn)D作DE±AB于E,根據(jù)勾股定理的逆定理得出AABC是直角三角形，根據(jù)角平分線上的

點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD=CE,再利用“HL”證明RtZVlC。和RtZ\AED全等，根據(jù)全等三角形

對應(yīng)邊相等可得AE=AC,再利用勾股定理列式求出48,然后求出BE,設(shè)CD=OE=x,表示出BQ,

然后利用勾股定理列出方程求解即可.

［解析】如圖，過點(diǎn)。作DE±AB于E,

在△ABC中，AC=6,BC=8,A8=10,

/.62+82=102,

...△ABC是直角三角形，ZC=90°,

平分N8AC,

：.CD=ED,

在RtAACD和RtAAED中,

(AD=AD

LCD=ED'

.".RtAACD^RtAA￡￡>(HL),

."E=AC=6,

：.BE=AB-AE=]O-6=4,

設(shè)CD=DE=x,則BD=8-x,

在RtZ\8DE中，D*+BU=BD2,

/+42=(8-x)2,

解得x=3.

故。E的長為3.

故選：C.

3.（2020秋?浦東新區(qū)期末）三角形三邊長分別為①3,4,5②5,12,13③17,8,15④I,3,2^2.其中

直角三角形有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【解析】①32+42=52,符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形；

②52+122=132,符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形；

③82+152=*2,符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形：

④『+（2位'2=32,符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成宜角三角形.

故選：D.

4.（2019秋?浦東新區(qū)期末）下列各組數(shù)據(jù)是線段長，其中不能作為直角三角形的三邊長的是（)

A.1,1,V2B.1,V3C.1,V3,2D.V3,",V5

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直

角三角形.如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形.

【解析】A、正+12=（V2）2,符合勾股定理的逆定理，故能作為直角三角形的三邊長；

B.12+（V2）2=?3）2,符合勾股定理的逆定理，故能作為直角三角形的三邊長；

C、仔+（遮）2=22,符合勾股定理的逆定理，故能作為直角三角形的三邊長；

3、（V3）2+（V4）2片（V5）2,不符合勾股定理的逆定理，故不能作為直角三角形的三邊長.

故選：D.

5.（2021春?蜀山區(qū)校級期中）下列條件中，不能判定AABC為直角三角形的是（）

A.a：bxc=5：12：13

B.NA：ZB：ZC=2：3：5

C.a=9k,b=40k,c=4ik（左＞0）

222

D.a=3ffe=4,c=5

【分析】利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可.

【解析】A、因?yàn)閍：b：c=5：12：13,設(shè)a=5x,b=12x,c=13x,（5x）2+（12A-）（13x）2,故4

48c是直角三角形；

B、ZA：ZB：ZC=2：3：5,且NA+NB+NC=180°,所以NC=180°x^|^=90°,故4ABC

是直角三角形；

C、因?yàn)椋?k）2=（41&）2-（40%）2,故△ABC是直角三角形；

D、因?yàn)椋?2）2=（52）2一（42）2,故△ABC不是直角三角形.

故選：D.

6.（2021春?廬陽區(qū)校級期中）△ABC的三邊為“，江c且（”+b）（a-b）=/,則該三角形是（）

A.銳角三角形

B.以c為斜邊的直角三角形

C.以》為斜邊的直角三角形

D.以“為斜邊的直角三角形

【分析】由題意可知：）+廿="2,此三角形三邊關(guān)系符合勾股定理的逆定理.

【解析】由題意，a2-b2=c2,

'.b2+c2=（r,

此三角形三邊關(guān)系符合勾股定理的逆定理，

所以此三角形是以。為斜邊的直角三角形.

故選：D.

7.(2021春?路南區(qū)校級月考)已知a,6,c分別為aABC的三邊長，則符合下列條件的△ABC中，直角

三角形有()

111

(1)b=jc=~(2)“2=(b+c)(6-c)；(3)ZA：ZB：NC=3：4：5；(4)a=7,b=24,

c^25；(5)a='2,匕=2,c=4.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行逐項(xiàng)分析解答即可.

【解析】⑴由a1b=1,c=頡得，力廬小，故△4BC不是直角三角形；

(2)由“2=(b+c)(b-c)可得，a2+c2=b2,故^ABC是直角三角形；

(3)由NA：ZB：ZC=3：4：5可得，ZC=180°Xw=75°<90°,故aABC不是直角三角形；

(4)由a=7,〃=24,c=25可得，c1=a2+h2,故△ABC為直角三角形；

(5)由〃=2,b=2,c=4可得，a+b=c,故不能構(gòu)成三角形.

故選：A.

8.(2019秋?樂亭縣期末)已知d-2“+1+7^=1+(c-V5)2=0,貝U以〃、氏c為三邊的三角形的面積為

()

LV5

A.V5B.1C.2D.一

2

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得“、氏c的值，再利用勾股定理逆定理判定為直角三角形，然后再求面

積即可.

【解析】,：a2-2a+\+Vb^2+(c-V5)2=0,

(?-1)2=0,y[b^2=0,c-V5=0,

b=2,c=V5>

Vl2+22=(V5)2,

'.a2+bz=c2-,

...△ABC是直角三角形，

三角形的面積為：|xlX2=b

故選：B.

9.（2020秋?會寧縣期末）滿足下列條件的△ABC,不是直角三角形的是（）

A.fB.a：b：c=5：12：13

C.ZA：NB：NC=3：4：5D./C=NA-NB

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理逆定理對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.

【解析】A、由廿」2=。2,可得：廿=，2+”2,是直角三角形，故本選項(xiàng)錯誤；

B、由a：b：c=5：12：13,可得（5x）2+（12x）2=（13x）2,是直角三角形，故本選項(xiàng)錯誤；

C、由NA：ZB：ZC=3：4：5,可得：NC=75°,不是直角三角形，故選項(xiàng)正確；

D、由NC=NA-N2,可得/A=90°,是直角三角形，故本選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

10.（2021春?武昌區(qū)期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將

它們記錄在如下的表格中.則當(dāng)”=24時，He的值為（）

a68101214???

b815243548???

c1017263750???

A.250B.288C.300D.574

【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出6、。的值，再求出答案即可.

【解析】從表中可知：。依次為6,8,10,12.14,16,18,20,22,24,，即24=2X（10+2）,

人依次為8,15,24,35,48,；即當(dāng)。=24時,Z>=122-1=143,

c依次為為,17,26,37,50,?即當(dāng)a=24時,c=122+l=145,

所以當(dāng)”=24時，b+c=143+145=288,

故選：B.

二.填空題（共8小題）

11.（2019秋?蘭考縣期末）有一個三角形的兩邊長是4和5,要使這個三角形成為直角三角形，則第三邊

長為3或WT.

【分析】因?yàn)闆]有指明哪個是斜邊，所以分兩種情況進(jìn)行分析.

【解析】①當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r，第三邊="TF=V41；

②當(dāng)邊長為5的邊為斜邊時，第三邊=府二不=3.

12.（2018秋?奉賢區(qū)期末）如果三角形的三邊長分別為1,2,再，那么這個三角形最大邊上的中線長是1.

【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理可判定此三角形是直角三角形，則最大邊上的中線即為斜邊上的中

線，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而得出結(jié)果.

【解析】v12+（V3）2=4=22,

三邊長分別為1,2,舊的.?.角形是直角三角形，最大邊是斜邊為2.

二最大邊上的中線長為1.

故答案為：1.

13.（2020秋?溫江區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABC。中，ZC=90°,40=13,AB=2V14,BC=9,DC

=12,則四邊形ABCD的面積為13m+54.

【分析】連接BD，利用勾股定理計(jì)算出8。長，再利用勾股定理逆定理證明△A8D是直角三角形，且/

4=90°,然后再求四邊形A8CD的面枳即可.

【解析】連接BQ,

VZC=90°,BC=9,DC=12,

BD=y/BC2+CD2=V81+144=V225=15,

\'AB2+AD2=（2V14）2+132=56+169=225=￡）B2,

.?.△ABO是直角三角形，且NA=90°,

四邊形ABCD的面積為：-AB'AD+iCB-CD^1X2V14X13+1x9X12=13x/14+54,

222I

14.（2021春?黃石期末）如圖，已知NA￡>C=90°,AD=Sm,CD=6m,BC=24m,AB=26m,則圖中陰

影部分的面積為96m2.

D

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACB為直角三角形，再根據(jù)

11

5陰影=/CXBC-與4。XC￡＞即可得出結(jié)論.

【解析】在RtZ^AOC中，

'：CD=6m,AD=Sm,ZADC=90°,8c=24/w,AB=26m,

：.AC2=AD1+CD2=82+62=100,

：.AC=\0m,（取正值）.

在△ABC中，,.?AC2+BC2=K）2+242=676,4^=262=676.

：.AC2+HC2=AH2,

...△4C8為直角三角形，NACB=90°.

S陰需=工CXBC-^ADXCD=|xlOX24-1x8*6=96（?z2）.

故答案是：96〃,

15.（2020春?扎蘭屯市期末）若△ABC的三邊長分別是1、或、V3,則最長邊上的中線長為后.

【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出

答案即可。

【解析】Vl2+（V2）2=（V3）2,

...△ABC是直角三角形，斜邊的長度是百，

???最長邊（斜邊）上的中線長為三XV3=—,

22

故答案為：乎“

2

16.（2021春?廣州校級期中）如圖，在△ABC中，AB=12,8c=13,AC=5,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，則線段

AD的長為蘭?

z

A

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可證明△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半即可求解.

【解析】???52+122=132,

:.AC2+AB2=BC1,

...△ABC是直角三角形，NBAC=90°,

?.?。為8c的中點(diǎn)，

113

：.AD=^BC=號.

13

故答案為：—.

17.（2020秋?蘇州期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1.網(wǎng)格內(nèi)有△B48,則/抬8+NPBA

的度數(shù)是45°.

【分析】延長”到C,使AP=PC,連接BC,根據(jù)勾股定理求出AC=PC=8C=6，

根據(jù)等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出△PCS是等腰直角一角形，再得出答案即可.

延長AP到C,使AP=PC,連接8C,

\'AP=PC=Vl2+22=V5,

同理BC=V5,

,:BP=Vl2+32=V10,

:.PC=BC,Pd+Bd=P爐,

...△PCB是等腰直角三角形，

:.NCPB=NCBP=45°,

：.ZPAB+ZPBA=ZCPB=45°,

故答案為：45°.

18.如圖，在四邊形ABC。中，點(diǎn)E為48的中點(diǎn)，DE_LAB于點(diǎn)E,AB=6,DE=相,BC=\,CD=713,

則四邊形ABC。的面積為4V3.

【分析】連接8D,根據(jù)勾股定理的逆定理得出△8C。是直角三角形，進(jìn)而利用三角形的面積公式解答

即可.

【解析】連接班），

:點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，OE_LA8于點(diǎn)E,AB=6,DE=V3,

1

：.EB^^AB=3,

：.BD=>JDE2+EB2=V3T9=273,

V(2V3)2+l2=(V13)2,即8￡>2+B4=CD2,

...△BCD是直角三角形，且NDBC=90°,

■1111

二四邊形ABCD的面積=SMBD+S^BCD=^ABDF+|BCBD=1x6xV3+1x2V3xl=473,

故答案為：4-\/3.

三、解答題（本大題共6小題，共46分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（2020秋?福田區(qū)校級期末）如圖所示，在四邊形ABDC中，ZA=90°,AB=9,AC=12,BD=8,

CD=H.

（1）連接BC,求BC的長；

（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由.

D

【分析】（I）直接利用勾股定理得出BC的長；

（2）直接利用勾股定理逆定理進(jìn)而分析得出答案.

【解析】⑴VZA=90°,

：.BC=y/AB2+AC2=V92+122=15；

（2）△5CD是直角三角形，

理由：VBC2=152=225,

B￡>2=82=64,

C〃2=*2=289,

8c2+8D2=CD2=289,

...△BCD是直角三角形.

20.（2020春?曾都區(qū)期末）如圖，在四邊形ABC。中，A8=3,8c=4,C￡>=12,A￡>=13,N8=90°.

（1）連接AC,求證：△ACO是直角三角形；

（2）求△ACO中4。邊上的高.

【分析】（1）連接AC,先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△AC。的形狀;

（2）利用三角形的面積公式求解即可.

【解答】（I）證明：連接4C,在Rt^ABC中，

AC2=AB2+BC2=32+42=25,

."C=5,

VCD=12,AQ=13,

:.AC2+CD2=AD2,

：.ZACD=90°,

...△AC。是直角三角形;

（2）解：過點(diǎn)C作C”,A。于點(diǎn)兒

11

則S^ACD=JADXCH=|ACXCD,

11

X13XC//=4X5X12,

22

21.（2020秋?內(nèi)江期末）如圖，AABC中，BC的垂直平分線QE分別交AB、8c于點(diǎn)。、E,JIBD1-DA2

=AC2.

(1)求證：ZA=90°；

(2)若AB=8,AD：BD=3：5,求AC的長.

【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得C￡>=8￡）,然后利用勾股定理逆定理可得結(jié)論;

（2）首先確定80的長，進(jìn)而可得CO的長，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】（1）證明：連接CD,

的垂直平分線OE分別交A8、8c于點(diǎn)。、E,

：.CD=DB,

".'BI）2-DA1=AC2,

：.CD2-DAi=AC2,

.'.CD^^ADr+AC2,

...△4CO是直角三角形，且N4=90°；

(2)解：VAB=8,AD-.BD=3：5,

，AD=3,BD=5,

：.DC=5,

：.AC=y/CD2-AD2=<25-9=4.

22.(2021春?廬陽區(qū)期末)如圖，每個小正方形的邊長都為1,2XABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

(1)判斷AABC的形狀，并說明理由；

(2)求48邊上的高/?.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理得出即可;

(2)根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【解析】(DZVIBC是直角三角形，

理由:AB=V32+42=5>

AC=Vl2+22=V5.

BC=V22+42=2瓜

,：(2V5)2+(V5)2=52,

...△A8C是直角三角形；

(2),?S&ABC=1/1C?BC=夕2?〃，

xVsx2V5=ix5h,

2/

/?=2.

23.（2019秋?普寧市期中）己知：如圖，在△ABC中，。是8C的中點(diǎn)，DELBC,垂足為。，交A8于點(diǎn)

E,iLBE1-EA2=AC1.

(1)求證：/A=90°；

(2)若A8=8,fiC=10,求AE的長.

【分析】（1）連接CE,由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得BE=CE,再結(jié)合條件可求得E笳+A^MC^,

可證得結(jié)論；

（2）在RtZ\BQE中可求得BE,則可求得CE,在Rt^ABC中，利用勾股定理結(jié)合已知條件可得到關(guān)于

AE的方程，可求得4E.

【解答】（1）證明：連接CE,如圖，

：.CE=BE,

'：BE2-EA1=AC1,

：.CE2-E/^AC2,

:.EA2+AC2=CE1,

.,.△ACE