2022-2023學年河北省邢臺市私立維明學校高三數(shù)學理期末試卷含解析

2022-2023學年河北省邢臺市私立維明學校高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，若則等于

A．80

B．30

C．26

D．16參考答案：B2.已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則()A．－3

B．－1

C．1

D．3參考答案：C3.與橢圓有相同焦點，且短軸長為的橢圓方程是（

）

、、

、

、參考答案：D略4.已知集合，則=

（

）A. B. C. D.參考答案：C5.設是等差數(shù)列的前n項和，若

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.設x，y滿足約束條件，則z=3x﹣2y的最大值為（）A．1 B．4 C．8 D．11參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，設利用數(shù)形結合即可的得到結論．【解答】解：x，y滿足約束條件的可行域如圖：z=3x﹣2y得y=x﹣，平移y=x﹣，當y=x﹣經過可行域的A時，z取得最大值，由，解得A（5，2）．此時z的最大值為：3×5﹣2×2=11．故選：D．7.已知關于x的二次函數(shù)f（x）=ax2﹣2bx+1，設點（a，b）是區(qū)域內的隨機點，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型．【分析】首先畫出可行域，求出面積，計算滿足函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上的增函數(shù)的a，b滿足區(qū)域的面積，利用幾何概型公式得到所求．【解答】解：點（a，b）對應的平面區(qū)域，表示一個直角三角形ACF，面積為×4×4=8，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，且a＞0，則對稱軸≤1，此時滿足條件的點在如圖所示的陰影部分：陰影部分的面積為四邊形BCEG的面積是，故滿足條件的概率p==，故選：C．【點評】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題與幾何概型的綜合考查；正確畫出區(qū)域，利用面積比求概率是關鍵．8.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A．1

B．

C．

D．4參考答案：D9.設i為虛數(shù)單位，則復數(shù)（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i參考答案：C【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故選：C．10.已知點及拋物線上一動點，則的最小值是A．

B．1

C．2

D．3參考答案：C考點：拋物線由拋物線的定義知：F（0,1）,|PF|=y+1,

所以=|PF|-1+|PQ|

即當P,Q,F共線時，值最小。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.．函數(shù)的圖象如圖所示，則

．參考答案：由圖象知，所以，又，所以。所以，又，即，所以，所以，所以。在一個周期內，所以。即。12.9粒種子分種在3個坑內，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個坑內至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種，若一個坑內的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種。假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元，用表示補種費用，則的數(shù)學期望值等于．參考答案：試題分析：根據(jù)題意，每個坑需要補種的概率是相等的，都是，所以此問題相當于獨立重復試驗，做了三次，每次發(fā)生的概率都是，所以需要補種的坑的期望為，所以補種費用的期望為.考點：獨立重復試驗.13.

若數(shù)列的前項和，則數(shù)列中數(shù)值最小的項是第

項．參考答案：答案：314.設函數(shù),A0為坐標原點，An為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標為的點，向量，向量i=（1，0），設為向量與向量i的夾角，則滿足

的最大整數(shù)n是

.參考答案：315.已知函數(shù)滿足=1且，則=___________．參考答案：102316.某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其他三門藝術課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課的概率為

（用數(shù)字作答）.

參考答案：略17.某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個房間,每個房間至少住1人,且A、B不能住同一房間,則共有

種不同的安排方法（用數(shù)字作答）。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底）（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在上無零點，求的最小值；（3）若對任意的，在上存在兩個不同的使得成立，求的取值范圍．參考答案：（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）的最小值為；（3）．試題分析：（1）把代入到中求出，令求出的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令，求出的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；（2）時不可能恒成立，所以要使得函數(shù)在上無零點，只需要對時，恒成立，列出不等式解出大于一個函數(shù)，利用導數(shù)得到函數(shù)的單調性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個函數(shù)的最大值即可得到的最小值；（3）求出，根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間，即可求出的值域，而當時不合題意；當時，求出時的值，根據(jù)列出關于的不等式得到①，并根據(jù)此時的的值討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)單調區(qū)間得到②和③，令②中不等式的坐標為一個函數(shù)，求出此函數(shù)的導函數(shù)，討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，聯(lián)立①和④即可解出滿足題意的取值范圍．試題解析：（1）時，由得；得．故的減區(qū)間為，增區(qū)間為．（2）因為在上恒成立不可能，故要使在上無零點，只要對任意的，恒成立即時，．令則再令

于是在上為減函數(shù)故在上恒成立在上為增函數(shù)

在上恒成立又故要使恒成立，只要若函數(shù)在上無零點，的最小值為．

（3）當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù)．函數(shù)在上的值域為當時，不合題意；當時，．故．①此時，當變化時，，的變化情況如下—0+↘最小值↗

時，，任意定的，在區(qū)間上存在兩個不同的

使得成立，當且僅當滿足下列條件即

②即

③令

令得當時，

函數(shù)為增函數(shù)當時，

函數(shù)為減函數(shù)所以在任取時有即②式對恒成立由③解得

④由①④當時，對任意，在上存在兩個不同的使成立．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值．19.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤鬭=3，sinC=2sinB，求b、c的值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】解三角形．【分析】（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得：=，化為2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，即可得出；（2）利用正弦定理余弦定理即可得出．【解答】解：（1）由正弦定理余弦定理得=，∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）由sinC=2sinB，得c=2b，由條件a=3，，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=3b2，解得．【點評】本題考查了正弦定理余弦定理的應用、兩角和差的正弦公式、三角形內角和定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.（本題滿分12分）已知函數(shù)為偶函數(shù)，數(shù)列滿足，且，.（Ⅰ）設，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和.參考答案：【知識點】數(shù)列的求和；等比關系的確定．D4

D3【答案解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）函數(shù)為偶函數(shù)，………2分

數(shù)列為等比數(shù)列………5分

（Ⅱ）

………7分

設

………10分設

………12分【思路點撥】（Ⅰ）利用函數(shù)f（x）=x2+bx為偶函數(shù)，可得b，根據(jù)數(shù)列{an}滿足an+1=2f（an﹣1）+1，可得bn+1+1=2（bn+1），即可證明數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列；（Ⅱ）由cn=n（2bn﹣1）=2n?2n﹣3n，利用錯位相減可求數(shù)列的和．21.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+n2﹣1，數(shù)列{bn}滿足3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，且b1=3．（Ⅰ）求an，bn；（Ⅱ）設Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求Tn，并求滿足Tn＜7時n的最大值．參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合．【專題】點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．【分析】（Ⅰ）在已知數(shù)列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式，兩式作差后整理得到an﹣1=2n﹣1，則數(shù)列{an}的通項公式可求，把an代入3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，整理后求得數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）由錯位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn，然后利用作差法說明{Tn}為遞增數(shù)列，通過求解T3，T4的值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由，得（n≥2），兩式相減得，an=an﹣an﹣1+2n﹣1，∴an﹣1=2n﹣1，則an=2n+1．由3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，∴3n?bn+1=（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）=4n+3．∴．∴當n≥2時，，由b1=3適合上式，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴①．②．①﹣②得，=．∴．∵．∴Tn＜Tn+1，即{Tn}為遞增數(shù)列．又，．∴Tn＜7時，n的最大值3．【點評】本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)列遞推式，訓練了利用數(shù)列的前n項和求通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，求解（Ⅱ）的關鍵是說明數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列，是中高檔題．22.橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2．設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】綜合題；探究型；分類討論；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓通徑，得a=2b2，結合橢圓離心率可得a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設出P（x0，y0），當0≤x0＜2時，分和求解，當時，設出直線PF1，PF2的方程，由點到直線的距離公式可得m與k1，k2的關系式，再把k1，k2用含有x0，y0的代數(shù)式表示，進一步得到．再由x0的范圍求得m的范圍；當﹣2＜x0＜0時，同理可得．則m的取值范圍可求．【解答】解：（Ⅰ）由于c2=a2﹣b2，將x=﹣c代入橢圓方程，得，由題意知，即a=2b2．又，∴a=2，b=1．故橢圓C的方程為；（Ⅱ）設P