新教材2023版高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.1向量數(shù)量積的概念8.1.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律課件新人教B版必修第三冊(cè)

8．1.1向量數(shù)量積的概念8．1.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解平面向量數(shù)量積的概念及物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義．3．會(huì)用平面向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系．新知初探·自主學(xué)習(xí)教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一向量的夾角定義范圍____________特例θ＝______a與b同向θ＝180°a與b反向θ＝90°a與b垂直，記作_________，規(guī)定________可與任一向量垂直∠AOB0°≤θ≤180°0°a⊥b零向量

|a||b|cos〈a，b〉a·b向量O1A12．投影的數(shù)量：向量a的方向與直線l的正向所成的角為θ，________稱作a在________上的數(shù)量或在__________上的數(shù)量．3．a(chǎn)·b等于|a|與b在a方向上的投影的乘積，也等于|b|與a在b方向上的投影的乘積．其中a在b方向上的投影與b在a方向上的投影是不同的，投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零．知識(shí)點(diǎn)四數(shù)量積的性質(zhì)1．若e是單位向量，則e·a＝a·e＝______________．2．若a⊥b，則a·b

＝0；反之，若a·b

＝0，則a⊥b，通常記作a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)．|a|cosθ直線l直線l的方向|a|cos〈a·e〉

知識(shí)點(diǎn)五向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

答案：D

答案：C解析：在△ABC中，因?yàn)閎·a＝0，所以b⊥a，故△ABC為直角三角形．

互補(bǔ)

8課堂探究·素養(yǎng)提升

根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及投影的定義解答．

③④(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，則a在b方向上的投影的數(shù)量為________，b在a方向上的投影的數(shù)量為________．

－4

方法歸納(1)在書寫數(shù)量積時(shí)，a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×”連接，更不能省略不寫．(2)求平面向量數(shù)量積的方法：①若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.②若已知一向量的模及另一向量在該向量上的投影，可利用數(shù)量積的幾何意義求a·b.跟蹤訓(xùn)練1

(1)給出下列判斷：①若a2＋b2＝0，則a＝b＝0；②已知a，b，c是三個(gè)非零向量，若a＋b＝0，則|a·c|＝|b·c|；③a，b共線?a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b滿足：a·b>0，則a與b的夾角為銳角；⑧若a，b的夾角為θ，則|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影長(zhǎng)．其中正確的是________．(填序號(hào))①②⑥解析：由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，故①正確；若a＋b＝0，則a＝－b，又a，b，c是三個(gè)非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正確；a，b共線?a·b＝±|a||b|，所以③不正確；對(duì)于④應(yīng)有|a||b|≥a·b，所以④不正確；對(duì)于⑤，應(yīng)該是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正確；⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正確；當(dāng)a與b的夾角為0°時(shí)，也有a·b>0，因此⑦錯(cuò)；|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影，而不是投影長(zhǎng)，故⑧錯(cuò)．綜上可知①②⑥正確．

答案：D

答案：A題型2數(shù)量積的基本運(yùn)算例2已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為135°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積．

方法歸納(1)求平面向量數(shù)量積的步驟是：①求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]；②分別求|a|和|b|；③求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ.(2)非零向量a與b共線的條件是a·b＝±|a||b|.

【答案】

B

跟蹤訓(xùn)練3

已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a與b的夾角為120°，求向量b的模．解析：因?yàn)閍2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2，將x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，所以|b|＝3.題型4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)例4

(1)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夾角為60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求當(dāng)m為何值時(shí)，c與d垂直？

(2)已知a，b是兩個(gè)非零向量．①若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a與b的夾角；②若|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．

跟蹤訓(xùn)練4

若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________．

實(shí)數(shù)a，b，c向量a，b，ca≠0，a·b＝0?b＝