兩因素及多因素方差分析

關(guān)于兩因素及多因素方差分析第1頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三本章內(nèi)容9.1兩因素方差分析中的基本概念9.2固定模型9.3隨機(jī)模型9.4混合模型9.5兩個(gè)以上因素的方差分析9.6缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)9.7變換第2頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.1兩因素方差分析中的基本概念9.1.1模型類(lèi)型交叉分組設(shè)計(jì)(crossoverdesign)：假設(shè)A藥物有a水平，B藥物有b水平，有ab個(gè)劑量混合，每組重復(fù)n次。共有abn名病人參加實(shí)驗(yàn)。對(duì)于兩因素交叉分組設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)要采用兩因素方差分析固定模型：兩因素實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)因素都是固定因素時(shí)；隨機(jī)模型：兩因素實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)因素都是隨機(jī)因素時(shí)；混合模型：兩因素實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)因素是固定因素，另一個(gè)是隨機(jī)因素時(shí)。第3頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.1.2主效應(yīng)與交互作用主效應(yīng)(maineffect):因素水平的改變?cè)斐梢蛩匦?yīng)的改變，稱(chēng)該因素的主效應(yīng)。A1A2B11824B23844A因素的主效應(yīng)為(24+44)/2-(18+38)/2=6第4頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.1.2主效應(yīng)與交互作用9.1.2主效應(yīng)與交互作用交互作用(interaction):某一因素在另一因素不同水平上產(chǎn)生的效應(yīng)不同，則兩因素間存在交互作用。A1A2B11828B23844交互作用的大小用A1B1+A2B2-A1B2-A2B1來(lái)估計(jì)A(在B1的水平上)=A2B1-A1B1A(在B2的水平上)=A2B2-A1B2第5頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三當(dāng)A、B間不存在交互作用時(shí)，從B1變化到B2不以A水平的變化而改變，所以B1-B1，B2-B2兩線(xiàn)平行(圖9-1a);當(dāng)存在交互作用時(shí)，A的效應(yīng)依B的水平而不同，所以B1-B1，B2-B2

兩線(xiàn)不平行(圖9-1b)。第6頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.1.3兩因素交叉分組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的一般格式兩因素實(shí)驗(yàn)的典型設(shè)計(jì)：假定A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復(fù)有ab次實(shí)驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)重復(fù)n次，則試驗(yàn)總次數(shù)為abn。數(shù)據(jù)以表9-1的形式出現(xiàn)。第7頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三第8頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

表9-1中，xi..表示A因素第i水平的所有觀(guān)測(cè)值的和；x.j.表示B因素第j水平的所有觀(guān)測(cè)值的和；xij.表示A的第i和B的第j水平的所有觀(guān)測(cè)值的和；x…表示所有觀(guān)測(cè)值的和。第9頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.2固定模型9.2.1線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型觀(guān)測(cè)值可以用以下線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型描述：其中是總平均效應(yīng)；i是A因素第i水平的處理效應(yīng)；βj是B因素第j水平的處理效應(yīng)；(αβ)ij

是交互作用效應(yīng)，

εijk為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，σ2)。

第10頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三兩因素交叉分組設(shè)計(jì)中，固定模型方差分析的零假設(shè)為：

第11頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.2.2平方和與自由度的分解A因素引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互作用引起的平方和SSAB及誤差平方和分別是：第12頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三相應(yīng)的自由度為：相應(yīng)均方為：

第13頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.2.3均方期望與統(tǒng)計(jì)量F的確定第14頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三第15頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.2.4平方和的簡(jiǎn)易計(jì)算方法將(9.9)~(9.11)變形得：其中為校正項(xiàng)，用C表示。誤差平方和是通過(guò)計(jì)算重復(fù)間平方和得到的。(9.13)可以改寫(xiě)為：

第16頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三交互作用平方和為：例9.1

第17頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.2.5無(wú)重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的兩因素方差分析觀(guān)測(cè)值的線(xiàn)性模型：

Σαi=Σβj=0;第18頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

例9.2第19頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

9.2.6交互作用的判斷(Tukey,1949)將殘余項(xiàng)平方和(SST-SSA-SSB)分解為具有1自由度的非累加（交互作用）的成分和具(a-1)(b-1)-1自由度的誤差成分：例9.3第20頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.2.7多重比較固定效應(yīng)模型中，如果主效應(yīng)顯著，還應(yīng)該在每一因素（例如A)的各水平的平均數(shù)之間做多重比較，仍然使用Duncan多范圍檢驗(yàn)；如果交互作用顯著，則將B固定在某一水平，在該特定水平上，比較A因素各水平的平均數(shù)。例如，將例9.1中的A因素固定在第二種原料上，比較不同溫度對(duì)產(chǎn)量的影響。將產(chǎn)量依次排序：第21頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

如果考慮交互作用的話(huà)，就要比較全部ab次處理，才能得出哪些差異是顯著的。這樣比較的結(jié)果不僅包括主效應(yīng)，而且包括交互作用。第22頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.3隨機(jī)模型9.3.1線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型隨機(jī)模型的線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型如下:

第23頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.3.2均方期望與統(tǒng)計(jì)量F的確定

方差分析與固定模型的分析一樣，分別計(jì)算出SST，SSA，SSB，SSe。各均方的數(shù)學(xué)期望分別為：

從均方的數(shù)學(xué)期望可以看出，的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是：第24頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三第25頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

隨機(jī)分析模型的方差分析表：例9.4第26頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.4混合模型9.4.1線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型

混合模型中，每一觀(guān)測(cè)值xijk的線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型為：其中αi是固定效應(yīng)，βj是隨機(jī)效應(yīng)，交互作用(αβ)ij為隨機(jī)效應(yīng)。Σαi=0，βj是服從N(0，)的隨機(jī)變量。交互作用效應(yīng)是平均數(shù)為0，方差為正態(tài)隨機(jī)變量。因?yàn)楣潭ㄒ蛩氐娜拷换プ饔眯?yīng)之和為0，所以在固定因素的某個(gè)水平上，交互作用的成分不是獨(dú)立的。第27頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.4.2均方期望與統(tǒng)計(jì)量F的確定第28頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三固定因素效應(yīng)的估計(jì)為：例9.5第29頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三在隨機(jī)模型和混合模型中，不設(shè)置重復(fù)，同樣會(huì)有固定模型中的問(wèn)題，即因素間的交互作用與實(shí)驗(yàn)誤差無(wú)法區(qū)分，全部歸于誤差項(xiàng)。特別是在混和模型中，隨機(jī)因素的個(gè)水平之間存在的差異，往往檢查不出來(lái)，結(jié)果降低了實(shí)驗(yàn)的可靠性。因而，在條件允許的情況下，不論哪種模型，最好都設(shè)置重復(fù)。第30頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.5兩個(gè)以上因素的方差分析9.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律將兩種方式分組的方差分析，擴(kuò)展到一般情況。例如，在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，A因素有a水平，B因素有b水平，C因素有c水平，假設(shè)每一處理都有n次重復(fù)(n≥2)，那么總觀(guān)測(cè)次數(shù)為abcn，線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型為：第31頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三第32頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三自由度的分解：

dfA=a-1dfB=b-1dfC=c-1dfAB=(a-1)(b-1)dfAC=(a-1)(c-1)dfBC=(b-1)(c-1)dfABC=(a-1)(b-1)(c-1)dfe=abc(n-1)第33頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.5.2均方期望的表格化推演表格法推演均方期望有以下規(guī)定：1.線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型中誤差εijk的下標(biāo)寫(xiě)為ε(ij)k，括號(hào)內(nèi)的下標(biāo)為死下標(biāo)(deadsubscript);括號(hào)外的下表為活下標(biāo)(livesubscript)。αi,βi，(αβ)ij中的下標(biāo)都為活下標(biāo)；2.固定模型中各因素的效應(yīng)分別用該模型分量的平方和除以自由度表示；3.隨機(jī)模型中各因素的效應(yīng)分別用以希臘字母為下標(biāo)的方差表示；4.混合模型中，交互作用的兩個(gè)因素只要有一個(gè)是隨機(jī)的，則交互作用是隨機(jī)的，其方差分量記為σ2αβ；5.不論哪種模型，誤差的方差一律極為σ2.第34頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三以固定模型為例，說(shuō)明推演步驟：第35頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三第36頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.5.3統(tǒng)計(jì)量F的確定一般規(guī)律：為了得到檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)因素或某個(gè)交互作用的統(tǒng)計(jì)量，在計(jì)算F時(shí)分子均方的組成比分母均方的組成僅多出欲檢驗(yàn)的分量(固定因素)或方差分量(隨機(jī)因素)，除此之外的其他成分應(yīng)完全相同。以三因素交叉分組實(shí)驗(yàn)的方差分析為例，說(shuō)明檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的確定。線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型為：第37頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)A、C為固定因素，B為隨機(jī)因素，構(gòu)成混合模型，各均方期望由下表給出第38頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三交互作用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為：三個(gè)主效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為：第39頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.6缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，由于意外原因，使全部數(shù)據(jù)中的一個(gè)或兩個(gè)缺失，又沒(méi)有重做實(shí)驗(yàn)的可能性，可以采用補(bǔ)救。補(bǔ)救原則：補(bǔ)上缺失的數(shù)據(jù)以后，所得到的誤差平方和最小。第40頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.6.1缺失一個(gè)數(shù)據(jù)設(shè)表9-13中x23是缺失的第41頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

為了使SSe達(dá)到最小，令，則可以計(jì)算出x=2159.6.2缺失兩個(gè)數(shù)據(jù)

設(shè)表9-14中缺失x23和x42，分別稱(chēng)為x和y。

第42頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三方程的解，即為x和y的值從而，x=213.55,y=366.05第43頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.6.3缺失數(shù)據(jù)資料的方差分析缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)，可以使計(jì)算得以完成，但并不能提供更多的信息。因此，實(shí)驗(yàn)工作一定要認(rèn)真操作，數(shù)據(jù)要仔細(xì)記錄。由于缺失數(shù)據(jù)是估計(jì)值，當(dāng)缺失一個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，總自由度和誤差自由度都相應(yīng)減1，但A、B兩因素各自的自由度不變。同樣，缺失兩個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，總自由度和誤差自由度都相應(yīng)減2。如果缺失數(shù)據(jù)不是很多，對(duì)處理平均數(shù)之間的檢驗(yàn)影響不大，在缺失數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)之后，按照一般方法進(jìn)行方差分析，只要將總自由度和誤差自由度減去缺失數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可。第44頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.7變換方差分析應(yīng)該滿(mǎn)足三個(gè)條件：可加性、正態(tài)性和方差齊性。數(shù)據(jù)變換的目的主要是滿(mǎn)足方差齊性的要求，同時(shí)正態(tài)性和可加性都可以得到較好的滿(mǎn)足。9.7.1平方根變換此法適用于各組均方與其平均數(shù)之間有某種比例關(guān)系的資料，尤其適用于總體呈泊松分布的資料。轉(zhuǎn)換的方法是求出原數(shù)據(jù)的平方根。第45頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

若原觀(guān)測(cè)值中有為0的數(shù)或多數(shù)觀(guān)測(cè)值小于10，則把原數(shù)據(jù)變換成。對(duì)于穩(wěn)定均方，使方差符合同質(zhì)性的作用更加明顯。變換也有利于滿(mǎn)足效應(yīng)可加性和正態(tài)性的要求。

9.7.2反正弦變換(arcsinetransformation)

反正弦轉(zhuǎn)換也稱(chēng)角度轉(zhuǎn)換。此法適用于服從二項(xiàng)分布的資料。轉(zhuǎn)換的方法是求出每個(gè)原數(shù)據(jù)平方根的(用百分?jǐn)?shù)或小數(shù)表示)的反正弦，轉(zhuǎn)換后的數(shù)值是角度值。第46頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.7.3對(duì)數(shù)變換(logarithmictransformation)

如果各組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)的平方大體成比例，或者效應(yīng)為相乘性或非相加性，則將原數(shù)據(jù)變換為對(duì)數(shù)(lgx)后，可以使方差變成比較一致而且使效應(yīng)由相乘性變成相加性。如果原數(shù)據(jù)包括有0，可以采用lg(x+1)變換的方法。第47頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三謝謝第48頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三例9.1為了從3中不同原料和3中不同發(fā)酵溫度中，選出最適宜的條件，設(shè)計(jì)了一個(gè)兩因素試驗(yàn)，并得到表9-3(P125)。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，溫度和原料均為固定因素。每一處理有4次重復(fù)。將表中的每一位數(shù)字減去30，列成表9-4.1。第49頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三利用xij.列，列成表9-4.2。由表9-4.1可以計(jì)算出第50頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

由表9-4.2可以計(jì)算出第51頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

列成方差分析表原料和溫度在α=0.01水平上拒絕H0，交互作用在α=0.05水平上拒絕H0。因此，酒精的產(chǎn)量，不僅與原料及發(fā)酵溫度有關(guān)，而且與兩者的交互作用有關(guān)。第52頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖9-2為原料與溫度的交互作用，可以明顯看出3條折線(xiàn)的非平行關(guān)系。在30oC時(shí)，原料2的產(chǎn)量高于原料3，而當(dāng)35oC時(shí)原料2的產(chǎn)量反而低于原料3。因此，在選擇因素的最優(yōu)水平時(shí)，一定要考慮交互作用的影響。

第53頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三由于存在交互作用，在固定模型中，每一處理都應(yīng)設(shè)置重復(fù)。重復(fù)之間的平方和為誤差平方和。有了誤差平方和，才能把交互作用從總平方和中分解出來(lái)。如果不設(shè)重復(fù)，所得到的殘余項(xiàng)平方和，包括由誤差及交互作用兩部分所引起的平方和，σ2和η2αβ混雜在一起無(wú)法分開(kāi)。因此在因素間存在交互作用時(shí)，不設(shè)重復(fù)是無(wú)意義的。▲第54頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三F1，8，0.05=5.32，F(xiàn)<F0.05。因此，沒(méi)有充分根據(jù)說(shuō)明數(shù)據(jù)見(jiàn)存在交互作用。

▲第55頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三例9.2題目及相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)P127

解密度和施肥量都是固定因素。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，密度與施肥量之間不存在交互作用。將表9-6中每個(gè)xij減去700，列成表9-7。第56頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三第57頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三結(jié)論是，密度間的產(chǎn)量差異在α=0.05水平上顯著；施肥量之間的差異在α=0.01的水平上顯著。再經(jīng)過(guò)多重比較，便可以從選定的水平中選出最佳密度和最佳施肥量?！?8頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三例9.3判斷例9.2中密度與施肥量是否存在交互作用。解根據(jù)表9-7中的數(shù)據(jù)，得代入9.23式，得

第59頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三F1，8，0.05=5.32，F(xiàn)<F0.05，所以，沒(méi)有充分根據(jù)說(shuō)明數(shù)據(jù)間存在交互作用。

▲第60頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

例9.4為了研究施用不同數(shù)量的農(nóng)家肥及不同農(nóng)工的田間管理對(duì)作物產(chǎn)量的影響,設(shè)計(jì)了一個(gè)兩因素實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下:第61頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

解將表中每個(gè)數(shù)據(jù)減去9.5，列成表9-9.1：第62頁(yè)，講稿共70頁(yè)，2023年5月2日，星期三

利用