基本不等式幾大題型

基本不等式幾大題型

剔除下面文章的格式錯誤，刪除明顯有問題的段落,然后再小幅度的改寫每段話。例1：已知a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：a2＋b2＋c2≥1/3.證明：由均值不等式，有a2＋b2＋c2≥1/3(a＋b＋c)2=1/3.因?yàn)閍＋b＋c＝1，所以a2＋b2＋c2≥1/3成立，證畢.例2：已知a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2≥2/3.證明：(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2=2(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)≥2×3(abc)1/3×2(abc)1/3=2/3(a＋b＋c)2=2/3.因?yàn)閍＋b＋c＝1，所以(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2≥2/3成立，證畢.例3：已知a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：a3＋b3＋c3＋6abc≥1/4.證明：由均值不等式，有a3＋b3＋c3≥1/3(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)=1/3(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca).又因?yàn)?a＋b＋c)3＝a3＋b3＋c3＋3(a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2)+6abc=1＋3(a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2)+6abc≥1＋9abc+6abc=1/4.所以a3＋b3＋c3＋6abc≥1/4.因?yàn)閍＋b＋c＝1，所以a3＋b3＋c3＋6abc≥1/4成立，證畢.例4：已知a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：a/b＋b/c＋c/a≥3.證明：由均值不等式，有a/b＋b/c＋c/a≥3(abc)1/3/(abc)1/3=3.因?yàn)閍＋b＋c＝1，所以a/b＋b/c＋c/a≥3成立，證畢.1.函數(shù)f(x)=x(1-x)(0<x<1)的值域?yàn)槭裁?？解析：?dāng)0<x<1時(shí)，1-x>0，x(1-x)≤1/4。所以f(x)的值域?yàn)閇0,1/4]。2.函數(shù)f(x)=x(1-2x)的值域?yàn)槭裁?？解析：?dāng)0<x<1/2時(shí)，1-2x>0，x(1-2x)≤1/8；當(dāng)1/2<x<1時(shí)，1-2x<0，x(1-2x)≥1/8。所以f(x)的值域?yàn)閇0,1/8]。3.已知0<x<1，則x(3-3x)取得最大值時(shí)x的值為多少？解析：x(3-3x)=3x(1-x)≤3/4(x+1-x/2)=3/2。當(dāng)且僅當(dāng)x=1/2時(shí)取等號，所以x(3-3x)取得最大值時(shí)x=1/2。4.函數(shù)y=x^(1-x2)的最大值為多少？解析：y=x^(1-x2)=e^(lnx(1-x2))≤e^((lnx+(1-x2))/2)=e^((1+x-ln(1+x))/2)。當(dāng)x=(1-ln2)/2時(shí)，取等號，所以y的最大值為e^((1-ln2)/4)。5.已知t>0，則函數(shù)y=t^2-4t+1/t的最小值為多少？解析：y=(t^3-4t^2+1)/t=(t-1)^2(t+1)/t≥-2。當(dāng)t=1時(shí)，取等號，所以y的最小值為-2。6.當(dāng)x>0時(shí)，則f(x)=(2x)/(x+1)的最大值為多少？解析：f(x)=(2x)/(x+1)≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號，所以f(x)的最大值為2。題目1：求函數(shù)f(x)=x^2-3x+1在x>3時(shí)的最小值。解析：可以通過“添項(xiàng)”和基本不等式來求解。將f(x)拆項(xiàng)，得f(x)=(x-3)^2-8。由于(x-3)^2≥0，所以f(x)≥-8，即f(x)+8≥0。根據(jù)基本不等式，可以得到f(x)+8≥-2(x-3)^2+5。當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，取等號，所以f(x)的最小值為5。題目2：已知函數(shù)f(x)=(x-3)^2-3(x-3)+11/(x-3)，求f(x)在x=4附近的極值。解析：將(x-3)看作變量t，那么f(x)可以表示為t^2-3t+11/t。對f(x)求導(dǎo)，得到f'(x)=2t-3+(-11/t^2)，令f'(x)=0，解得t=1。由于t=x-3，所以當(dāng)x=4時(shí)，t=1，所以f(x)在x=4附近的極值為f(4)=5。題目3：已知函數(shù)f(x)=cx^2+dx+f，a≠0，且函數(shù)f(x)=ax+b的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱，求c、d、f的值。解析：由于函數(shù)f(x)=ax+b的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱，所以f(2-x)=ax+b。將x替換為2-x，得到f(x)=a(4-2x)+b。將f(x)和f(2-x)代入函數(shù)f(x)=cx^2+dx+f中，得到c=2a，d=-4a，f=5a+b。由于a≠0，所以可以通過給a賦值來確定c、d、f的值。題目4：已知x>0，y>0，且x+y=18，求xy的最大值。解析：由于x+y=18，所以x=18-y。將x代入xy中，得到xy=y(18-y)=-y^2+18y。對該函數(shù)求導(dǎo)，得到y(tǒng)'=18-2y，令y'=0，解得y=9。由于y>0，所以y=9時(shí)，xy取得最大值81。題目5：已知x+y+z=6，求xyz的最大值。解析：由于x+y+z=6，所以xyz≤(x+y+z)^3/27=64/3。當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2時(shí)，xyz取得最大值64/3。題目6：已知x>0，y>0，且4x+3y=12，求xy的最大值。解析：由于4x+3y=12，所以y=4-4x/3。將y代入xy中，得到xy=x(4-4x/3)=-4/3x^2+4x。對該函數(shù)求導(dǎo)，得到y(tǒng)'=-8/3x+4，令y'=0，解得x=3/2。由于x>0，所以x=3/2時(shí)，y=3，所以xy取得最大值3。5.已知$x>0$，$y>0$，$\lgx+\lgy=1$，則$\frac{x+y}{xy}$的最小值為多少？解析：由已知條件$\lgx+\lgy=1$，可得$xy=10$。則$\frac{x+y}{xy}\geq\frac{2\sqrt{xy}}{xy}=2\sqrt{\frac{1}{xy}}=2$，故當(dāng)且僅當(dāng)$x=y=\sqrt{10}$時(shí)取等號。因此，$\frac{x+y}{xy}$的最小值為$2$。(2012·天津高考)已知$\log_2a+\log_2b\geq1$，則$3a+9b$的最小值為多少？解析：由$\log_2a+\log_2b\geq1$得$\log_2(ab)\geq1$，即$ab\geq2$，因此$3a+9b=3a+2(4b)+b\geq2\sqrt{3a\cdot2\cdot4b\cdotb}=12\sqrt{6}$（當(dāng)且僅當(dāng)$a=2b$時(shí)取等號）。因此，$3a+9b$的最小值為$12\sqrt{6}$。3.設(shè)$x,y\in\mathbb{R}$，$a>1$，$b>1$，若$ax=by=3$，$a+b=23$，則$\frac{x+y}{xy}$的最大值為多少？解析：由$ax=by=3$得$x=\log_a3$，$y=\log_b3$，由$a+b=23$得$a=23-b$。因此，$\frac{x+y}{xy}=\frac{\log_a3+\log_b3}{\log_a3\cdot\log_b3}=\frac{\log3}{\loga\cdot\logb}\leq\frac{\log3}{\log(\frac{a+b}{2})^2}=1$，故$\frac{x+y}{xy}$的最大值為$1$。6.設(shè)$x,y\in\mathbb{R}$，$xy\neq0$，則$x^2+\frac{1}{2y^2}+4y^2$的最小值為多少？解析：由平均值不等式，$x^2+\frac{1}{2y^2}\geq2\sqrt{x^2\cdot\frac{1}{2y^2}}=\frac{\sqrt{2}x}{y}$，因此$x^2+\frac{1}{2y^2}+4y^2\geq\frac{\sqrt{2}x}{y}+4y^2$。令$f(y)=\frac{\sqrt{2}x}{y}+4y^2$，則$f'(y)=-\frac{\sqrt{2}x}{y^2}+8y$，令$f'(y)=0$得$y=\frac{x}{\sqrt{2}}$，因此$f(y)\geqf(\frac{x}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}x+2x^2$。故$x^2+\frac{1}{2y^2}+4y^2\geq\sqrt{2}x+2x^2$，當(dāng)且僅當(dāng)$y=\frac{x}{\sqrt{2}}$時(shí)取等號，因此最小值為$\sqrt{2}x+2x^2$。例如：若正數(shù)$x,y$滿足$x+3y=5xy$，求$xy$的最小值。解：由$x>0$，$y>0$，則$5xy=x+3y\geq2\sqrt{3xy}$，因此$xy\geq\frac{2\sqrt{3}}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=3y$時(shí)取等號，因此$xy$的最小值為$\frac{2\sqrt{3}}{5}$。4.若正實(shí)數(shù)$x,y$滿足$2x+y+6=xy$，則$xy$的最小值是多少？解析：由$x>0$，$y>0$，$2x+y+6=xy$得$xy\geq2xy+6$，即$(xy-6)(xy-2)\geq0$，因此$xy\geq6$或$xy\leq2$。又由$2x+y+6=xy$得$y=xy-2x-6$，因此$xy=(xy-2x-6)x\geq2x^2$，當(dāng)且僅當(dāng)$y=2x$時(shí)取等號，因此$xy\geq2\cdot2^2=8$。綜上所述，$xy$的最小值為$8$。已知$x>0,y>0,x+2y+2xy=8$，求$x+2y$的最小值。解：根據(jù)題意，將$x+2y+2xy=8$移項(xiàng)得$(x+1)(2y+1)=9$，進(jìn)而得到$x+2y=(x+1)+(2y+1)-2\geq4$。又因?yàn)?(x+1)(2y+1)=6$，所以當(dāng)且僅當(dāng)$x=2$時(shí)等號成立。因此$x+2y$的最小值為$4$。若$x,y\in(0,+\infty),x+2y+xy=30$，求：(1)$xy$的取值范圍；(2)$x+y$的取值范圍。解：將$x+2y+xy=30$移項(xiàng)得$(2+x)y=30-x$，因?yàn)?y>0$，所以$2+x\neq0$。因此$x\in(0,30)$。進(jìn)而得到$y=\dfrac{30-x}{2+x}$。將$y$代入$x+y$中得$x+y=x+\dfrac{30-x}{2+x}=\dfrac{x^2+32x+60}{2(x+2)}$。因?yàn)?x>0,y>0$，所以$x+2y>0$，即$x>2$。因此$x+y>3$。又因?yàn)?x+y=\dfrac{x^2+32x+60}{2(x+2)}=\dfrac{(x+2)^2+56}{2(x+2)}$，所以$x+y\leq\dfrac{(30+2)^2+56}{2(30+2)}=\dfrac{964}{32}=30\dfrac{1}{8}$。因此$x+y$的取值范圍為$[3,30\dfrac{1}{8})$。已知$a>b>0$，求$a^2+\dfrac{b(a-b)}{4}$的最小值。解：根據(jù)題意，$a^2+\dfrac{b(a-b)}{4}=\dfrac{4a^2+b(a-b)}{4}=\dfrac{(2a+b)^2-b^2}{4}$。因?yàn)?a>b>0$，所以$2a+b>2b+b=3b>0$，即$\dfrac{(2a+b)^2-b^2}{4}\geq\dfrac{(3b)^2-b^2}{4}=4b^2$。當(dāng)且僅當(dāng)$2a+b=3b$，即$a=2b$時(shí)等號成立。因此$a^2+\dfrac{b(a-b)}{4}$的最小值為$4b^2$。已知$x>0,y>0,z>0$，且$x-2y+3z=\dfrac{1}{2}$，求$\dfrac{xz}{x+3z}$的最小值。解：根據(jù)題意，$x-2y+3z=\dfrac{1}{2}$可以得到$y=\dfrac{x+3z-\frac{1}{2}}{4}$。因此$\dfrac{xz}{x+3z}=\dfrac{xz}{\frac{5}{2}x+3z-\frac{1}{2}}=\dfrac{xz}{\frac{5}{2}(x+3z)-2y}\geq\dfrac{xz}{\frac{5}{2}(x+3z)}=\dfrac{2z}{5+\frac{2x}{3z}}$。因?yàn)?x,y,z>0$，所以$x-2y+3z=\dfrac{1}{2}>0$，即$x+3z>\frac{1}{2}$。因此$\dfrac{2z}{5+\frac{2x}{3z}}<\dfrac{2z}{\frac{2}{3}(x+3z)}=\dfrac{3z^2}{x+3z}$。又因?yàn)?x+3z=\dfrac{1}{2}+2y\geq\sqrt{2xy}\geq2\sqrt{yz}$，所以$\dfrac{3z^2}{x+3z}\geq\dfrac{3z^2}{2\sqrt{yz}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{yz}$。因此$\dfrac{xz}{x+3z}\geq\dfrac{3}{2}\sqrt{yz}$。當(dāng)且僅當(dāng)$x=2y=3z=\dfrac{1}{2}$時(shí)等號成立。因此$\dfrac{xz}{x+3z}$的最小值為$\dfrac{3}{2}\sqrt{yz}$。已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＝1，求y＝1/a＋1/b＋2/(a＋b)的最小值．解析：利用基本不等式，得到1/a＋1/b≥2/√(ab)2/(a＋b)≥2/√(a＋b)因此，y的最小值為2√(ab)＋2/√(a＋b)≥2√2．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1/2時(shí)，取等號，此時(shí)y的最小值為2√2＋2．答案：2√2＋2.根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，y取最小值為24/(1/2a+1/2b)=ab，即y=ab。另一種方法是利用基本不等式，當(dāng)a,b>0時(shí)，(a+b)^2>=4ab，即a+b>=2√ab，所以a+b+3>=2√ab+3，即√(ab)<=1/2(a+b+3)/2=1/4(a+b)+3/2。令t=ab，則t<=1/4(a+b)^2-3/4(a+b)+9/4，即t+3/4<=(a+b-3/2)^2/4，所以t+3/4>=1/4，即t>=1/4-3/4=-1/2，所以t>=-1/2。又因?yàn)閠=ab>0，所以t>=0。所以ab的取值范圍為[9,∞)。又因?yàn)閍b=a+b+3/(a+b)，所以a+b=ab-3/(a+b)，所以a+b的取值范圍為(3,∞)。當(dāng)a=b=3時(shí)，等號成立。又因?yàn)閍b≤(a+b)2/4，所以ab=a+b+3≤2(a+b)/2，即ab≤(a+b)2/4。當(dāng)a=b=3時(shí)，等號成立。所以(a+b)2-4(a+b)-12≥0，即(a+b-6)(a+b+2)≥0。因?yàn)閍+b+2>0，所以a+b-6≥0，即a+b≥6。所以a+b的取值范圍是[6,+∞)。另一種方法是利用ab=a+b+3，得b=(a+3)/(a-1)。所以ab=a+b+3=a+(a+3)/(a-1)+3=[(a-1)2+5]/(a-1)。當(dāng)a=b=3時(shí)，等號成立。所以ab的取值范圍是[9,+∞)。已知正數(shù)a，b滿足a+2b=1，求a/b的最小值。a/b=(a+2b)/b-2≥(sqrt(ab)+2)/2-2，根據(jù)均值不等式，sqrt(ab)≤(a+b)/2=1/2，所以a/b≥8/3，當(dāng)且僅當(dāng)a=4/3，b=1/6時(shí)取等號。已知x>0，y>0，且2x+y=1，求x/y的最小值。x/y=(x+2y)/(2y)-1/2≥sqrt((x+2y)/(2y))-1/2，根據(jù)均值不等式，(x+2y)/(2y)≥sqrt(x/y)，所以x/y≥8/3，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=2/3時(shí)取等號。已知x>0，y>0，且x/y+1=1，求x+y的最小值。將1用x/y代替，則x+y=(x+y)/(x/y)-x/y=x(1-1/y)+y，根據(jù)均值不等式，(x/y+1/y)/2≥sqrt(x/y)，所以1/y≥2sqrt(x/y)-x/y，代入上式得x+y≥4sqrt(xy)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1/2時(shí)取等號。已知條件與“1”有關(guān)，常利用“1”進(jìn)行整體代換，轉(zhuǎn)化為能使積為定值的形式。例如，在第一段中，可以將分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，得到9yx/xy=16，然后將9yx和xy分別除以16，得到y(tǒng)/x=16/9，即x=9y/16。代入x+y的表達(dá)式中，得到x+y=25y/16，最小值為25當(dāng)且僅當(dāng)y=16/9x=12，代入得到x+y=25。類似地，對于其他段落也可以進(jìn)行類似的代換和簡化。最后，注意檢查答案是否正確。已知a>0，b>0，a+b=2，則y=√(a/b)+√(b/a)的最小值是多少？解題思路：根據(jù)均值不等式，有√(a/b)+√(b/a)≥2，等號成立的條件是a=b。因?yàn)閍+b=2，所以a=b=1，此時(shí)y=2。易錯提醒：在使用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”的條件，同時(shí)還要注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件。利用基本不等式證明簡單不等式：1.已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，證明ab≤1/4。解題思路：根據(jù)均值不等式，有a+b/2≥√(ab)，即ab≤(a+b)2/4=1/4，等號成立的條件是a=b=1/2。2.已知正數(shù)a，b滿足a+b=2，證明a2+b2≥2。解題思路：根據(jù)均值不等式，有(a2+b2)/2≥(a+b)2/8=1/2，即a2+b2≥2，等號成立的條件是a=b=1。3.已知正數(shù)a，b，證明(a+b+1)/ab≥4。解題思路：根據(jù)均值不等式，有(a+b+1)/3≥√(ab)，即(a+b+1)/ab≥3√(ab)。又因?yàn)?√(ab)≥4，所以(a+b+1)/ab≥4，等號成立的條件是a=b=1/2。4.已知正數(shù)a，b，證明(a+b)/√(ab)≥2√2。解題思路：根據(jù)均值不等式，有(a+b)/2≥√(ab)，即(a+b)/√(ab)≥2。又因?yàn)?≥2√2，所以(a+b)/√(ab)≥2√2，等號成立的條件是a=b=1。5.已知正數(shù)a，b，證明(a/b+b/a+2)/2≥4。解題思路：根據(jù)均值不等式，有a/b+b/a≥2，即(a/b+b/a+2)/2≥2，又因?yàn)?≥4/2，所以(a/b+b/a+2)/2≥4，等號成立的條件是a=b=1。300元/m2，現(xiàn)在要求在不超過5m的情況下，使得房屋的總造價(jià)最?。猓涸O(shè)矩形的長為a，寬為b，則有ab=12，且2a+2b≤14，即a+b≤7.設(shè)房屋正面的長度為a，側(cè)面的長度為b，則房屋的總造價(jià)為400a+300b.根據(jù)基本不等式，有400a+300b≥(20ab+15ab)/7=60/7ab=60/7×12=240/7.即房屋的總造價(jià)最小為2400/7元，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2.4m時(shí)取得最小值．某單位要建造一間地面面積為12平方米的矩形小房，房子的背面靠墻，且側(cè)面的長度不能超過5米。房屋的正面造價(jià)為400元/平方米，側(cè)面造價(jià)為300元/平方米?，F(xiàn)在要求在不超過5米的情況下，使得房屋的總造價(jià)最小。解：設(shè)矩形的長為a，寬為b，則有ab=12，且2a+2b≤14，即a+b≤7。設(shè)房屋正面的長度為a，側(cè)面的長度為b，則房屋的總造價(jià)為400a+300b。根據(jù)基本不等式，有400a+300b≥(20ab+15ab)/7=60/7ab=60/7×12=240/7。即房屋的總造價(jià)最小為2400/7元，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2.4米時(shí)取得最小值。一、題目分析題目要求求出使總造價(jià)最低的側(cè)面長度，需要用到基本不等式求最值。二、修改后的文章假設(shè)側(cè)面長度為x，根據(jù)題意可得，房屋的造價(jià)y為：y=3(2x×150+x×400)+5800(0<x≤5)，化簡后得：y=900x+13000由基本不等式可得：900x≤2x×13000x≤4當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號，故當(dāng)側(cè)面的長度為4米時(shí)，總造價(jià)最低。三、題目分析題目要求求出使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小的每批應(yīng)生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，需要用到求導(dǎo)數(shù)的知識。四、修改后的文章設(shè)每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得：y=800x/x+8y=100+1/x對y求導(dǎo)得：y'=-1/x2令y'=0，得x=0，當(dāng)x>0時(shí)，y單調(diào)遞減，故當(dāng)x=80時(shí)，y取得最小值。故每批應(yīng)生產(chǎn)80件產(chǎn)品。五、題目分析題目要求求出使經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小的a、b的值，需要用到求導(dǎo)數(shù)的知識。六、修改后的文章設(shè)流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，比例系數(shù)為k，則有：y=k/(ab)根據(jù)題意得：4b+2ab+2a=60(a>0，b>0)解得：b=(30-a)/(2+a)將b代入y中得：y=k*(30-a)/(2+a)^2對y求導(dǎo)得：y'=-k*(a^2-26a+60)/(2+a)^3令y'=0，得a=6或a=10/3，當(dāng)a=6時(shí)，y取得最小值。將a=6代入b中得：b=3故當(dāng)a=6，b=3時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。當(dāng)a為6m，b為3m時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。為了求出使ab值最大的a、b的值，可以通過以下步驟進(jìn)行推導(dǎo)。根據(jù)題設(shè)，可以得到4b＋2ab＋2a＝60（其中a>0，b>0），即a＋2b＋ab＝30（其中a>0，b>0）。由于a＋2b≥2√(2ab)，所以2√(2ab)＋ab≤30，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，上式取等號。解方程組a＝2b和a＋2b＋ab＝30，得到0<ab≤18。因此，當(dāng)a＝2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18。由2b2＝18，可以解得b＝3，進(jìn)而求得a＝6。因此，當(dāng)a為6m，b為3m時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。一艘船從甲地逆水勻速行駛至乙地，水速為常量p（單位：千米/小時(shí)），船在靜水中的最大速度為q千米/小時(shí)（其中q>p）。已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用（單位：元）與船在靜水中的速度v（單位：千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為k。首先，可以將全程燃料費(fèi)用y（單位：元）表示為船在靜水中的速度v的函數(shù)，得到y(tǒng)＝kv2·(p<v≤q)/(v－p)·s。其定義域?yàn)閜<v≤q。為了使全程燃料費(fèi)用最小，需要求出船的實(shí)際前進(jìn)速度。將y表示為v的函數(shù)，得到y(tǒng)＝ks·(v－p＋p2/(v－p))，其中s和k為常數(shù)。對y求導(dǎo)數(shù)，得到y(tǒng)'＝ks·(p2/(v－p)－(v－p＋p2)/(v－p)2)，令y'=0，解得v＝2p。當(dāng)2p∈(p，q]，即2p≤q時(shí)，y取得最小值，此時(shí)船的前進(jìn)速度為2p－p＝p；當(dāng)2p>q時(shí)，y在(p，q]內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)船的前進(jìn)速度為q－p。因此，為了使全程燃料費(fèi)用最小，當(dāng)2p≤q時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為p千米/小時(shí)；當(dāng)2p>q時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為(q－p)千米/小時(shí)。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米。某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)。已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2（其中k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方